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南开中学 2024 届高三第一次月检测
数学学科试卷
考试时间：120分钟
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，请交回答题卡.
第Ｉ卷
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先解一元二次不等式求出集合 ，再根据补集、交集的定义计算可得.
【详解】由 ，即 ，解得 或 ，
所以 或 ，
所以 ，
又 ，所以 .
故选：B
2. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分性和必要性的定义结合同角三角函数的关系即可得出结论.
【详解】解：因为 ，根据三角函数的基本关系式，可得 ，
反之：若 ，根据三角函数的基本关系式，可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：C.
3. 函数 的部分图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据 是奇函数，排除B，再取特殊值验证.
【详解】因为
所以 是奇函数，排除B，由 ，排除A，由 ，排除D．
故选：C．
【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.
4. 下列函数中，是奇函数且在 上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇偶性定义、对数函数、指数函数单调性，结合复合函数的单调性依次判断各个选项即可.
【详解】A选项： ，不是奇函数，故A选项错误；
B选项： ，不是奇函数，故B选项错误；
C选项：因为 的定义域为 ，
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学科网（北京）股份有限公司且 ，∴ 是奇
函数．设 ，
因为 在 上单调递减， 在 上单调递增，
由复合函数单调性知， 在 上单调递减，故C选项正确；
D选项： ，因为 在 上都单调递增，所以 在 上
单调递增，故D选项错误，
故选：C．
5. 计算： 的值（ ）
A. 0 B. C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数及对数的运算法则计算可得；
【详解】 .
故选：B
6. 已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简得 ，构造函数 ，通过导数可证得 ，可
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学科网（北京）股份有限公司得 ，而 ，从而可得答案．
【详解】 .
设 ，则有 ， 单调递减，
从而 ，所以 ，故 ，即 ，
而 ，故有 ．
故选：A．
7. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角恒等变换化简已知条件，结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.
【详解】 ，
，
.
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学科网（北京）股份有限公司.
故选：A
8. 将函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得图象对应的函数为 ，有
下列命题：
①函数 的图象关于直线 对称
②函数 的图象关于点 对称
③函数 在 上单调递增
④函数 在 上恰有5个极值点
其中正确的命题个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数图象平移变换的特点，利用正弦弦函数的对称性、单调性、最值，结合函数的极值点定
义逐项判断即可求解.
【详解】函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得图象对应的函数为
，
对于①，当 时， ，不是函数 的最值，故①错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于②，当 时， ，故②正确；
对于③，当 时， ，故函数在该区间上单调递增，故③正确；
对于④，令 ，解得 ，当 时， ，
在 上有4个极值点，故④错误．
故选：B.
9. 设函数 有7个不同的零点，则正实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分段函数分段处理，在 ， 各有1个零点，所以 有5个零点，利用三角函
数求出所有的零点，保证 之间有5个零点即可.
【详解】由题，当 时， ，显然 在 上单调递增，且 ，
，此时 在 在有一个零点；
当 时， ， ，所以 在 上单调递减，
，此时 在 上只有一个零点；
所有当 时， 有5个零点，令 ，则 ，即
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学科网（北京）股份有限公司，或 ， Z，
解得 ，或 ， Z，
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；
由题可得 区间内的5个零点，即 ，
解得 ，即 .
故选：C.
【点睛】分段函数的零点问题点睛：根据函数的特点分别考虑函数在每段区间上的单调性，结合零点存在
性定理，得到每一段区间上的零点的个数，从而得出函数在定义域内的零点个数.
第II卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）
10. 已知 是虚数单位，化简 的结果为____________．
【答案】
【解析】
【
分析】运用复数运算法则计算即可.
【详解】 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
11. 在代数式 的展开式中，常数项为_____________．
【答案】-5
【解析】
【分析】写出二项式定理的通项，化简后，使得 的指数幂为0，即可求得 的值.
【详解】 的展开式的通项为：
令 ，解得 ，所以 ， 的展开式中的常数项为 .
故答案为：-5
12. 函数 的部分图象如图所示，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数 的图象结合正弦函数的图象及性质，求得函数的解析式，再代入求值即可.
【详解】由函数 的图象可知， ，则 ， .
把 代入 ，则 ，而 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以 .
故答案为： .
13. 在亚运会女子十米跳台决赛颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度 的看台上，同一列上的第一排和
最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 和 ，第一排 点和最后一排 点的距离为 米（如图所
示），则旗杆的高度为____________米．
【答案】27
【解析】
【分析】根据已知可得 ，在 中由正弦定理可得 ，再利用 中计算可得答
案.
【详解】由图可得 ，
在 中，由正弦定理可得 ，
即 ，
在 中， ，可得 米.
故答案为： .
14. 已知定义在 上的函数 ，当 时， ，且对任意的实数
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学科网（北京）股份有限公司（ ），都有 ，若函数 有且仅
有五个零点，则 的取值范围__________.
【答案】
【解析】
【分析】写出 的解析式并画出 的图象，结合已知条件将问题转化为 图象与 图
象在 上有且仅有5个交点，结合图象分析即可求得结果.
【详解】当 ， ，
当 时， ，此时 ，则 ，
当 时， ，此时 ，则 ，
当 时， ，此时 ，则
，
……
因为 有且仅有5个零点，
所以 图象与 图象在 上有且仅有5个交点，
如图所示，
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学科网（北京）股份有限公司由图可知，当 经过点 时，两函数图象有4个交点，经过点 时，两函数图象有
6个交点，
所以当 图象与 图象在 上有且仅有5个交点时，则
，解得 .
故答案为： .
15. 记 （ ）在区间 （ 为正数）上的最大值为 ，若
，则实数 的最大值为__________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】由函数单调性性质及图象变换可画出 的图象，进而可得 ，结合已知条件可知
只需 ，即 ，由 可得
联立两者进而可求得结果.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】设 ，（ ），定义域为 ，
由单调性性质可知， 在 上单调递增，
当 趋近于 时， 趋近于 ；当 趋近于 时， 趋近于 ，
设 ，则 的图象如图所示，
所以 的图象如图所示，
则由图象可知， ，
所以 ，
如图所示，
当 时，有 ，
则 ，①
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学科网（北京）股份有限公司又因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，②
由①②得 ，
整理得 ，即 ，
所以 .
故 的最大值为 .
故答案为：
【点睛】恒成立问题解题方法指导：
方法1：分离参数法求最值.
(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
(2) 恒成立 ；
⇔
恒成立 ；
⇔
能成立 ；
⇔
能成立 .
⇔
方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求
解．
三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16. 已知函数 .
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学科网（北京）股份有限公司（1）求 的最小正周期及对称轴方程；
（2）当 时，求 的最大值和最小值.
【答案】（1） ，
（2） ， .
【解析】
【分析】（1）根据诱导公式以及二倍角公式化简，再根据周期公式、对称轴公式进行求解；
（2）由 的取值范围求出整体角的取值范围，再结合正弦型函数图像及性质得出结果.
【小问1详解】
，
故周期为 ，
令 ，解得 ，
对称轴方程 ，
【小问2详解】
∵ ，∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时，即 时， ，此时 ，
当 时，即 时， ，此时 .
17. 在 中，角 所对的边分别为 ，其中 ，已知 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理边化角或余弦定理化简原式，根据 ，所以 或
，化简即可得出 ，即可得出答案；
（1）根据余弦定理结合第一问得出的角 的大小得出 ，结合已知 ，
得出 ，根据基本不等式得出 即 ，即可由三角形
面积公式得出答案；或将 化简为 ，由三角形面积公式结合基本不等式得
出 的面积 ，即可得出答案.
【小问1详解】
方法一：由 根据正弦定理边化角得： ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 .
方法二：由 根据余弦定理：
得 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，得 .
【
小问2详解】
方法一：由（1）及余弦定理知 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，化简得 ，
因为 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的面积 ，
所以 面积的最大值为 .
方法二：由（1）及余弦定理知 ，
所以 .
因为 ，
所以 ，化简得 ，即 ，
所以 的面积 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 面积的最大值为 ，
18. 如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ， ，
， 为棱 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
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学科网（北京）股份有限公司（3）求点 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）以 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行；
（2）求出平面 的一个法向量，再由向量法求解；
（3）求出平面 的法向量 ，再由向量法求解.
【小问1详解】
解：以点 为原点， ， ， 分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系.
可得 ， ， ， ，由 为棱 的中点，得 ，
向量 ， ，
故 ，又 为平面 的一个法向量，
又 面 ，
所以 平面 .
【小问2详解】
.
向量 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司设 为平面 的法向量，则 ，即 ，
令 ，得 为平面 的一个法向量，
所以 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【小问3详解】
向量 ，设平面 的法向量 ，
，即 ，令 ，得 为平面 的一个法向量，
则 .
19. 已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 .
（1）求C的方程；
（2）如图，经过椭圆左顶点A且斜率为 的直线l与C交于A，B两点，交y轴于点E，点P为线
段AB的中点，若点E关于x轴的对称点为H，过点E作OP（O为坐标原点）垂直的直线交直线AH于点
M，且 面积为 ，求k的值.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意得出 的值，进而可得结果；
（2）设直线l的方程为 ，将其与椭圆方程联立，得出 斜率，联立方程组得出 点的坐
标，利用点到直线距离公式式，结合韦达定理以及三角形面积公式将面积表示为关于 的方程，解出即可
得结果.
【
小问1详解】
由题意可得 ，解得 ， ， ，
∴椭圆C的方程为 .
【小问2详解】
易知椭圆左顶点 ，
设直线l的方程为 ，则 ， ，
由 ，消y可得 ，
设 ， ， ，∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司则有 ， ，
∴ ， ，∴ ，
∴直线EM的斜率 ，
∴直线EM的方程为 ，直线AH的方程为 ，
∴点 ，
∴点M到直线 的距离 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得 .
20. 已知函数 .
（Ⅰ）设函数 ，当 时，证明：当 时， ；
（Ⅱ）若 恒成立，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）若 使 有两个不同的零点 ，证明： .
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ）证明见解析.
【解析】
【分析】（Ⅰ）当 时对 求导，证明 时， 即可.
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学科网（北京）股份有限公司（Ⅱ）设函数 ，根据函数的单调性判断 与 的关系，根据 恒
成立，确定 的取值范围；
（Ⅲ）根据函数的单调性求出 ，得到
，证明结论成立即可.
【详解】（Ⅰ）
当 时，
，
当 时， ，
所以 在 上为单调递增函数，
因为 ，所以 ，
（Ⅱ）设函数 ，则 ，
令 ，
当 时，当 时， ，
当 时， ，得 ，
所以当 时， 在 上为单调递增函数，且 ，
所以有 ，可得 ．
当 时，有 ，
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学科网（北京）股份有限公司此时 有两个零点，设为 ，且 .
又因为 ， ，
所以 ，
在 上， 为单调递减函数，
所以此时有 ，即 ，得 ，
此时 不恒成立，
综上 ．
（Ⅲ）若 有两个不同的零点 ，不妨设 ，
则 为 的两个零点，且 ， ，
由（Ⅱ）知此时 ，并且 在 ， 为单调递增函数，
在 上为单调递减函数，且 ，
所以 ， ，
因为 ， ， ，
且 图象连续不断，
所以 ， ，
所以 ，
因为 ，
综上得: .
【点睛】方法点睛：求不等式恒成立问题的方法
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学科网（北京）股份有限公司（1）分离参数法
若不等式 （ 是实参数）恒成立，将 转化为 或
恒成立，进而转化为 或 ，求 的最值即可.
（2）数形结合法
结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于 轴）
求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.
（3）主参换位法
把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给
出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.
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学科网（北京）股份有限公司
