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2024届新高三开学摸底考试卷（全国通用）
文科数学·答案及评分标准
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B D D A B B C B A D C
13． 14．1
15． 16．1
17．【解析】（1）因为底面ABCD是菱形,AC与BD交于点O
所以O为AC中点,
点E是棱PA的中点,F是棱PB的中点,
所以OE为三角形 的中位线,OF为三角形 的中位线,
所以 , ,（3分）
平面 , 平面 , 平面 ,
平面 , 平面 , 平面 ,
而 , 平面 , 平面 ,
平面 平面PCD. （6分）
（2）因为底面ABCD是边长为2的菱形, ,
所以 为等边三角形,
所以 ,
因为 底面ABCD,
底面ABCD, 底面ABCD,
所以 , ,（8分）
所以 和 均为直角三角形,
所以 , ,
所以 ,
所以 ,所以 ,（10分）
设点 到平面 的距离为 ,
根据体积相等法可知 ,
所以 ,
所以 .
,
故三棱锥 的体积为 .（12分）
18．【解析】（1）由题图可知, ,
解得 ,（2分）
质量指标的平均值 ．（4分）
（2）依题意,质量指标值在 的有4件,记为1、2、3、4,质量指标值在 的有3件,记为
,（5分）
则随机抽取2件,所有的情况为 ,
,共21件,
其中满足条件的为 ,
,共15件,
故所求概率 ．（8分）
（3）完善表格如下：A机器生产 B机器生产 总计
优质品 200 80 280
合格品 120 80 200
总计 320 160 480
（10分）在本次试验中, 的观测值 ,
故没有99.9%的把握认为机器类型与生产的产品质量具有相关性．（12分）
19.【解析】（1） 由题意知, . （2分）
设 ,所以 .
在 中, ,
所以 ,从而 .（5分）
（2）设 ,
在 中, ,
在 中, ,
所以 .（8分）
在 中,由 ,得 ,
所以 ,（10分）
从而 的面积为 .（12分）
20．【解析】（1）由题可得 ,故可得 ,（2分）
则 ,（3分）故 的标准方程为 .（4分）
（2）由（1）中所求可得点A, 的坐标分别为 ,
又双曲线渐近线为 ,显然直线 的斜率不为零,故设其方程为 , ,（5分）
联立双曲线方程 可得： ,
设点 的坐标分别为 ,
则 ,
,
；（6分）
又直线 方程为： ,令 ,则 ,
故点 的坐标为 ；
直线 方程为： ,令 ,则 ,
故点 的坐标为 ；（7分）
则
故 为定值 .（8分）
（3）当直线 斜率不存在时,对曲线 ,令 ,解得 ,
故点 的坐标为 ,此时 ,
在三角形 中, ,故可得 ,
则存在常数 ,使得 成立；（9分）
当直线 斜率存在时,不妨设点 的坐标为 , ,直线 的倾斜角为 ,直线 的倾斜角为 ,
则 , ,
假设存在常数 ,使得 成立,即 ,
则一定有 ,也即 ；
又 ； ；
又点 的坐标满足 ,则 ,
故
；（11分）
故假设成立,存在实数常数 ,使得 成立；
综上所述,存在常数 ,使得 恒成立. （12分）
21.【解析】（1）令 ,则 ,所以 ,则 ,
令 ,则 ,（2分）
选①：当 时,因为 时, ,所以 在 上单调递增,
又 ,所以当 时, ,说明 在 上单调递增,
所以 ,符合题意；（4分）当 时, ,当 时, ,所以 在 上单调递减,
又 ,所以当 时, ,说明 在 上单调递减,
所以当 时, ,此时不符合题意；
综上,实数 的取值范围 .（6分）
选②： 在 上单调递增,所以 在 上恒成立,当 时, ,所以 在 上递增,
又 ,所以当 时, ,所以 在 上单调递减,不符合题意；（4分）
当 时,当 时, ,所以 在 上单调递减,
当 时, ,所以 在 上单调递增,
从而 ,由 在 上恒成立,得 ,
令 ,说明 在 单调递增,在 单调递减,
所以 ,当且仅当 时取得等号,故 .
综上,实数 的取值范围 .（6分）
（2）当 时 ,当 时 , 在 上单调递减,又 ,
当 时, ,说明 在 上单调递增,
当 时, ,说明 在 上单调递减,
所以 为极大值点. （8分）
由（1）有 ,则 ,
所以当 时,有 ,
所以当 时, ,
所以 使得 .
当 时, ,当 时, ,所以 为极小值点,
综上,函数 有两个极值点 ；（10分）
其中 满足 ,所以 ,
设 ,则 ,
由（1）知 ,所以 单调递增,所以 随着 的增大而增大,又 ,
所以 ,故 随着 的增大而增大. （12分）
22. 【解析】（1）把 , 代入 ,
得曲线 的极坐标方程为 ,即 ．（2分）
将 中的参数消去,得曲线 的普通方程为 ,
把 , 代入,得曲线 的极坐标方程为 ,即 ．（5分）
（2）由题得 , , ,
,（7分）
因为 ,所以
,
其中 , ,
当 ,即 时, 的面积取得最大值 ．（10分）
23.【解析】（1）函数 的最小值为 ,此时 ,（1分）
当 时, ,
当 时, ,
当 时, ,
函数 ,（3分）函数在 上单调递减,在 上单调递增,
当 时, ,
所以函数 的最小值为 ,
故 .（5分）
（2）由（1）知 , ,
因为 , ,所以 , , , , ,（7分）
又因为 ,
所以 ,又 ,
所以 ,所以 ．所以 ．（10分）公众号：高中试卷君
