THUSSAT2023年3月诊断性测试数学试卷_2024年2月_01每日更新_16号_2023届THUSSAT中学生标准学术能力高三下学期3月月诊断性测试_THUSSAT2023年3月诊断性测试数学试卷及答案

中学生标准学术能力诊断性测试 2023 年 3 月测试 数学试卷 本试卷共 150分，考试时间 120分钟。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1． 已知集合 第1页 共4页 第2页 共4页 A =  x x 2 − 4 x + 3  0  ， B =  y y =  1 2  − x 2 − 1  ，则 A B = A．  2 , 3 ) B． ( 1 , 3 ) C．  2 , +  ) D． ( 3 , +  ) 2． 设 z 是纯虚数，若 3 1 + + z i 是实数，则 z 的虚部为 A．−3 B．−1 C．1 D． 3 3． 已知函数 f ( x ) 3 s i n ( x ) c o s ( x ) ( 0 , )        = + − +   ，则“函数 f ( x ) 是偶函数”是 “ = 3   − ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4． 若圆 ( x − a ) 2 + ( y − 3 ) 2 = 2 0 上有四个点到直线 2 x − y + 1 = 0 的距离为 5，则实数 a 的取值范 围是 A．  −  , − 1 3 2   1 7 2 , +   B．  − 1 3 2 , 1 7 2   3 7  C． −,−   ,+  D．  2 2   − 3 2 , 7 2  A． 5． 若7n +C1 7n−1+ +Cn−17+Cn 是9的倍数，则自然数n为 n+1 n+1 n+1 A．4的倍数 B．3的倍数 C．奇数 D．偶数 6． 现将 0-9 十个数字填入右方的金字塔中，要求每个数字都使用一 次，第一行的数字中最大的数字为a，第二行的数字中最大的数字 为b，第三行的数字中最大的数字为c，第四行的数字中最大的数 字为d ，则满足abcd的填法的概率为 1 1 0 1 2 B． C． D． 5 15 2 5 7． 在矩形ABCD中，已知 A B = 2 A D = 4 ， E 是 A B 的中点，将 ADE 沿直线 D E 翻折成  A 1 D E ，连接 A 1 C ．当二面角 A 1 − D E − C 的平面角的大小为 6 0  时，则三棱锥 A 1 − C D E 外接 球的表面积为 A． 5 6 3  B．18 C． 1 9 53  D． 3 8． 已知 a  0 且a1，若集合A=  x 2x2 log x  ， a B =  x y = l n x + l n  1 2 − x   ，且 A  B ， 则实数 a 的取值范围是 A．  0 , 1 4   1 , e 14 e  B．  0 , 1 4   e 14 e , +   C．  1 4 , 1   1 , e 12 e  D．  1 4 , 1   e 12 e , +   二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9． 设a0,b0，满足 3 a + 2 b = 1 ，下列说法正确的是 A． a b 1 的最大值为 B． 24 2 a + 1 b 的最小值为 8 3 C． a 2 + b 2 的最小值为 1 1 3 D． 9 a 2 + 4 b 2 的最小值为1 10．已知等差数列 a  的前 n n 项和为 S n ，满足 a 1 + a 2 + a 3 = 2 1 ， S 5 = 2 5 ，下列说法正确的是 A．a =2n+3 B． n S n = − n 2 + 1 0 n C．  S n   1  10 的最大值为S D．  的前10项和为− 5  a a  99 n n+1 11．已知ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，已知 b = 4 , c = 6 （第7题图） ，ABC的面积S 满足 (b+c)2 = ( 4 3+8 ) S+a2，点O为ABC的外心，满足AO=AB+AC，则下列结论正 确的是 （第6题图）A． 第3页 共4页 第4页 共4页 S = 6 B． C B  A O = 1 0 C． A O = 2 3 2 1 D． 2 2 3 3  = − 12．已知 P ( x 1 , y 1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) 是椭圆 x 4 2 + 9 y 4 2 = 1 上两个不同点，且满足 x 1 x 2 + 9 y 1 y 2 = − 2 ，则下 列说法正确的是 A． 2 x 1 + 3 y 1 − 3 + 2 x 2 + 3 y 2 − 3 的最大值为 6 + 2 5 B． 2x +3y −3 + 2x +3y −3 的最小值为 1 1 2 2 3 − 5 C． x −3y +5 + x −3y +5 的最大值为 1 1 2 2 2 5 + 2 5 1 0 D． x 1 − 3 y 1 + 5 + x 2 − 3 y 2 + 5 的最小值为 1 0 − 2 2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知点 M 为抛物线 y 2 = 8 x 上的动点，点 N 为圆x2 +(y−4)2 =5上的动点，则点 M 到 y 轴的 距离与点 M 到点 N 的距离之和最小值为 ． 14．已知 f ( x ) 为 R 上的偶函数，函数 h ( x ) = x 2 f ( x ) 在  0 , +  ) 上单调递增，则不等式 ( 1 − x ) 2 f ( 1 − x ) − ( 3 + x ) 2 f ( 3 + x )  0 的解集为 ． 15．用 0 ,1 , 2 , 3 , 4 , 5 这六个数字组成无重复数字的六位数，要求任意两个偶数数字之间至少有一个奇 数数字，则符合要求的六位数的个数有 个． 16．若关于 x 的不等式 e x ( 2 k − x )  x + 3 对任意的 x  ( 0 , +  ) 恒成立，则整数k的最大值为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在数列  a n  中， a 1 = 4 9 ， ( 3 n + 9 )  ( n + 1 ) 2 a n + 1 = ( n + 2 ) 3 a n ． （1）求  a n  的通项公式； （2）设a 的前n项和为S ，证明： n n S n  5 4 − 2 4 n  + 3 5 n ． 18．（12分）已知  A B C 的内角 A , B , C 的对边分别为a,b,c，且2bcosA−a=2c． （1）求角B； （2）设  A B C 的角平分线BD交 A C 于点D，若BD=2，求  A B C 的面积的最小值． 19．（12分）如图所示，在三棱锥A−BCD中，满足 B C = C D = 3 3 （2）若二面角 ， 点M 在CD上，且DM =5MC，ABD为边长为6的等边三角形， E为BD的中点，F 为AE的三等分点，且2AF =FE． （1）求证：FM 面ABC； A − B D − C 的平面角的大小为 2 3  ，求直线EM与面ABD所成角的正弦值． 20．（12 分）为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学 生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校 30 名高中学生进行问卷调查， 其中认为感兴趣的人数占70%． （1）根据所给数据，完成下面的 2  2 列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为学生对 “数学建模”选修课的兴趣度与性别有关？ 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 12 女生 5 合计 30 （2）若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈， 记选出高三女生的人数为 X ，求 X 的分布列与数学期望． 附： K 2 = ( a + b ) ( n c ( + a d d ) − ( b a c + 2 ) c ) ( b + d ) ，其中n=a+b+c+d ． P ( K 2  k 0 ) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21．（12分）已知双曲线C以 2 x  5 y = 0 为渐近线，其上焦点 F 坐标为 ( 0 , 3 ) ． （1）求双曲线C的方程； （2）不平行于坐标轴的直线 l 过F 与双曲线 C 交于 P , Q 两点， P Q 的中垂线交 y 轴于点 T ，问 T P F Q 是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由． x 22．（12分）设 f (x)= (xR)． ex 1 （1）求 f (x) 的单调性，并求 f (x) 在x = 处的切线方程； 2 （2）若 (ex) f (x)k(lnx+1) 在x(1,+) 上恒成立，求 k 的取值范围． （第19题图）