文档内容
2024届高三数学冲刺训练卷（一）参考答案
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目
要求的.
1．C【详解】因为 ，
，因此， ．故选：C．
2．A【详解】因为幂函数 在 上是增函数，
所以 ，解得 .故选：A
3、D【详解】对于选项A， 个数据从小到大排列，所以下四分位数即第25百分位数， ，所
以应该是第二个与第三个的平均数 ，故A不正确；
对于选项B， 因为 ，则 ，则 ，故B不正确；
对于选项C， 随机变量 满足 ，则 ，故C不正确；
对于选项D，若 ，则 ， 独立， ， 独立， ，
故D正确.故选：D．
4. B【详解】 由 可得 ， ， ，
， ，
，即则使S <0成立的最大正整数
k
的值为18.故选：B．
k
5. B【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆 是等腰梯形 的内切圆，设圆 与梯形的腰相切于
点 ，与上、下底的分别切于点 ， ，
设球的半径为 ，圆台上下底面的半径为 ， .注意到 与 均为角平分线，因此 ，
从而 ，故 .设台体体积为 ，球体体积为 ，则
数学答案 第1页（共10页）.
故选：B
6．C【详解】依次一个一个地往外取球（不放回）的试验，基本事件总数是 ，它们等可能，
对于A， 表示第1次、第2次取出的球都是黑球， ，A正确；
对于B， ， ，B正确；
对于C， ，所以 ，C错误.
对于D， ，D正确，故选：C
7．D【详解】因为 为锐角，所以 ， ，
又 ，所以 ，
而 ，所以 ，
，因此 .
故选：D．
8．D【详解】 ，令 ，
则 ，则 在 上单调递增，
数学答案 第2页（共10页）由 ， 为奇函数，得 ，则 ，
，
所以 所以，不等式的解集为 ，故选
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出选项中，有多项符合题目要求。全部
选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
9. 【答案】AD
【详解】对于A，设 对应的向量分别为 ，则由向量三角不等式得 ，
所以 恒成立，故 A正确；
对于B，取 ，但 ，故B错误；
对于C，当 时， ，而 ，故C错误；
对于D， ，故D正确；
故选 AD.
10.【答案】ABD
【详解】对于A，由 及 ，得 ，所以 ，A正确．
对于B，由 及 ，得 ，所以 ．同理可得 ．
又 ，所以 ，所以 ，B正确．
对于C，由 及 ，得 ，所以 ，得 ，
所以 ，得 ，C错误．
对于D，由 ，得 ，所以 ．
数学答案 第3页（共10页）因为 ， ，所以 ，所以 ，D正确．
故选：ABD．
11．【答案】ABD
D
1 C
1
对于A，若 ，显然平面PAC截正方体所得截面为 ，所 A
1 B
1
D
C
以，截面面积为 ，所以A正确；
B
A
对于B，因为 ，若 与AB所成的角为 ，则N点在以 为旋转轴的圆锥（无底）的表
面上，而 ，所以则N点的轨迹为双曲线，所以B正确；
对于C，若 ，则P在以A、C为焦点的椭球上且
， ，所以 ，又因为点P为四边形 内，该椭球被平面 截得的在四
边形 内的部分为半圆，且半径为 ，所以点 的轨迹长度为 ，所以C错误，
对于D， ，且 为正三角形，若正方体绕 旋转 后与其自身重合，
只需要 旋转后能和自身重合即可，所以D正确。故答案为ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．【答案】
【详解】 在 上的投影为 ， ，则 ，即
又 ，平方得 ，则
数学答案 第4页（共10页）即 ．故答案为： ．
13．【答案】
【详解】由题意得， ，由此类推， ， ， ， ， ，
， ， ， ，…，
观察规律，三角形会有1个相等的角，并且角的度数恰好是其内角的度数，正方形有2个 ，正五边形
有3个 ，正六边形有4个 ，…， 所以正 多边形有 个 ．
令 ，解得 ，所以 的最小值为 ，即满足条件 的角至少要在正61边形
中，所以 ，即 的最小值为
14．【答案】 A
【详解】 ， ，
B C
D
，所以 ，即
而 ， ，即 ，
在 中，设 ，则 ，所以
所以
因为 ，所以 ，所以 ， ，所以
数学答案 第5页（共10页）所以 ， ，而 的面积为 ，所以 ，
所以 ，故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 【详解】（1）解：因为 ，
...........2分
当 时，可得 ， ...........3分
当 ，即 时， 取得最小值 ， ...........5分
因为 时， 恒成立，所以 ，
即实数 的取值范围为 . ...........6分
（2）解：由题意，函数 ， ...........8分
因为 ，所以 ， ...........9分
又因为函数 有且仅有5个零点，则满足 ， .........12分
解得 ， 所以实数 的取值范围 ...........13分
16. 【详解】（1）①② ③,
连接 相交于 ，连接 ，由于底面 是正方形，所以 ，
又 ， 平面 ，
故 平面 ， 平面 ,故 ,
由于 ，故 ,
数学答案 第6页（共10页）因此 , 平面 ，
故 平面 ，（可得四棱锥 是正四棱锥）
平面 ，故 ,
又 平面 ,故 平面 ． ...........7分
②③ ①,
连接 相交于 ，连接 , 由于底面 是正方形，所以 ，
又 ， 平面 ，
故 平面 ， 平面 ，故 ,
又 平面 ， 平面 ，故 ,
平面 ,故 平面 ,
结合底面 是正方形， 是正方形的中心，
所以四棱锥 是正四棱锥，故 ， ...........7分
①③ ②,
连接 相交于 ，连接 , 平面 ， 平面 ，故 ,
由于 故 ,又 ,故 ,
故 ,
因此 ， 平面 ，故 平面 ,
故四棱锥 是正四棱锥，
由于 ，又 ， 平面 ，
故 平面 ， 平面 ,故 ， ...........7分
（2）无论选择哪两个条件，都可以推出四棱锥 是正四棱锥，
设四棱锥的底边边长为 ，则四 ，
所以 ，
数学答案 第7页（共10页）故 ，
由于 ，当且仅当 ，即 时取等号，
故当四棱锥的底边边长为 时，四棱棱锥 体积的最大值为 .
（法一）因为 底面 ，由点 向 作垂线，垂足为 ，连接 ，
又因为 底面 ， ,所以 为二面角 的平面角，
, ， ，
即二面角 的余弦值为 . ...........15分
（法二）以 点为坐标原点建立如图空间直角坐标系，
则 ，所以 , ,
设面 的法向量为 ，
则 即 ，不妨取 ，则 ，所以 ，
z
P
易得平面 的法向量 ，
y
A
D
设二面角 的平面角为 ，
O
B C
x
即二面角 的余弦值为 . ...........15分
数学答案 第8页（共10页）17.解：设 ， ，
..................3分
故求动点 的轨迹方程.为 ．
..................4分
（2）
，
..................5分
，即 ，
.................6分
设直线 的方程为 ， ， ， ， ，
联立 ，得 ， ， ，
..................8分
且 ..................9分
∴ ，
.................10分
代入可得∴ ，
..................12分
∴直线 方程为 ，即直线 过定点
..................13分
此时 ，
∴ ．
..................15分
数学答案 第9页（共10页）18．【详解】（1）；
1 1 1 1
× × =
甲→甲→甲→甲 2 2 2 8
第一种情况：
，概率为 ； ..................1分
1 1 1 1
× × =
甲→乙→甲→甲 2 3 2 12
第二种情况： ，概率为 ； ..................2分
1 2 1 1
× × =
甲→乙→丙→甲 2 3 2 6
第三种情况： ，概率为 ； ..................3分
第四种情况：甲→甲→乙→甲，概率为 .................4分
1 1 1 1 11
+ + + =
8 12 6 12 24
所以三次投掷骰子后球在甲手中的概率为 . ..................5分
（2）由于投掷 次骰子后球不在乙手中的概率为 ，此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有
的概率传给乙，故有 ． ..................7分
变形为 ．
又 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列． ..............9分
所以 ． ..............10分
所以数列 的通项公式 ． ............11分
（3）由（2）可得
1 9 1 1
a = = =6[ − ]
n (−2) np n ⋅p n+1 (−2) n [1−(− 1 ) n ]⋅[1−(− 1 ) n+1 ] 1−(− 1 ) n 1−(− 1 ) n+1
2 2 2 2
， ....12分
则
数学答案 第10页（共10页）1 1 1 1 1 1
a +a +⋯+a =6[ − + − +⋯+ − ]
1 2 n 1 1 1 1 1 1
1−(− ) 1 1−(− ) 2 1−(− ) 2 1−(− ) 3 1−(− ) n 1−(− ) n+1
2 2 2 2 2 2
2 1
¿6( − )
3 1
1−(− ) n+1
2 ..13分
1 1 3 1 4 2 1
∴1−(− ) n+1 =1−( ) n+1∈[ ,1), ∈(1, ],∴6[ − ]∈(−4,−2]
2 2 4 1 3 3 1
1−( ) n+1 1−(− ) n+1
当n是奇数时， 2 2
4
∴a +a +⋯+a ≤−2<− .
1 2 n 3 ....15分
1 1 9 1 8 2 1 4
∴1−(− ) n+1 =1+( ) n+1∈(1, ], ∈[ ,1),∴6[ − ]∈(−2,− ]
2 2 8 1 9 3 1 3
1−( ) n+1 1−(− ) n+1
当n是偶数时， 2 2
4
∴a +a +⋯+a ≤− .
1 2 n 3 ....16分
4
∴a +a +⋯+a ≤− .
综上， 1 2 n 3 ....17分
19.解：（1） S ={1,2,3,4} 的全部非空子集为 {1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},
4
{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}, 其中好子集有 {1},{2},{3},{4},
{1,2},{1,4},{2,3},{3,4},{1,2,3},{2,3,4},{1,2,3,4}, 共有 11个. 所以 f(4)=11. ....4分
（2）将 的元素从小到大排列, 即 , 其中 .首先对任意的
X X={a ,a ,…,a },k⩾3 a
