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高二数学（人教版）
本试卷共4页，19题．全卷满分150分，考试时间120分钟．
考生注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 若 是离散型随机变量，则 （ ）
A. B. C. 0 D.
2. 函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在开区
间 内有极小值点（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 某市旅游局对全市各旅游景区的环境进行综合治理，投入不同数额的经费（ 千万元），得到各旅游景
区收益的增加值（ 万元），对应数据如下表所示：
投人的治理经费 （单位：千万元） 1 2 3 4 5 6 7
收益的增加值 （单位：万元） 2 3 2 5 7 7 9
若 与 的回归直线方程为 ，则相应于点 的残差是（ ）A. B. 0.358 C. D. 8.642
4. 函数 在 上（ ）
A. 单调递增 B. 单调递减 C. 有增有减 D. 无法判定
的
5. 某班新年联欢会原定 5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原
节目单中，那么不同插法的种数为
A. 42 B. 30 C. 20 D. 12
6. 已知函数 是自然对数的底数．若曲线 在点 处的切
线方程是 ，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
7. 甲乙两人分别掷两枚骰子，规则如下：若掷出的点数之和是3的倍数，则由原掷骰子的人继续掷；若掷
出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着掷．第一次掷由甲开始，设第 次由甲掷的概率为 ，则 与
之间的关系是（ ）
.
A B.
C. D.
8. 设 分别是离心率为 的椭圆 的左、右焦点，过点 的直线交椭圆
于 两点，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 把一个正态曲线 沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线 ，下列说法中正确的是（
）
A. 曲线 仍然是正态曲线
B. 曲线 和曲线 的最高点的纵坐标相等
C. 以曲线 为概率密度曲线的总体的期望比以曲线 为概率密度曲线的总体的期望小2
D. 以曲线 为概率密度曲线的总体的方差比以曲线 为概率密度曲线的总体的方差大2
10. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，则下列结论中正确的是（
）
A. B. 是等比数列
C. D. 是递增数列
11. “曼哈顿距离”是由赫尔曼-闵可夫斯基使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点
的 曼 哈 顿 距 离 为 ： ． 若 点 ， 点 为 圆
上一动点，则（ ）
A. 点 和点 的曼哈顿距离为3
B. 设 ，则
C. 的最大值为
D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知随机变量 ，则 的值是___________
13. 在二项式 的展开式中，所有项的系数和为 ，则此二项式展开式中二项式系数之和
是___________．
14. 若不等式 对任意 恒成立，则整数 的最大值是___________．
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 ，其中 为自然对数 的底数．
（1）求 的极值；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围．
16. 如图，在四棱锥 中，底面矩形 垂直于侧面 ，且 分别是棱
的中点， ．
（1）证明： 平面 ；
的
（2）若 ，求二面角 正弦值．
17. 已知 为坐标原点， 是抛物线 上与点 不重合 的任意一点．
（1）设抛物线 的焦点为 ，若以 为圆心， 为半径的圆 交 的准线 于 两点，且
的面积为 ，求圆 的方程；
（2）若 是拋物线 上的另外一点，非零向量 满足 ，证明：直线 必经过一个定点．
18. 某市一些企业，由于没有技术更新业务受到形响，资金出现缺额，银行将给予低息贷款的扶持．银行
制定了评分标准，根据标准对这些企业进行评估，然后依据企业评估得分将这些企业分别定为优秀、良好、
合格、不合格四个等级，并根据等级分配相应的低息贷款数额．为了更好地掌握贷款总额，银行随机抽查
了部分企业，得到以下两个图表数据．
评估得分
评定类型 不合格 合格 良好 优秀
贷 款 金 额
0 200 400 800
（万元）
（1）任抽一家企业，求抽到的等级是优秀或良好的概率（将频率近似看做概率）；
（2）对照上表给出的标准，这些企业进行了整改．整改后，优秀企业数量不变，不合格企业、合格企业、
良好企业的数量成等差数列．要使这些企业获得贷款的数学期望不低于410万元，求整改后不合格企业占
企业总数百分比的最大值．
19. 特征根方程法是求一类特殊递推关系数列通项公式的重要方法．一般地，若数列 满足
，则数列 的通项公式可以按以下步叕
求解：① 对应的方程为 ，该方程有两个不等的实数根 ；②令
，其中 为常数，利用 求出 ，可得 的通项公式．满足
的数列 称为斐波那契数列．（1）求数列 的通项公式；
（2）若存在非零实数 ，使得 为等比数列，求 的值；
（3）判定 是数列 的第几项，写出推理过程．高二数学（人教版）
本试卷共4页，19题．全卷满分150分，考试时间120分钟．
考生注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 若 是离散型随机变量，则 （ ）
A. B. C. 0 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据随机变量的数学期望的性质计算即可.
【详解】 .
故选：C.
2. 函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在开区
间 内有极小值点（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A【解析】
【分析】由导函数的图象可知 在开区间 内有 个零点 ， ，
分析导函数再零点左右的导数值（正、负），即可判断函数的极值点，从而得解.
【详解】从图形中可以看出， 在开区间 内有 个零点 ， ，
在 处的两边 左正、右负，取得极大值；
在 处的两边 左负、右正，取值极小值；
在 处的两边 都为正，没有极值；
在 处的两边 左正、右负，取值极大值．
因此函数 在开区间 内的极小值点只有一个．
故选：A．
3. 某市旅游局对全市各旅游景区的环境进行综合治理，投入不同数额的经费（ 千万元），得到各旅游景
区收益的增加值（ 万元），对应数据如下表所示：
投人的治理经费 （单位：千万元） 1 2 3 4 5 6 7
收益的增加值 （单位：万元） 2 3 2 5 7 7 9
若 与 的回归直线方程为 ，则相应于点 的残差是（ ）
A. B. 0.358 C. D. 8.642
【答案】B
【解析】
【分析】先算出 ，代入回归直线方程为 ，可得 ，进而得到回归直线方程，当
时，求出 ，算出残差即可.
【详解】 ，
所以 ，当 时， ，因此残差为 ．
故选：B．
4. 函数 在 上（ ）
A. 单调递增 B. 单调递减 C. 有增有减 D. 无法判定
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的导数即可分析函数单调性.
【详解】因为
，函数 在 上单调递减．
故选：B．
5. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原
节目单中，那么不同插法的种数为
A. 42 B. 30 C. 20 D. 12
【答案】A
【解析】
【详解】原定的5个节目之间有6个位．
当插入的这两个新节目在一起时，有 插法；
当插入的这两个新节目不在一起时，有 插法，
所以总的不同插法的种数为 种．
故选：A．
【点睛】关于排列和组合的题目，常用到捆绑法和插位法．捆绑法是将一些对象看作一个对象进行排列；
插位法是将一些对象进行排列后，再对剩下的对象进行排列．
6. 已知函数 是自然对数的底数．若曲线 在点 处的切
线方程是 ，则 的值是（ ）
A. B. C. D.【答案】C
【解析】
【分析】求导，根据函数在某点的切线方程得到 在点 处的切线方程可表示为：
，再由切线方程是 ，建立方程组求解.
【详解】因为 ，所以 ．
在点 处的切线方程可表示为：
，
又因为曲线 在点 处的切线方程是 ，
所以 解得 ．
故选：C.
7. 甲乙两人分别掷两枚骰子，规则如下：若掷出的点数之和是3的倍数，则由原掷骰子的人继续掷；若掷
出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着掷．第一次掷由甲开始，设第 次由甲掷的概率为 ，则 与
之间的关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】据题意列出第 次由甲掷的两种情况，根据互斥事件判断可得到答案.
【详解】第 次由甲掷应该有两种情况：①第 次由甲掷，第 次继续由甲掷，此时概率为 ；
②第 次由乙掷，第 次由甲掷，此时概率为 ．
由于这两种情况是互斥的，
因此 与 之间的关系式是 ，其中 ．
故选：C．
8. 设 分别是离心率为 的椭圆 的左、右焦点，过点 的直线交椭圆
于 两点，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由椭圆的定义结合余弦定理代入计算，即可得到 ，从而得到结果.
【详解】因为 ，所以 ．设 ，则 ．
在 中， ．
在 中， ，
所以 ，整理得， ．
于是 ．
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 把一个正态曲线 沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线 ，下列说法中正确的是（
）
A. 曲线 仍然是正态曲线
B. 曲线 和曲线 的最高点的纵坐标相等
C. 以曲线 为概率密度曲线的总体的期望比以曲线 为概率密度曲线的总体的期望小2
D. 以曲线 为概率密度曲线的总体的方差比以曲线 为概率密度曲线的总体的方差大2
【答案】AB
【解析】
【分析】利用正态分布的图象与性质判定即可.
【详解】密度函数 ，向右移动2个单位后，密度函数 ，
曲线b仍然是正态曲线，最高点的纵坐标不变,故AB正确；
以曲线b为概率密度曲线的总体的期望值为 ，故C错误；
以曲线 为概率密度曲线的总体的方差不变．故D错误；
故选: AB．
10. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，则下列结论中正确的是（
）
A. B. 是等比数列
C. D. 是递增数列
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题中条件可得 ，判断 A；通过两式相减的 ，变形可得出，判断B；
根据求和公式结合作差法比较大小判断C，D；
【详解】对于A，由 得，
，所以 ．A正确；
对于B，将 与 整体相减得， ，
所以 ，
又 ，即 ，
所以 ．
因此 不是等比数列，B错误；
对于C,因为 ，
所以当 时， ．
当 时， ．
当 时， ，因此 ,C正确；
对于D，因 为，
所以 ，
所以 ，
因此 是递增数列，D正确；
故选:ACD．
11. “曼哈顿距离”是由赫尔曼-闵可夫斯基使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点的 曼 哈 顿 距 离 为 ： ． 若 点 ， 点 为 圆
上一动点，则（ ）
A. 点 和点 的曼哈顿距离为3
B. 设 ，则
C. 的最大值为
D. 的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据“曼哈顿距离”即可去判断选项A，根据 ，分类讨论去绝对值结合辅助角
公式可求判断选项B，C，D.
【详解】对A， ，A对；
因为 ，
所以 ，B对；
当 ， 即 时 ， 的 最 大 值 为 ． 满 足
，
当 ，即 时， 的最大值为 ．满足，则C错，D对，
故选ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量 ，则 的值是___________
【答案】
【解析】
【分析】根据二项分布的方差公式求得 ，再结合方差的性质公式得出
结果.
【详解】因为 ，
所以 ．
故答案为： .
13. 在二项式 展开式中，所有项的系数和为 ，则此二项式展开式中二项式系数之和
的
是___________．
【答案】
【解析】
【分析】令 ，利用各项系数和求出 ，再利用二项式系数的性质即可求解.
【详解】在二项式 的展开式中，令 ，
得， ，
即， ，
解得， ，所以二项式系数和为 ．
故答案为：16.
14. 若不等式 对任意 恒成立，则整数 的最大值是___________．
【答案】3
【解析】
【分析】将不等式化为 ，令 ，将问题转化为
直线与曲线相切，进而求不等式的最值即可.
【详解】
不等式 就是 ，
令 ，显然直线 过定点 ，
因为 的定义域为 ，则 ，
所以当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
可以画出曲线 的草图（如图），
由图象可知，直线 的极限位置是与曲线 相切，
设切点是 ，则切线方程是 ，
将点 代入得， ，即 ，则 ，
令 ，则 在 内单调递增，又因为 ，在 中 ，于是
，故整数 的最大值是3.
故答案为： .
【点睛】本题考查了函数恒成立问题，直线与曲线相切应用，导数应用以及函数最值问题，体现了转化和
数形结合思想，是一道难题．
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 ，其中 为自然对数的底数．
（1）求 的极值；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2） ．
【解析】
【分析】（1）先对函数进行求导，对参数分类讨论，求解函数极值；
（2）根据 有两个零点转化为 ，令 ，利用函数求导判断函
数 单调性和在不同范围内函数的值域求得 的取值范围.
【小问1详解】
．
当 时， 上单增，既没有极大值，也没有极小值．
在
当 时，令 ，则当 时， 在 上单减，
当 时， 在 上单增，
所以 的极小值为 ，没有极大值.
【小问2详解】
由 得， ．令 ．
则 ，当 时， 单增；
当 时， 单减．因此 ．
显然当 时， ；当 时， ．
当 时，直线 与函数 的图象有且仅有两个公共点，
即函数 有两个零点．
故 的取值范围是 ．
16. 如图，在四棱锥 中，底面矩形 垂直于侧面 ，且 分别是棱
的中点， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的正弦值．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】（1）由面面垂直可得 平面 ，则 ，由几何知识可得 ， ，
结合线面垂直的判定定理分析证明；
（2）建系标点，可得平面 、平面 的法向量，利用空间向量求二面角.
【小问1详解】
因为 为矩形，则 ，
且平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
则 平面 ，且 平面 ，所以 ．
连接 ．
在 和 中， ，
可知 全等于 ．则 ，
且 是 的中点，则 ．
在 中， ，
而 是 的中点，则 ．
且 ， 平面 ，所以 平面 ．
【小问2详解】以A为坐标原点， 所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系
，
则 ，可得 ，
由（1）知， 是平面 的法向量，
且平面 的法向量是 ．
可得 ．
所以二面角 的正弦值为 ．
17. 已知 为坐标原点， 是抛物线 上与点 不重合的任意一点．
（1）设抛物线 的焦点为 ，若以 为圆心， 为半径的圆 交 的准线 于 两点，且
的面积为 ，求圆 的方程；
（2）若 是拋物线 上的另外一点，非零向量 满足 ，证明：直线 必经
过一个定点．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出 ，点 到准线 的距离 ，利用 求出 可得答案；（2）方法一，对 两边平方得 ，设 ，设直线
的方程为 ，结合抛物线方程得 ，再由
可得答案；方法二，对 两边平方得 ，设 ，设直
线 的方程为 与抛物线方程联立，利用韦达定理结合 可得答案.
【小问1详解】
准线 为 到 的距离是 ．由对称性知，
是等腰直角三角形，斜边 ，
点 到准线 的距离 ，
，解得 ，
故圆 的方程为 ；
【小问2详解】
方法一，因为 ，
所以 ，
所以 ，
设 在抛物线 上，
则 ．
显然直线 的斜率存在，
则直线 的方程为 ，将 代入得， ，
即 ，
令 ，得 ，
由 得， ，
因为 （否则， 有一个为零向量），
所以 ，代入 式可得 ，
故直线 经过定点 ．
方法二，因为 ，所以 ，
设 在拋物线 上，
则 ，
显然直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
联立 消去 得到，
，
由 得， ，
因为 （否则， 有一个为零向量），
所以 ，即 ，因此 就是 ．故直线 经过定点 ．
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊
情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐
标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标
的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程
或截距式来证明.
18. 某市一些企业，由于没有技术更新业务受到形响，资金出现缺额，银行将给予低息贷款的扶持．银行
制定了评分标准，根据标准对这些企业进行评估，然后依据企业评估得分将这些企业分别定为优秀、良好、
合格、不合格四个等级，并根据等级分配相应的低息贷款数额．为了更好地掌握贷款总额，银行随机抽查
了部分企业，得到以下两个图表数据．
评估得分
评定类型 不合格 合格 良好 优秀
贷 款 金 额
0 200 400 800
（万元）
（1）任抽一家企业，求抽到的等级是优秀或良好的概率（将频率近似看做概率）；
（2）对照上表给出的标准，这些企业进行了整改．整改后，优秀企业数量不变，不合格企业、合格企业、
良好企业的数量成等差数列．要使这些企业获得贷款的数学期望不低于410万元，求整改后不合格企业占
企业总数百分比的最大值．【答案】（1）0.45
（2）
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图可得, 抽到不合格、合格、良好、优秀的概率,则可得抽到的等级是优秀
或良好的概率；
（2）设整改后，抽到不合格、合格、良好的概率分别为 ，则 也成等差数列，即 ，
又 ，可得 ，列出分布列，可求得 ，又数学期
望不低于410，列出不等式，即可解得不合格企业占企业总数百分比的最大值．
【小问1详解】
设任意抽取一家企业，抽到不合格、合格、良好、优秀的概率分别是 ，
则根据频率分布直方图可知，
．
故任抽一家企业，等级是优秀或良好的概率约为 ．
【小问2详解】
设整改后，任意抽取一家企业，抽到不合格、合格、良好的概率分别为 ，
因为不合格企业、合格企业、良好企业的数量成等差数列，所以 也成等差数列，
即 ，又因为 ，所以 ，
设整改后一家企业获得的低息贷款为随机变量 ，则其分布列是
0 200 400 800
0.25 0.25
于是
，
因为 ，所以 ，解得 ，故整改后不合格企业占企业总数百分比的最大值是 ．
19. 特征根方程法是求一类特殊递推关系数列通项公式的重要方法．一般地，若数列 满足
，则数列 的通项公式可以按以下步叕
求解：① 对应的方程为 ，该方程有两个不等的实数根 ；②令
，其中 为常数，利用 求出 ，可得 的通项公式．满足
的数列 称为斐波那契数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若存在非零实数 ，使得 为等比数列，求 的值；
（3）判定 是数列 的第几项，写出推理过程．
【答案】（1）
（2） ，或 ．
（3）第2024项，答案见解析
【解析】
【分析】（1）应用待定系数法求参即可；
（2）设数列为等比数列再应用待定系数法得出等式再求参；
（3）化简再应用裂项相消求和即可得出数列中的项.
【小问1详解】
由题意知， 对应的特征方程是 ，解得 ．于是 ，其中 为常数．
当 时，有 ，解得 ．
故 ．
【小问2详解】
设 ，则 ，与
比较得到， 是方程 的根，
所以 或 ．
故 ，或 ．
【小问3详解】
因为 ，所以
．
于是 ．
因此 ．
故 是数列 的第2024项．
【点睛】方法点睛：应用已知递推数列求通项公式应用待定系数法解决列方程组求根.
