文档内容
咸阳市 2024 年高考模拟检测（二）
数学（文科）试题
注意事项：
1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无
效，
4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.第I卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.若复数 满足 ，则复数 的共轭复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
3.已知在边长为1的菱形 中，角A为60°，若点E为线段 的中点，则 （ ）
A. B. C. D.
4.已知角 的始边为 轴的非负半轴，顶点为坐标原点，若它的终边经过点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
学科网（北京）股份有限公司A.30 B.58 C.60 D.90
6.执行右侧的程序框图，则输出的结果是（ ）
A.5050 B.4950 C.166650 D.171700
7.已知平面区域 中的点满足 ，若在圆面 中任取一点P，则该点取自区域
的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数 ，若 时，函数 的值域为（ ）
A. B. C. D.
9.已知三条不重合的直线 ，m，n和两个不重合的平面 ， ，则下列说法错误的是（ ）
A.若 ， ，则
B.若 ， ，则
C.若 ， ， ， ，且直线m，n异面，则
D.若 ， ， ， ，则
10.若将 确定的两个变量y与x之间的关系看成 ，则函数 的大致图像为
（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
11.已知点F为双曲线 的右焦点，过点F的直线 （斜率为k）交双曲线右支于M，N两点，若线
段 的中垂线交x轴于一点P，则 （ ）
A. B. C. D.
12.已知函数 ，若 是函数 的唯一极小值点，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知总体的各个个体的值由小到大依次为 2，4，4，6，a，b，12，14，18，20，且总体的平均值为10.则
的最小值为_____________.
14.P 为抛物线 上任意一点，点 ，设点 P 到 y 轴的距离为 d，则 的最小值为
____________.
15.已知a，b，c分别为 三个内角A，B，C所对的边，若 ，设点D为边
的中点，且 ，则 _____________.
学科网（北京）股份有限公司16.已知三棱锥 中， ， ， ， 底面 ，且 ，则该三棱锥的
外接球的表面积为_____________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个
试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）
陕西省从2022年秋季启动新高考，新高考“3+1+2”模式中“3”为全国统一高考科目的语文、数学、外语，
“1”为首选科目.要求从物理、历史2门科目中确定1门，“2”为再选科目，要求从思想政治、地理、化学、
生物学4门科目中确定2门，共计产生12种组合.某班有学生50名，在选科时，首选科目选历史和物理的统
计数据如下表所示：
历史 物理 合计
男生 1 24 25
女生 9 16 25
合计 10 40 50
附： ，其中 .
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（1）根据表中的数据，判断是否有99.5%的把握认为学生选择历史与性别有关；
（2）从选择物理类的40名学生中按照分层抽样，任意抽取5名同学成立学习小组，该小组设正、副组长各
一名，求正、副组长中至少有一名女同学的概率
18.（本小题满分12分）
已知正项数列 满足 ， .
（1）若 ，请判断并证明数列 的单调性；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
19.（本小题满分12分）
如图几何体中，底面 是边长为2的正三角形， 平面 ，若 ， ，
， .
学科网（北京）股份有限公司（1）求证：平面 平面 ；
（2）求该几何体的体积.
20.（本小题满分12分）
已知两圆 ： ， ： ，动圆C在圆 的内部，且与圆 相内切，与圆
相外切.
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点 ， ，过点M的直线交C于P，Q两点，求 的内切圆面积的最大值.
21.（本小题满分12分）
已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ，求 的取值范围.
（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计
分.
22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点，x轴正
半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为 .
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线 的一般方程；
（2）设直线 与曲线C交于A，B两点，求 面积的最大值.
23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数 .
（1）解不等式 ；
学科网（北京）股份有限公司（2）设函数 ，若函数 与 的图像无公共点，求参数 的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司咸阳市 2024 年高考模拟检测（二）
数学（文科）试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.D 2.B 3.C 4.C 5.D 6.D 7.A 8.A 9.B 10.C 11.D 12.A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 15. 16.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个
试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
7.解：（1）将表中的数据带入，得到 .
所以有99.5%的把握认为学生选择历史与性别有关.
（2）由题意知，抽取的5名同学中，男生有3名，设为A，B，C，女生2名，设为D，E，
从这5名同学中选取2名同学担任正副组长，所有的可能情况有：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共计10种基本情况，且每种情况的发生是
等可能的，
其中至少有一名女生的情况有 ， ， ， ， ， ， ，共计有7种情况，
所以 （至少有一名女生） .
18.解：（1）因为 ①，
当 时， ；
当 时， ②，
①-②得： ，
又 时， ，
学科网（北京）股份有限公司又 ，所以 ，
则 ，
又
所以，数列 是单调递减数列.
（2）
则
.
19.解：（1）证明：设M，N分别为 ， 边的中点，连接 ， ， ；
因为 平面 ， ， ， ， ，
所以 ，且 ，
即四边形 为平行四边形，可得 ，
在底面正三角形 中， 为 边的中点，则 ，
又 平面 ，且 平面 ，所以 ，
由于 ，且 平面 ，所以 平面 ，
因为 ， 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ，则平面 平面 .
（2）过点F做平行于底面 的平面 ，
学科网（北京）股份有限公司.
20.解：（1）设点 为所求曲线轨迹上任意一点，由题意知：
， ，
，
由椭圆的定义知，点C是以（-1，0），（1，0）为焦点， 的椭圆.
所以点C的轨迹方程为 .
（2）由题意知，直线 的斜率不为0，故设直线方程为 ，
联立 ，
，
设点 ， ，则 ， ，
，
又 的周长 为4×3=12，
所以 的内切圆半径 ，
令 ，则 ，设函数 ，
，在 上 ，函数 单调递增，即 ，
则 ，此时 的内切圆面积的最大值 .
学科网（北京）股份有限公司21.解：（1）因为 ，定义域为 ，所以 ，
当 时，由于 ，则 ，故 恒成立，
所以 在 上单调递减；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增，
综上：当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）因为 ，所以 等价于 ，
令 ，上述不等式等价于 ，
显然 为单调增函数，∴原不等式等价于 ，即 ，
令 ，则 ，
在 上 ， 单调递增；在 上 ， 单调递减，
∴ ，
，即 ，∴ 的取值范围是 .
（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计
分.
22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
解：（1）∵曲线C的极坐标方程为 ，
∴曲线C的直角坐标方程为 ，即 ，
又∵直线 的参数方程为 （ 为参数），
学科网（北京）股份有限公司∴直线 的一般方程为 .
（2）将直线 的参数方程 （ 为参数）带入 中，
得到 ，
化简可以得到： ，
则 ， ，
圆心C到直线 的距离 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号.
所以 的面积的最大值为2.
23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
解：（1）
若 ，即 或 或
解之得 或 ，
学科网（北京）股份有限公司则原不等式的解集为 .
（2）函数 ，若函数 与 的图像无公共点，即 在 上无
解，
可得： 在 上无解，
即 ， ，
因为函数 ，当 时， ，
所以 ，即 的取值范围为 .
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