文档内容
咸阳市 2024 年高考模拟检测（二）
数学（理科）试题
注意事项：
1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟
2．答卷前，考生务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效。
4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符题目要求的。
1．若复数 满足 ，则复数 的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知在边长为1的菱形 中，角 为 ，若点 为线段 的中点，财 （ ）
A． B． C． D．
4．已知角 的始边为 轴的非负半轴，顶点为坐标原点，若它的终边经过点 ，则
（ ）
A． B． C． D．
5．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．30 B．58 C．60 D．90
6．执行下侧的程序框图，则输出的结果是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．5050 B．4950 C．166650 D．171700
7．已知平面区域 中的点满足 ，若在圆面 中任取一点 ，
则该点取自区域 的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．当函数 取得最小值时， （ ）
A． B． C． D．
9．为了强化学生安全意识，落实“12530”安全教育，某学校让学生用这5个数字再加一个0来设定自己教室
储物柜密码，若两个0之间至少有一个数字，且两0不都在首末两位，可以设置的密码共有（ ）
A．72 B．120 C．216 D．240
10．若将 确定的两个变量 与 之间的关系看成 ，则函数 的大致图象
为（ ）
A． B． C． D．
11．已知点 为双曲线 的右焦点，过点 的直线 （斜率为 ）交双曲线右支于 两点，
若线段 的中垂线交 轴于一点 ，则 （ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
12．已知函数 ，若 是函数 的唯一极小值点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知总体的各个个体的值由小到大依次为 ，且总体的平均值为10，则
的最小值为________。
14． 为抛物线 上任意一点，点 ，设点 到 轴的距离为 ，则 的最小值为
________。
15．已知 分别为 三个内角 所对的边，若 ，设点 为边 的中
点，且 ，则 ________。
16．已知三棱锥 中， ，三角形 为正三角形，若二面角
为 ，则该三棱锥的外接球的体积为________。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每
个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（本小题满分12分）
已知正项数列 满足 。
（1）若 ，请判断并证明数列 的单调性；
（2）若 ，求数列 的前 项和 。
18．（本小题满分12分）
陕西省从2022年秋季启动新高考，新高考“ ”模式中“3”为全国统一高考科目的语文、数学、外语，
“1”为首选科目，要求从物理、历史2门科目中确定1门，“2”为再选科目，要求从思想政治、地理、化学、
学科网（北京）股份有限公司生物学4门科目中确定2门，共计产生12种组合。某班有学生50名，在选科时，首选科目选历史和物理的
统计数据如下表所示：
历史 物理 合计
男生 2 23 25
女生 8 17 25
合计 10 40 50
附： ，其中 。
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（1）根据表中的数据，判断是否有 的把握认为学生选择历史与性别有关；
（2）从选择历史的10名学生中任意抽取3名同学参加学校“铭记历史，强国有我”演讲比赛，设 为抽取
的三名学生中女生的人数，求 的分布列，并求数学期望和方差。
19．（本小题满分12分）
在几何体中，底面 是边长为2的正三角形。 平面 ，若
。
（1）求证：平面 平面 ；
（2）是否在线段 上存在一点 ，使得二面角 的大小为 。若存在，求出 的长度，若不
存在，请说明理由。
20．（本小题满分12分）
已知两圆 ，动圆 在圆 的内部，且与圆 相内切，与圆
相外切。
（1）求点 的轨迹方程；
（2）设点 ，过点 的直线交 于 两点，求 的内切圆面积的最大值。
21．（本小题满分12分）
已知函数 。
（1）讨论 的单调性；
学科网（北京）股份有限公司（2）若 ，求 的取值范围。
（二）选考题：共10分，考生从22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计
分。
22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为， （ 为参数），以坐标原点 为极原点，
轴正半轴为极轴，建立极坐标系。曲线 的极坐标方程为 。
（1）求曲线 的直角坐标方程和直线 的一般方程；
（2）设直线 与曲线 交于 两点，求 面积的最大值。
23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数 。
（1）解不等式 ；
（2）设函数 ，若函数 与 的图象无公共点，求参数 的取值范围。
咸阳市 2024 年高考模拟检测（二）
数学（理科）试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的
1．D 2．B 3．C 4．C 5．D 6．D 7．B 8．A 9．C 10．C 11．D 12．A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14． 15． 16．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每
个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．解：（1）因为 ，①
当 时， ；
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，②
①-②得： ，
又 时， ，
又 ，所以 ，
则 ，
又
所以，数列 是单调递减数列。（9分）
（2）由（1）知 ，
则
（12分）
18．解：（1）将表中的数据带入，得到
，
所以没有 的把握认为学生选择历史与性别有关。（5分）
（2）由题意知， 的可能取值为 ，
则 ，
学科网（北京）股份有限公司所以分布列为：
1 2 3
则数学期望 ，
方差 ．（12分）
19．解：（1）证明：如图，设 分别为 边的中点，连接 ，
因为 平面 ，
所以 ，且 ，
即四边形 为平行四边形，可得 ，
在底面正三角形 中， 为 边的中点，则 ，
又 平面 ，且 平面 ，所以 。
由于 ，且 平面 ，所以 平面 。
因为 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ，则平面 平面 。
（2）如图，以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，
学科网（北京）股份有限公司则 。
设点 ，则 。
设平面 的法向量为 ，平面 的法向
量为 。
由题意知 即
令 ，则 ，即 ，
同理可得： ，
由 ，将 的坐标带入计算，
可得： ，由于点 为线段 上一点，故 ，所以 ，
即存在点 满足，此时 ．（12分）
20．解：（1）设点 为所求曲线轨迹上任意一点，
由题意知 ，其中 为圆 的半径，
则 ，
由椭圆的定义知，点 是以 为焦点， 的椭圆。
所以点 的轨迹方程为 ．
学科网（北京）股份有限公司（2）由题意知，直线 的斜率不为0，故设直线 的方程为 ，
联立 消去 得 ，
设点 ，则 ，
，
又 的周长 为 ，
所以 的内切圆半径 ，
令 ，则 ，
设函数 ，则 ，在 上 ，函数 单调递增，即 ，
则 ，此时 的内切圆面积的最大值 。（12分）
21．解：（1）因为 ，定义域为 ，所以 ，
因为 ，令 ，解得 ，
当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时 ，则 在 上单调递增；
综上： 在 上单调递减， 在 上单调递增。
（2）因为 ，所以 等价于
，
学科网（北京）股份有限公司令 ，上述不等式等价于 ，
显然 为单调增函数， 所求不等式等价于 ，即 ，
令 ，则 ，
在 上 单调递增；在 上 单调递减，
，
，即 的取值范围是 。
（二）选考题：共10分，考生从22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计
分。
22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
解：（1） 曲线 的极坐标方程为 ，
曲线 的直角坐标方程为 ，即 。（2分）
又 直线 的参数方程为 （ 为参数），
直线 的一般方程为 。
（2）将直线 的参数方程 （ 为参数）带入 中，
得到 ，
化简可以得到： ，
则 ，
学科网（北京）股份有限公司圆心 到直线 的距离 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号。
所以 的面积的最大值为2。（10分）
23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
解：（1）
若 ，即 或 或
解之得： 或 。
则原不等式的解集为 或 。（5分）
（2）函数 ，若函数 与 的图象无公共点，即
在 上无解，
可得： 在 上无解，
即 ，
因为函数 ，当 ，
所以 ，即 的取值范围为 。（10分）
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