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111公式章 1 节 1课时同步练
5.3.2 函数的极值与导数
一、单选题
1．函数 有（ ）
A．极大值 ，极小值3 B．极大值6，极小值3
C．极大值6，极小值 D．极大值 ，极小值
【答案】C
【解析】根据题意， ，故当 时， ；
当 时， ；当 时， .故 在 处取得极大值
；在 处取得极小值 ，
故选C.
2．函数 的极值点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，
∴ ，且函数 单调递增．
又 ，
∴函数 在区间 内存在唯一的零点，
即函数 的极值点在区间 内．
故选A．3．函数 ，则（ ）
A． 为函数 的极大值点 B． 为函数 的极小值点
C． 为函数 的极大值点 D． 为函数 的极小值点
【答案】A
【解析】 ，故当 时函数单调递增，
当 时，函数单调递减，故 为函数的极大值点．
故选A
4．函数f (x)的定义域为R，导函数f '(x)的图象如图所示，则函数f (x)（ ）
A．无极大值点、有四个极小值点 B．有一个极大值点、两个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点 D．有四个极大值点、无极小值点
【答案】C
【解析】设导函数f '(x)的图象与x轴的交点从左到右依次为x ，x ，x ，x ，
1 2 3 4
所以函数f（x）的单调增区间为（-∞,x ),(x ,x ),(x ，+∞），单调减区间为(x ,x ),(x ,x )，
1 2 3 4 1 2 3 4
所以函数有两个极大值点x ，x ，两个极小值点x ，x .
1 3 2 4
故选C
5．函数 的极大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意 ，
故函数在 上递增，在 上递减，所以函数在 处取得极大值为 .
故选B.
6．函数 上的极小值点为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】y′＝1﹣2sinx＝0，得x 或x ，
故y＝x+2cosx在区间[0， ]上是增函数，在区间[ ， ]上是减函数，在[ ，π]是增函数．
∴x 是函数的极小值点，
故选C．
7．函数 的图像如图所示，则关于函数 的说法正确的是（ ）
A．函数 有3个极值点
B．函数 在区间 上是增加的
C．函数 在区间 上是增加的
D．当 时，函数 取得极大值
【答案】C
【解析】函数有两个极值点： 和 ，但 不是函数的极值点，所以A错误；
函数在 和 上单调递增，在 上单调递减，所以B错误，C正确；不是函数的极值点，所以D错误.
故选C.
8．已知函数 在 处取得极小值 ，则 的值分别为（ ）
A．-4,4 B．4，-4 C．4,4 D．-4，-4
【答案】A
【解析】 ，
，
因为函数 在 处取得极小值 ，
即 解得
故选
9．设函数 满足 ， ，则 时， （ ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
【答案】B
【解析】由 ，即 ，
结合 ，可知 ，
，
可知此函数仅有一个极值点，是极小值点，没有极大值．
故选B
10．若函数 仅在 处有极值，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，
要保证函数 仅在x＝0处有极值，必须满足 在x＝0两侧异号，
所以要 恒成立，
由判别式有： ，∴
∴ ，
∴a的取值范围是
故选A．
11．若函数 在 内无极值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由函数的解析式可得： ，
函数 在 内无极值，则 在区间 内没有实数根，
当 时， 恒成立，函数 无极值，满足题意，
当 时，由 可得 ，故： ，解得： ，
综上可得：实数 的取值范围是 .
故选D.
12．已知函数 在 上有两个极值点，且 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，函数 ，
可得 ，
又由函数 在 上有两个极值点，
则 ，即 在 上有两解，
即 在在 上有不等于2的解，
令 ，则 ，
所以函数 在 为单调递增函数，
所以 且 ，
又由 在 上单调递增，则 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
又由函数 在 为单调递增函数，所以 ，
综上所述，可得实数 的取值范围是 ，即 ，
故选C.
二、填空题13．函数 共有________个极值.
【答案】0
【解析】由题知 的导函数 ，
，
恒成立．
函数 在 上是单调递增函数，
函数没有极值．
故填 ．
14．已知 是函数 的极值点，则实数 的值为______.
【答案】2
【解析】函数 ，
所以 ，
因为 是 的极值点，
所以 ，即
所以 .
故填2.
15．正项等差数列 中的 ， 是函数 的极值点，则 ______.
【答案】4
【解析】因为 ，所以 ，
又 ， 是函数 的极值点，所以 ， 是方程 的两实根，因此 ，
因为数列 是正项等差数列，所以 ，解得 ，
因此 .
故填 .
16．已知 是函数 的一个极值点，则曲线 在点 处的切线斜率为
__________．
【答案】
【解析】由题意，函数 ，则 ，
又由 是函数 的一个极值点，
所以 ，解得 ，即 ，
所以 ，所以函数 在点 处切线的斜率为 .
故填
17．若函数 有唯一一个极值点，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】 ，定义域为 ，
令 ，令 ，可得 ，
令 ，
在 上只有一个极值点，
在 上只有一个根且不是重根．所以 ，解得 ．
实数 的取值值范围是： ，
故填
18．已知函数 ，若 是函数 的唯一一个极值点，则实数 的取值范围为
_________
【答案】
【解析】由题可得
因为 是函数 的唯一一个极值点，
所以 是导函数 的唯一根
所以 在 上无变号零点．
设 ，则
当 时， ， 在 上单调递减
当 时， ， 在 上单调递增
所以 ，
结合 与 的图像可知，若 是函数 的唯一极值点，则
故实数 的取值范围为 .故填
三、解答题
19．已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线的方程；
（2）求曲线 的极大值，极小值.
【解析】（1）∵ ，
∴ 在点 处的切线的斜率为 .
∴切线的方程为 .
（2）令 ，解得 或 .
当 变化时， ， 的变化情况如下表:
极大值 极小值
由上表，知 ， .
20．已知 为函数 的导函数，且 .
（1）求 的值；
（2）求 的单调区间与极值.
【解析】（1）解：（1）由 ，得 .因为 ，所以 ，解得 .
（2）因为 ，则 .
当 时， ，则函数 的单调递减区间为 ；
当 时， ，则函数 的单调递增区间为 .
故 在 处取得极小值，极小值为 ，无极大值.
21．已知函数 .
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）是否存在实数a，使 的极大值为3；若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）当 时， ，所以 ，
令 ，得 或 ，
所以当 或 时， ；当 时， ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
（2）存在， ，理由如下：
，令 ，得 或 ，
因为 所以
所以当 时， 恒成立，所以 在R上单调递增，此时函数 不存在极值，所以
；
当 时， ，所以当 或 时， ；当 时， ，所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 在 时，取得极大值，所以 ，即 ，解得
，
所以存在， ，使 的极大值为3．
22．已知函数 .
（1）当a=2时,求曲线 在点 处的切线方程；
（2）设函数 ，讨论 的单调性并判断有无极值，有极值时求
出极值.
【解析】（1）由题意 ，
所以，当 时， ， ，
所以 ，
因此，曲线 在点 处的切线方程是 ，
即 .
（2）因为 ，
所以 ，
，
令 ，
则 ，所以 在 上单调递增，
因为 ，
所以，当 时， ；当 时， .
①当 时， ，
当 时， ， ， 单调递增；
当 时， ， ， 单调递减；
当 时， ， ， 单调递增.
所以当 时 取到极大值，极大值是 ，
当 时 取到极小值，极小值是 .
②当 时， ，
当 时， ， 单调递增；
所以 在 上单调递增， 无极大值也无极小值.
③当 时， ，
当 时， ， ， 单调递增；
当 时， ， ， 单调递减；
当 时， ， ， 单调递增.
所以当 时 取到极大值，极大值是 ；
当 时 取到极小值，极小值是 .
综上所述：当 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减，函数既有极大值，又有
极小值，极大值是 ，极小值是 ；
当 时，函数 在 上单调递增，无极值；
当 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减，函数既有极大值，又
有极小值，极大值是 ，极小值是 .
