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哈三中 2023—2024 学年度上学期
高三学年第二次验收考试数学试卷
考试说明：
（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120
分钟；
（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（共60分）
（一）单项选择题（共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1．已知集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知 的终边上有一点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ， ，则 （ ）
A．25 B．5 C． D．
4．已知命题 ， ，命题 ， ，若命题 ， 都是真命题，
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 或
5．已知函数 和 的图象与直线 交点的横坐标分别 ， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列一组数据：
月份 2 3 4 5 6 …
元 1.40 2.56 5.31 11 21.30 …
请从模型 ，模型 中选择一个合适的函数模型，并预测小学生零花钱首次超过300元的月份为
学科网（北京）股份有限公司（ ）（参考数据： ， ）
A．8 B．9 C．10 D．11
7．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．角的度量除了我们学过的角度制，弧度制，还有密位制和新度制等度量方法．密位制是度量角的一种方法，
把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中单位可省去不写，采用四个数码表示角的
大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如478密位写成“04-78”；新度制亦称百分制，它是以直角的
作为角的度量单位的量角制．在新度制中，角的度量单位称为百分度，1百分度记为 ．在下列各角
中正弦值最大的是（ ）
A． B． ． C． D．
（二）多项选择题（共4小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的定义域为 B． 为奇函数
C． 在定义域上是增函数 D． 的值域为
10．已知函数 则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 是增函数
B．若 ，则函数 有两个零点
学科网（北京）股份有限公司C．若 ，则 的值域为
D．若 有最大值，则实数 的取值范围是
11．已知函数 为偶函数，在 时， 单调递减，且 ．若 ，
， ，则下列正确的有（ ）
A． B． C． D．
12．函数 的定义域为 ， ，且 为奇函数，当 时， ，
则下列说法正确的是（ ）
A． 在 上单调递增
B．
C．若关于 的方程 在区间 上的所有实数根之和为 ，则
D．函数 有2个零点
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）
13．已知幂函数 在 上单调递增，则 __________．
14．函数 与 的图象交点为 ．若 ， ，则 __________．
15．明清时期，浙江、苏州、四川等地盛产折扇，题字作画亦兴于此．这一精湛的技艺从明代开始传入欧洲，
风行世界．如图是折扇的示意图，其中 ， ． 为 的中点，则扇面（图中扇
环）部分的面积是__________ ．
学科网（北京）股份有限公司16．若存在常数 ，使得对函数 的定义域 内的任意 ， ，都有
成立，则称函数 是在其定义域 上是“ -利普希兹函数”．若函数
是“ -利普希兹函数”，则 的最小值为__________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两根．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的值．
18．已知 ， ．
（1）当 ， 时，求函数 的值域；
（2）若对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
19．已知 ， ，其中 ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
20．苍苍黑土，漭漭龙江．北国骊珠，普育名庠．2023年10月6日，哈三中将迎来建校百年庆典．某公司为
哈三中百年校庆设计了文创产品，并批量生产进行售卖．经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入 万
元，产品销售周可增加 千个，其中 每千个的销售价格为 万元，另外每生
产1千个吉祥物还需要投入其他成本0.5万元．
（1）写出该公司本季度增加的利润 与 （单位：万元）之间的函数关系；
（2）当 为多少万元时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？
21．已知函数 为偶函数．
（1）求实数 的值；
学科网（北京）股份有限公司（2）判断 的单调性，并解不等式 ；
（3）设 ，若方程 有解．求实数 的取值范围．
22．已知函数 ， ．
（1）当 时，求函数 在点 处的切线方程；
（2）若函数 有两个零点 ， ，求实数 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，证明： ．
哈三中 2023—2024 学年度上学期
高三学年第二次验收考试数学答案
1—4BCBD 5—8BCAC
9．AB 10．ACD 11．ACD 12．BD
13．2 14．3 15． 16．
17．（1） （2）
18．（1） （2）
19．（1） （2）
20．（1） （2） ，
学科网（北京）股份有限公司21．（1） ， 单调递减， 单调递增
（2） （3）
22．（1） （2） （3）略
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