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5.2.3简单复合函数的导数
[A级 基础巩固]
1．函数y＝5的导数为( )
A．y′＝54
B．y′＝54
C．y′＝54
D．y′＝54
解析：选C 函数y＝5是函数y＝u5与u＝x＋的复合函数，∴y′ ＝y′ ·u′ ＝54.
x u x
2．函数y＝xln(2x＋5)的导数为( )
A．ln(2x＋5)－
B．ln(2x＋5)＋
C．2xln(2x＋5)
D.
解析：选B y′＝[xln(2x＋5)]′
＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′
＝ln(2x＋5)＋x··(2x＋5)′
＝ln(2x＋5)＋.
3．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
解析：选B 设切点坐标是(x，x＋1)，依题意有由此得x＝－1，a＝2.
0 0 0
4．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D．1
解析：选A y′＝－2e－2×0＝－2，∴ 曲线在点(0,2)处的 切线方程为y＝－2x＋2.
由得x＝y＝，
∴A，
则围成的三角形的面积为××1＝.
5．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选D y′＝＝
＝.
∵ex＋≥2，∴ex＋＋2≥4，
∴y′∈[－1,0)，即tan α∈[－1,0)，
∴α∈.
6．函数y＝sin 2xcos 3x的导数是________．
解析：∵y＝sin 2xcos 3x，
∴y′＝(sin 2x)′cos 3x＋sin 2x(cos 3x)′
＝2cos 2xcos 3x－3sin 2xsin 3x.
答案：2cos 2xcos 3x－3sin 2xsin 3x
7．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率为________．
解析：y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，
x
故曲线在点(1,1)处切线的斜率为2.
答案：2
8．若y＝f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.
解析：令u＝2x＋a，则y′＝y ′·u′＝(u2)′(2x＋a)′＝4(2x＋a)，
x u x
则f′(2)＝4(2×2＋a)＝20，∴a＝1.
答案： 1
9．求函数y＝asin ＋bcos22x(a，b是实常数)的导数．
解：∵′＝acos′＝cos，
又∵(cos22x)′＝′
＝(－sin 4x)×4＝－2sin 4x，
∴y＝asin ＋bcos22x的导数为
y′＝′＋b(cos22x)′＝cos－2bsin 4x.
10．曲线y＝e2xcos 3x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为 ，求直线l的方程．
解：由y′＝(e2xcos 3x)′
＝(e2x)′cos 3x＋e2x(cos 3x)′
＝2e2xcos 3x＋e2x(－3sin 3x)
＝e2x(2cos 3x－3sin 3x)，
得y′＝2.
则切线方程为 y－1＝2(x－0)，
即2x－y＋1＝0.
若直线l与切线平行，可设直线l的方程为2x－y＋c＝0，
两平行线间的距离d＝＝，解得c＝6或c＝－4.
故直线l的方程为2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0.
[B级 综合运用]
11．函数f(x)＝的导函数是( )
A．f′(x)＝2e2x B．f′(x)＝C．f′(x)＝ D．f′(x)＝
解析：选C 对于函数f(x)＝，对其求导可得：f′(x)＝＝＝.故选C.
12．(多选)下列函数是复合函数的是( )
A．y＝－x3－＋1 B．y＝cos
C．y＝ D．y＝(2x＋3)4
解析：选BCD A中的函数是一个多项式函数，B中的函数可看作函数u＝x＋，y＝cos u的复合函数，C
中的函数可看作函数u＝ln x，y＝的复合函数，D中的函数可看作函数u＝2x＋3，y＝u4的复合函数，故
选B、C、D.
13．已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．
解析：设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.
因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝ex－1＋x，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝2，即所求的切线方程为y－2＝2(x－1)，
即2x－y＝0.
答案：2x－y＝0
14．设曲线y＝e－x(x≥0)在点M(t，e－t)处的切线l与x轴，y轴围成的三角形面积为S(t)．
(1)求切线l的方程；(2)求S(t)的解析式．
解：(1)∵y＝e－x，∴y′＝(e－x)′＝－e－x，
x
当x＝t时，y′＝－e－t.
x
故切线方程为y－e－t＝－e－t(x－t)，
即x＋ety－(t＋1)＝0.
(2)令y＝0，得x＝t＋1.
令x＝0，得y＝e－t(t＋1)．
∴S(t)＝(t＋1)·e－t(t＋1)＝(t＋1)2e－t(t≥0)．
[C级 拓展探究]
15．求曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线l：2x－y＋3＝0的最短距离．解：作出直线 l：2x－y＋3＝0和曲线 y＝ln(2x－1)的图象(图略)，可知它们无公共点，所以平移直线l，
当l与曲线相切时，切点到直线l的距离就是曲线上的点到直线l的最短距离，y′＝(2x－1)′＝.
设切点为P(x，y)，
0 0
所以＝2，所以x＝1，
0
所以y＝ln(2×1－1)＝0，P(1,0)．
0
所以曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线l：2x－y＋3＝0的最短距离为P(1,0)到直线l：2x－y＋3＝0的距离，
最短距离d＝＝＝.
