文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（全国卷专用）
黄金卷02（文科）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由分式不等式的解法，解出集合 ，根据集合的交集运算，可得答案.
【详解】由不等式 ，则等价于 ，解得 ，
所以 ，由 ，则 .
故选：D.
2．设复数 ，其共扼复数为 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】由复数的除法，计算得 和 ，再由复数模的计算公式，计算 .
【详解】复数 ，其共扼复数 ，
， .
故选：A
3．已知 ， 是两条不同直线, 是平面,且 ， ，“ ”是“ ”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据直线与平面的关系即可结合必要不充分条件的判定求解.
【详解】一条直线平行平面，但这条直线不一定和平面内的直线平行，所以由 ，不能得到 ，
而 ， ， ，则 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选：B
4．（ 2023·四川泸州·统考一模）若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用两角和（差）的余弦公式求出 ，再由二倍角公式计算可得.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以
.
故选：C
5．已知正方形 的边长为 ， 在边 上，则 的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，得出 ， ， 的坐标，设出点 坐标，利用坐标运算求解即可．
【详解】由题意，建立如图所示坐标系，则 ， ， ，
设 ， ，
则 ， ，
，
所以 ，
所以 ，
故当 时， 有最大值 ．
故选：C．
6．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶
数可以表示为两个素数的和”，如 ．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于
30的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将不超过30的素数列举出，再利用古典概型的概率公式计算即可.
【详解】不超过30的素数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共10个，
随机选取两个不同的数共有 种，其中和等于30的有 这3种情况，
所以在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 .
故选：B.
7．函数 的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数奇偶性和特殊点的函数值进行判断即可.
【详解】函数 定义域为 ，
又因为 ，
所以函数 是奇函数，函数图像关于原点对称，故A和B错误；
当 时，则 ，故C错误.
故选：D.
8．已知实数 、 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得出 ，可得出 ，再利用基本不等式可求出所求代
数式的最小值.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 ．
故选：C．
9．A，B，C，D是球O的球面上四点， ，球心O是 的中点，四面体 的体积
为 ，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用棱锥的体积公式结合球的表面积公式计算即可.
【详解】由题意可知 为球O的直径，设D到面 的距离为 ，
易知等边 的面积为 ，所以 ，则球心O到面 的距离为1，
设 面 ，易知H为等边 的外心，
所以 ，
故 .
故选：B
10．已知 分别为双曲线 的左、右焦点，过 与双曲线的一条渐近线平行的直线
交双曲线于点 ，若 ，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】C
【分析】设过 与双曲线的一条渐近线 平行的直线交双曲线于点 ，运用双曲线的定义和条件可得
， ， ，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．
【详解】设过 与双曲线的一条渐近线 平行的直线交双曲线于点 ，
由双曲线的定义可得 ，
由 ，可得 ， ， ，由 可得 ，
在三角形 中，由余弦定理可得：
，
即有 ，化简可得 ，
所以双曲线的离心率 ．
故选：C．
11．设首项为 的数列 的前n项和为 ， ，且 ，则数列 的前23项
和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，推得 ，得到数列 为等差数列，求得 ，化简得到
，结合裂项法求和，即可求解.
【详解】由 ， ，可得 ，
当 时， ，所以 ，可得 ，
又 ，所以数列 是以2为首项、 为公差的等差数列，
所以 ，得 ，于是 ，
所以数列 的前 项和为 .
故选：D．
12．若曲线 存在与直线 垂直的切线，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对 求导后根据题意可得 在 上有解. 令 ，
求导判断单调性求得值域，从而可得不等式 ，求解即可.
【详解】对 求导得 ，
当 时，曲线 不存在与直线 垂直的切线，
当 时，若曲线 存在与直线 垂直的切线，
只需 在 上有解.
令 ，求导得 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，且当 时， ，所以 ，解得 ，
所以k的取值范围是 .
故选：D.
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知 中， ，且 ，则 的面积是 ．
【答案】3
【分析】根据给定条件，利用夹角公式求出 ，再利用三角形面积公式求解作答.
【详解】在 中， ， ，
解得 ，而 ，因此 ，
所以 的面积 .
故答案为：3
14．若实数 满足约束条件 ，则 的最大值为 ．
【答案】14
【分析】首先画出可行域，将目标函数变形根据其几何意义即可求得当 过点 时，取得最
大值为 .
【详解】根据题意画出满足约束条件的可行域如下图中着色部分所示：将目标函数 变形可得 ，
若 取得最大值，即直线 在 轴上的截距取得最小值，
将 平移到过点 时，直线 在 轴上的截距最小，
此时目标函数 有最大值为 .
故答案为：
15．若直线l： 与圆C： 相交于A，B两点， ，则直线l的斜率的
取值范围为 .
【答案】
【分析】先求得圆心和半径，根据 的范围列不等式，求得 的取值范围，进而求得直线 的斜率的取
值范围.
【详解】将圆C的方程 整理得 ，
圆心坐标为 ，半径为 ，
要求 ， ，则圆心到直线的距离应小于等于 ，
∴ ，即 （ ），
∴ ， ，设直线l的斜率为k，则 ，
∴ ，
直线l的斜率的取值范围是 .
故答案为：
16．已知 为偶函数，且当 时， ，其中 为 的导数，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨函数的单调性，再结合奇偶性求解不等式作答.
【详解】令函数 ，当 时， ，即函数 在 上单调递
减，
由 为偶函数，得 ，即函数 是奇函数，于是 在R上单调递减，
不等式 ，
因此 ，解得 ，所以原不等式的解集是 .
故答案为：
【点睛】关键点睛：根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）某校为了宣传垃圾分类知识，面向该校学生开展了“垃圾分类知识”网络问卷调查，每位学
生仅有一次参与机会，通过抽样，得到 100 人的得分情况，将样本数据分成
五组，并整理得到如下频率分布直方图;已知成绩的中位数为 75(1)求 的值，并求出成绩的平均数(同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替);
(2)现用分层抽样从第四组和第五组按照比例抽选出 6 人进行垃圾分类知识竞答活动，再从中选出两人进
行一对一 ，求抽出的两人恰好来自同一组的概率.
【答案】(1) ， ，
(2) .
【详解】（1） 中位数为 75 ， ，
，.........................................................................................................................................2分
又 ，
，...........................................................................................................................................3分
则平均数为： ..............................................5分
（2）第四组与第五组人数的比为 ，
从第四组抽选4人，记为1,2,3,4，
从第五组抽选2人，记为 ，..........................................................................................................7分
所有基本事件为： ，
共15种，............................................................9分
来自同一组的有: ，共7种情况，................................10分
故恰好来自同一组的概率 .........................................................................................................12分
18．（12分）记 的内角A， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知 ．
(1)求角 的大小；(2)若点 在边 上， 平分 ， ， ，求线段 长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知 ，根据正弦定理可得 ，................1分
因为 ，所以 ，故有 ，
则有 ，..................................................................................................................3分
因为 ，即 ，可知 ，可得 ，................................................5分
所以 ，则 ．....................................................................................................................6分
（2）在 中，根据余弦定理可得 ，
即 ，解得 或 （舍去），.............................................................................8分
由题意可知： ，
由面积关系可得 ，
则 ，.........................................................................10分
即 ，可得 ...........................................................................................................12分
19．（12分）如图，四棱锥 的底面 是边长为 的菱形， ， ，
，平面 平面 ，E，F分别为 ， 的中点.(1)证明： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2) .
【详解】（1） ，
， .........................................................................................................1分
平面 平面 ，且交线为 ， 平面 ，
平面 ，
平面 ， .......................................................................................................2分
连接 ， ，如图，
因为四边形 是边长为 的菱形， ，
所以 为等边三角形.
又因为 为 的中点，所以 ，.........................................................................................4分
又 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .............................................................................................................................6分（2）设点 到平面 的距离为 ，则 ，
因为 ，所以 ，又由（1）知 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，...........................8分
又 平面 ， 平面 ，所以 ， ，
又 ， ，
又由 ， ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，.........................................................................................................................10分
且 ， ，
所以 ，即 ，
所以点 到平面 的距离为 .................................................................................................12分
20．（12分）设 ， 为实数，且 ，函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)设 ，函数 ，试问 是否存在极小值点?若存在，求出 的极小值点；若不存
在，请说明理由.
【答案】(1)答案见解析
(2) 存在极小值点，且极小值点为
【详解】（1） ， ， ，...................................................................1分
当 时， ， 在区间 上单调递增；...........................................................2分
当 ，且 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.................................................................................4分
综上，当 时， 在区间 上单调递增；
当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增..................................5分
（2）当 时， ， ，故 .
令 ， ，所以 ，........................................................................6分
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增...................................................................................8分
又 ， ， ，
故 ，使得 .
当 时， ， ， 单调递增；
当 时， ， ， 单调递减；................................................................10分
当 时， ， ， 单调递增，
故 存在极小值点，且极小值点为 ......................................................................................12分
21．（12分）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .
(1)求椭圆 的标准方程.
(2)已知过右焦点 的直线 与 交于 两点，在 轴上是否存在一个定点 ，使 ？若存在，
求出定点 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）因为 ，所以 .
所以椭圆 的方程为 .......................................................................................................2分
因为点 在椭圆 上，所以 ，解得 ，
所以 ............................................................................................................................................4分
所以椭圆 的标准方程为 .................................................................................................5分
（2）存在定点 ，使 .理由如下：
由（1）知， ，则点 .
设在 轴上存在定点 ，使 成立......................................................................6分
当直线 斜率为 时，直线右焦点 的直线 即 轴与 交于长轴两端点，
若 ，则 ，或 .....................................................................................7分
当直线 斜率不为 时，设直线 的方程为 ，.
由 消去 并整理，得 ，
则 ....................................................................................................9分
因为 ，所以 ，所以 ，即 .
所以 ，
即 ，
恒成立，...........................................................................11分
即对 ， 恒成立，则 ，即 .
又点 满足条件 .
综上所述，故存在定点 ，使 .........................................................................12分
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以原点O为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
(1)求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
(2)已知点 ，记 和 交于 两点，求 的值.
【答案】(1)曲线 的普通方程为 ；曲线 的直角坐标方程为(2)
【详解】（1）已知曲线 （ 为参数），
则 ，由 消参得 ，
则曲线 的普通方程为 ．.................................................................................................2分
由曲线 的极坐标方程为 ，
变形得 ，............................................................................................3分
即 ，且满足 ，
由互化公式 ，得 ，即 .
故曲线 的直角坐标方程为 ．.......................................................................................5分
（2）由于 在直线l上，
可设直线l的参数方程的标准形式为 （t为参数），
代入曲线 ，
化简得 ， ，............................................................................................7分
设A，B对应的参数分别为 ， ，则 ， ，................................................................................................................8分
由于 ，故 ，
所以 .
故 的值为 .....................................................................................................................10分
选修4-5：不等式选讲
23．（10分）已知函数 ．
(1)求不等式 的解集 ；
(2)若 是 的最小值，且正数 满足 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1） ................................................................1分
∴ 或 或 ，..................................................................3分
解得 或 或 ，
∴不等式的解集为 ；...........................................................................................5分
（2）证明：由 ，可得 的最小值为 ，...........................................6分则 ， ，
∴
，当且仅当 时，等号成立，.............................................9分
∴ ．.................................................................................................................10分
