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南开中学 2024 届高三第一次月检测
数学学科试卷
考试时间：120分钟
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，请交回答题卡.
第Ｉ卷
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. “ ”是“ ”的（ ）
.
A 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 函数 的部分图象可能是（ ）
A B. C. D.
.
4. 下列函数中，是奇函数且在 上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 计算： 的值（ ）
A. 0 B. C. 2 D. 3
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学科网（北京）股份有限公司6. 已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
8. 将函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得图象对应的函数为 ，有
下列命题：
①函数 的图象关于直线 对称
②函数 的图象关于点 对称
③函数 在 上单调递增
④函数 在 上恰有5个极值点
其中正确 的命题个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 设函数 有7个不同的零点，则正实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
第II卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）
10. 已知 是虚数单位，化简 的结果为____________．
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学科网（北京）股份有限公司11. 在代数式 的展开式中，常数项为_____________．
12. 函数 的部分图象如图所示，则 __________．
13. 在亚运会女子十米跳台决赛颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度 的看台上，同一列上的第一排和
最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 和 ，第一排 点和最后一排 点的距离为 米（如图所
示），则旗杆的高度为____________米．
14. 已知定义在 上的函数 ，当 时， ，且对任意的实数
（ ），都有 ，若函数 有且仅
有五个零点，则 的取值范围__________.
15. 记 （ ）在区间 （ 为正数）上的最大值为 ，若
，则实数 的最大值为__________.
三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
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学科网（北京）股份有限公司16. 已知函数 .
（1）求 的最小正周期及对称轴方程；
（2）当 时，求 的最大值和最小值.
17. 在 中，角 所对的边分别为 ，其中 ，已知 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 面积的最大值.
18. 如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ， ，
， 为棱 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）求点 到平面 的距离.
19. 已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 .
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学科网（北京）股份有限公司（1）求C的方程；
（2）如图，经过椭圆左顶点A且斜率为 的直线l与C交于A，B两点，交y轴于点E，点P为线
段AB的中点，若点E关于x轴的对称点为H，过点E作OP（O为坐标原点）垂直的直线交直线AH于点
M，且 面积为 ，求k的值.
20. 已知函数 .
（Ⅰ）设函数 ，当 时，证明：当 时， ；
的
（Ⅱ）若 恒成立，求实数 取值范围；
（Ⅲ）若 使 有两个不同的零点 ，证明： .
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