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5.1 导数的概念及意义
【题组一 平均速率】
1．函数f(x)＝x2在x 到x＋Δx之间的平均变化率为k，在x－Δx到x 之间的平均变化率为k，则k，k 的
0 0 1 0 0 2 1 2
大小关系是( )
A．k＜k B．k＞k
1 2 1 2
C．k＝k D．无法确定
1 2
【答案】D
【解析】∵k＝ ＝2x＋Δx，k＝ ＝2x－Δx，
1 0 2 0
又Δx可正可负且不为零，∴k，k 的大小关系不确定．选D.
1 2
2．（2020·全国高二课时练习）若函数f(x)＝－x2＋10的图象上一点 及邻近一点
，则 ＝( )
A．3 B．－3
C．－3－ D．－ －3
【答案】D
【解析】 ， .故选：D.
3．（2020·临海市白云高级中学高二月考）已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(
)
A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44
【答案】B
【解析】 故选B．
4．（2020·河南洛阳·高二期中（理））函数 的图象如下图，则函数 在下列区间上平均变化率
最大的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数 在区间上的平均变化率为 ，
由函数图象可得，在区间 上， 即函数 在区间 上的平均变化率小于0；
在区间 、 、 上时， 且 相同，由图象可知函数在区间 上的 最大.
所以函数 在区间 上的平均变化率最大.
故选：C.
5．（2020·陕西新城·西安中学高二期中（理））函数 在区间 上的平均变化率为3，则
实数m的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【解析】解解：根据题意，函数 在区间 上的平均变化率为 ，
则有 ，解可得： ，故选：D
【题组二 导数的概念】
1．（2020·四川高二期中（理））如果一个物体的运动方程为 ，其中 的单位是千米，
的单位是小时，那么物体在4小时末的瞬时速度是（ ）A．12千米/小时 B．24千米/小时 C．48千米/小时 D．64千米/小时
【答案】C
【解析】由 ，则当 ， 故选：C.
2．（2020·广东宝安·高三开学考试）设函数 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 .故选：B.
3．（2020·全国高二单元测试）已知 ，则 （ ）
A． B．1 C．3 D．9
【答案】D
【解析】 .故选：D.
4．（2020·伊美区第二中学高二期末（文））设 在 处可导，则 （
）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 在 处可导,
所以，由导数的定义可得： .
故选：A5．（2020·陕西蓝田·高二期末（理））设函数f(x)在x=1处存在导数为2,则 =(
)
A．2 B．1 C． D．6
【答案】C
【解析】∵函数f（x）在x＝1处存在导数，
∴ f′（1）= ．故选C．
6．（2020·贵州威宁·高二期末（理））已知 是 的导函数，且 ，则
（ ）
A．4 B．8 C．-8 D．-2
【答案】C
【解析】因为 ， ， 故选：C
7．（2020·青海西宁·高二期末（文））若 ，则 （ ）
A．e B． C．1 D．0
【答案】D
【解析】 ， ，则 ，
∴ ，故选：D．
8．（2020·辽宁葫芦岛·高二期末）设函数 在 处可导，且 ，则 等于（ ）
A． B． C．1 D．-1
【答案】A
【解析】由题意知 ，
所以 ，故选:A.
9．（2020·宜城市第二高级中学高二期中）已知函数 可导，则 等于（
）
A． B．不存在
C． D．以上都不对
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
所以 .故选：A
10．（2020·江苏广陵·扬州中学高二月考（文））已知某物体的运动方程是 ，则当 时的瞬
时速度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】当 时的瞬时速度是为 导函数在 的值，因为 ，所以 ，因此当
时的瞬时速度是 ，选C.
11．（2020·陕西咸阳·高二期末（理））设 是可导函数，且 ，则
（ ）
A．2 B．-1 C．1 D．-2
【答案】A
【解析】 ．故选：A.
12．（2020·广东清远·高二期末）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品时，需要对原油进行冷
却和加热.如果第xh时，原油的温度（单位：℃）为y＝f(x)＝x2﹣7x+15（0≤x≤＜8），则第4h时，原油温
度的瞬时变化率为（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．5
【答案】B
【解析】根据题意，第4h时，原油温度的瞬时变化率为 ；
又 ，故可得 ，则 .故选： .
13．（2020·陕西省商丹高新学校高二期中（理））如图所示的是 的图象，则 与
的大小关系是( )
A． B．C． D．不能确定
【答案】B
【解析】由函数图像可知函数在A处的切点斜率比在B处的切线斜率要小，由导数的几何意义可知
成立
14．（2020·陕西咸阳·高二期末（文））已知 是可导函数，且 ，则
（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【解析】根据题意， ；故 ；故选： ．
15．（2019·安徽马鞍山二中高二期中（理））有一机器人的运动方程为 （t是时间，s是位移），
则该机器人在时刻 时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，则 ，
所以机器人在时刻 时的瞬时速度为 ，故选D.
【题组三 导数的计算】
1．（2020·陕西省丹凤中学高三一模（理））点P在曲线 上移动，设点P处切线的倾斜角为
，则角 的范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，则 ，
则 ，又 ，所以 ，故选：D.
2．（2020·广东汕尾·高二期末）已知曲线 ，P为曲线C上任意一点，设曲线C在点P处的
切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知， ，
曲线C在点 处的切线斜率为 ，
当且仅当 ，即 ，即 时，等号成立，
∴ ，即 ，∴ ．
故选：D．
3．（2020·江西省奉新县第一中学高三月考（理））曲线 在点 处的切线的
斜率为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ,故选C.
4．（2020·全国高三月考）已知函数 ，则在曲线 的所有切线中，斜
率的最大值为______.
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
因为当 时 取得最大值为 ，
所以根据导数的几何意义可知，曲线 的切线中斜率的最大值为 .
故答案为： .
5．（2019·广东湛江·高二期末（文））函数 在 处的切线的斜率为_________.
【答案】1
【解析】由 ，得 ，则 ，
所以 在 处的切线的斜率为1故答案为：1
6．（2020·河南高三月考（文））曲线 的一条切线的斜率为 ，则该切线的方程为
_______．
【答案】【解析】设切点坐标为 ，其中 ，
对函数 求导得 ，所以切线的斜率 ，
因为 ，解得 ，则 ，切点为 ，
则该切线的方程为 ，即所求切线方程为 ．
故答案为： ．
