文档内容
邯郸市 2024 届高三年级第一次调研监测
数学
本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
参考公式：锥体的体积公式 （其中 为锥体的底面积， 为锥体的高）.棱台的体积公
式 （其中 ， 分别为棱台的上､下底面面积， 为棱台的高）.
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求一元二次不等式得 ，再根据集合运算法则求解 即可.
【详解】 ，
则 .
.
故选：C
2. 已知命题 ： ， ，则 为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利用含有全称量词的命题的否定判断.
【详解】因为命题 ，所以 .
故选：B.
3. 已知 是虚数单位，若复数 满足： ，则 （ ）
A. 0 B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的运算法则，求得 ，得到 ，即可求解.
【详解】由复数 ，可得 ，则 ，
所以 .
故选：A.
4. 设函数 在 处的切线与直线 平行，则 （ ）
A. B. 2 C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由条件，根据导数的几何意义及两平行直线的斜率关系列方程求 .
【详解】函数 的定义域为 ，
由已知 ，故 ，
函数 的导函数 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
因为函数 在 处的切线与直线 平行，
所以 ，所以 ，经验证，此时满足题意.
故选：D.
5. 设 ， 是双曲线 的左､右焦点，过 的直线 交双曲线的左支于 ， 两点，若
直线 为双曲线的一条渐近线， ，则 的值为（ ）
A. 11 B. 12 C. 14 D. 16
【答案】C
【解析】
【 分 析 】 根 据 双 曲 线 的 标 准 方 程 可 得 , 再 由 双 曲 线 的 定 义 可 得
，得到 ,再根据 得到
答案.
【详解】根据双曲线的标准方程 ，
得 ,由直线 为双曲线的一条渐近线，
得 ,解得 ,得 .
由双曲线的定义可得 ①，
②，
① ②可得 ,
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学科网（北京）股份有限公司因为过双曲线的左焦点 的直线 交双曲线的左支于 , 两点,
所以 ,得 .
故选：C.
6. 有一种钻头，由两段组成，前段是高为3cm､底面边长为2cm的正六棱锥，后段是高为1cm的圆柱，圆
柱的底面圆与正六棱锥底面的正六边形内切，则此钻头的体积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据棱锥和圆柱的体积公式即可得到答案.
【详解】由题意，钻头的前段正六棱锥的体积 ，
因为圆柱的底面圆与正六棱锥底面的正六边形内切，
作出以下图形，所以圆柱的底面圆的半径 ，
所以圆柱的体积 ，
所以此钻头的体积为 .
故选：B.
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学科网（北京）股份有限公司7. 甲口袋中有3个红球，2个白球，乙口袋中有4个红球，3个白球，先从甲口袋中随机取出1球放入乙口
袋，分别以 ， 表示从甲口袋取出的球是红球､白球的事件；再从乙口袋中随机取出1球，以 表示从
乙口袋取出的球是红球的事件，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出 ， ，再根据全概率公式求出 ，再根据条件概率公式即可得解.
【详解】 ，
， ，
.
故选：A.
8. 设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 时， ，
则（ ）
A. B.
C. 为奇函数 D.
【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】由题意可得 ， ，结合 时， ，可
判断AB；求出函数的周期，进而可判断CD.
【详解】因为 为奇函数，
所以 ，即 ，
则 ，所以 ，
因为 为偶函数，
所以 ，即 ，
则 ，故A错误；
由当 时， ，得 ，
则 ，故B错误；
，则 ，
所以 ，
所以 ，故D正确；
对于C，由 ，得 ，
若 为奇函数，则 也为奇函数，
令 ，则 为奇函数，则 ，
又 ，矛盾，
所以 不是奇函数，即 不是奇函数，故C错误.
故选：D.
【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：
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学科网（北京）股份有限公司（1）若函数 的图象关于直线 和 对称，则函数 的周期为 ；
（2）若函数 的图象关于点 和点 对称，则函数 的周期为 ；
（3）若函数 的图象关于直线 和点 对称，则函数 的周期为 .
二､选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 设 ， 是两个非零向量，且 ，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. ， 的夹角为钝角 D. 若实数 使得 成立，则 为负数
【答案】AD
【解析】
【分析】根据平面向量的模、线性运算的概念即可判断.
【详解】对A，当 不共线时，根据向量减法的三角形法则知 ，
当 反向共线时， ，
故 ，A正确；
对B，若 ，则以 为邻边的平行四边形为矩形，
且 和 是这个矩形的两条对角线长，则 ，故B错误；
对C，若 的夹角范围为 ，根据向量加法的平行四边形法则知： ，故C错误；
对D，若存在实数 ，使得 成立，则 共线，由于 ，
则 反向共线，所以 为负数，故D正确.
故选：AD.
10. 记 为数列 的前 项和，若数列 是首项为1，公差为2的等差数列，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 数列 为递减数列 B.
C. D. 数列 是等差数列
【答案】BC
【解析】
【分析】根据等差数列的通项即可判断B；根据 求出数列 的通项，即可判断
C；由 的符号即可判断A；根据等差数列的定义即可判断D.
【详解】由题意 ，所以 ，故B正确；
当 时， ，
当 时， ，
当 时，上式也成立，
所以 ，故C正确；
因为 ，所以数列 为递增数列，故A错误；
，
因为 ， ，
所以数列 不是等差数列，故D错误.
故选：BC.
11. 已知函数 的图象过点 ，最小正周期为 ，则（ ）
A. 在 上单调递减
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学科网（北京）股份有限公司B. 的图象向右平移 个单位长度后得到的函数为偶函数
C. 函数 在 上有且仅有4个零点
D. 函数 在区间 上有最小值无最大值
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定条件， 求出 与 ， 再逐项分析求解， 判断作答.
【详解】依题意， ，即 ，而 ，
则 .
由最小正周期为 ，得 ，得 ，则 ，
对于A，由 ，得 ，则 在 上不单调，A不正确；
对于B， 的图象向右平移 个单位长度后得函数
，是偶函数，B正确；
对于C，当 时， ，则 ，
则 ，可得 在 上有且仅有4个零点，C正确；
对于D，当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司当 ，解得 时， 取得最小值 ，无最大值，D正确.
故选：BCD.
12. 已知棱长为2的正方体 ， ， ， 分别是 ， ， 的中点，连接 ，
， ，记 ， ， 所在的平面为 ，则（ ）
的
A. 截正方体所得 截面为五边形 B.
C. 点 到平面 的距离为 D. 截正方体所得的截面面积为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据平面的性质先做出截面可判定A、D，再利用线线垂直可判定线面垂直得B项正误，由正六
棱锥的体积判定C.
【详解】
如上左图所示取 中点分别为 ，连接 ，
易知 ， ，
即六边形 为正六边形，平面 即过 ， ， 三点的平面 ，故A错误；
由正方体的棱长为2，可得截面 的面积为 ，故D正确；
如上右图所示，连接 ，
由正方体的性质可得 面 ， 面 ，所以
又 面 ，所以 面 ，
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学科网（北京）股份有限公司面 ，所以 ，
而 ，所以 ，同理可得 ，
，故 ，即B正确；
分别连接 与截面 的六个顶点可得两个正六棱锥，设点 到平面 的距离为 ，
易知 ，
故C正确.
故选：BCD.
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 的展开式的常数项是___________.
【答案】70
【解析】
【分析】利用通项公式求解， 的展开式中常数项由 的展开式的4次方项确定，求解即可.
【详解】 的展开式的通项公式为 ，
当 时， ，所以 的展开式的常数项为 .
故答案：70.
14. 写出函数 的一个对称中心：___________.
【答案】
【解析】
【分析】首先化简函数得 , 再根据正切函数的对称中心公式求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】
，
令 或 ，
则 或 ，
令 ，则 ，所以函数 的一个对称中心是 .
故答案： (答案不唯一，横坐标符合 ( )即可)
15. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ： .若等腰直角三角形 三个顶点均在 上
且直角顶点 与抛物线顶点重合，则 的面积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形与二次函数的性质，建立不等式，可得答案.
【详解】由题意可作图如下：
设 ，其中 ，
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学科网（北京）股份有限公司则直线 与直线 的斜率分别为 ， ，
由 ，则 ，由 ，则 ，
将 ， 代入 ，可得 ，
将 ， 代入 ，可得 ，
将 代入 ，可得 ，解得 ，
则 ， ， .
故答案为： .
16. 过圆 ： 上一点 作圆 ： 的两切线，切点分别为 ， ，设两
切线的夹角为 ，当 取最小值时， ___________.
【答案】 ##
【解析】
【 分 析 】 易 得 ， 从 而 可 得
，求出 取得最小值时， 的值即可.
【详解】由题意可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司圆 的圆心 ，半径 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
则 ，
当 取最小值时，则 取得最小值，
，
此时 ，
又 为锐角，所以 ，
所以 ，
即当 取最小值时， .
故答案为： .
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】关键点点睛：由圆的切线的性质将所求转化为求 的最小值是解决本题的关键.
四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17. 已知等比数列 的前 项和为 ， ，且满足 ， .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ， 的前 项和为 ，求使 成立的 的最大值.
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】（1）求首项、公比，从而求得 ；
.
（2）利用错位相减求和法求得 ，解不等式
【小问1详解】
设等比数列 的公比为 ，依题意， ，则 .
，则 ，
得 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 .
【小问2详解】
由（1）得 ，
得 ，
得 ，
两式相减得
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学科网（北京）股份有限公司，
所以 .
由 ，得 ，
当 时，左边 ，
当 时， ，
所以 的最大值为5.
18. 暑假期间，儿童溺水现象屡有发生，防溺水工作十分重要.现从某社区随机抽取100名居民，对他们的
防溺水认识程度进行了测评，经统计，这100名居民的测评成绩全部在40至100之间，将数据按照
， ， ， ， ， 分成6组，制成如图所示的频率分布直方
图.
（1）估计这100名居民成绩的中位数（保留一位小数）；
的
（2）在这100名居民中用分层随机抽样 方法从成绩在 ， ， 的三组中抽取12人，
再从这12人中随机抽取3人，记 为3人中成绩在 的人数，求 的分布列和数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）根据在频率分布直方图中中位数的求法计算即可；
（2）写出随机变量 的所有取值，求出对应概率，即可得出分布列，再根据期望公式求期望即可.
【小问1详解】
因为 ， ，
所以中位数在区间 内，设为 ，
则 ，解得 ，
即估计这100名居民成绩的中位数为 ；
【小问2详解】
成绩在 有 人，
成绩在 有 人，
成绩在 有 人，
则 可取 ，
， ，
， ，
所以分布列为
所以 .
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学科网（北京）股份有限公司19. 在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，化简整理可求得 ，平
方进而求得 ；
（2）利用余弦定理表示出 ，根据三角形面积公式和基本不等式求得最值.
【小问1详解】
因为 ，由正弦定理 ，
得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，得 ，
即 .
【小问2详解】
由（1）知 ， ，
所以 ，可得 ，与 联立，
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学科网（北京）股份有限公司有 ，解得 ，
得 ，
由余弦定理得， ，所以 ，
得 ，当且仅当 时等号成立，
即 ，
得 ，得最大值为 .
20. 如图，几何体由四棱锥 和三棱台 组合而成，四边形 为梯形，
且 ， ， ， 平面 ， ，平面
与平面 的夹角为45°.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求三棱台 的体积.
【答案】（1）证明见解析
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学科网（北京）股份有限公司（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的性质和平行的性质得 ，再利用面面垂直的判定即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，设 ，求出相关平面法向量，利用面面角的空间向量求法得到方
程，解出 ，再利用棱台体积公式即可得到答案.
【小问1详解】
因为 平面 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
由 ， 平面 ，得 平面 ，
由 平面 ，得平面 平面 .
【小问2详解】
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ，所以 两两互相垂直，
所以以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐
标系，如图.
设 ，由题可知， ，
易知平面 的一个法向量为 ，设平面 的法向量为 ，
，故得 ，即 ，
不妨令 ，则 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以三棱台 的体积为 .
21. 已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，证明：不等式 有实数解.
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，再分 和 两种情况讨论即可；
（2）要证不等式 有实数解，只需证明 即可，由（1）求出 ，
进而得证.
【小问1详解】
，
当 时， ，则函数 在 上单调递减，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， 时， ， 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
综上所述，当 时，函数 在 上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
【小问2详解】
要证不等式 有实数解，
只需证明 即可，
由（1）得 ，
则只要证明 即可，
即证 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以当 时，不等式 有实数解.
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
22. 已知椭圆 ： 的焦点分别为 和 ，离心率为 .不过 且与
轴垂直的直线交椭圆于 ， 两个不同的点，直线 与椭圆的另一交点为点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）①若直线 交 轴于点 ，求以 为直径的圆的方程；
②若过 与 垂直的直线交椭圆 于 ， 两个不同的点，当 取最小值时，求直线
的方程.
【答案】（1）
（2）① ；② 或 .
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的定义，可求其方程；
（2）①联立直线 与椭圆方程，表示出直线 的方程，再由根与系数的关系求出 点坐标，即可求
出圆的方程；②根据弦长公式可求 长度,进而得 长度，根据不等式即可求解最值，得直线 的方
程.
【小问1详解】
由题意可知， ，得 ，由 ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以椭圆 的方程为 .
【小问2详解】
①显然直线AB的斜率必存在，且 ，则设直线 的方程为
，
则 ，联立有 ，可得 ，
所以 ，直线 的方程为 令 可得 点
的横坐标为
.
所以 为一个定点，其坐标为 ，则圆心坐标为 ，半径为2，
则以 为直径的圆的方程为 .
②根据①可进一步求得:
，
因为 , 所以 , 则 ,
由
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学科网（北京）股份有限公司，
当且仅当 时取等号，即 时， 取得最小值 ，此时直线 的
方程为 或 .
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设线法，设直线
的方程为 ，将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，再去计算出 点的横坐标为定值，
则可得到圆的方程，再利用弦长公式和基本不等式则可得到 的最小值.
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学科网（北京）股份有限公司
