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专题01 空间向量及其运算、空间向量基本定理
一、单选题
1．（2019·全国高二课时练习）已知 ， ， 是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（
）
A．2 ， ﹣ ， +2 B．2 ， ﹣ ， +2
C． ，2 ， ﹣ D． ， + ， ﹣
【答案】C
【解析】
对于A，因为2 = （ ﹣ ）+ （ +2 ），得2 、 ﹣ 、 +2 三个向量共面，故它们不能构
成一个基底，A不正确；
对于B，因为2 = （ ﹣ ）+ （ +2 ），得2 、 ﹣ 、 +2 三个向量共面，故它们不能构
成一个基底，B不正确；
对于C，因为找不到实数λ、μ，使 =λ•2 +μ（ ﹣ ）成立，故 、2 、 ﹣ 三个向量不共面，
它们能构成一个基底，C正确；
对于D，因为 = （ + ）﹣ （ ﹣ ），得 、 + 、 ﹣ 三个向量共面，故它们不能构成一个
基底，D不正确
故选：C．
2．（2020·贵州省铜仁第一中学高二开学考试）如图所示，在平行六面体 中，设
， ， ， 是 的中点，试用 ， ， 表示 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
是 的中点，
.
故选：A.
3．（2020·山东省章丘四中高二月考）如图,在四面体 中, 是 的中点, 是 的中点,则 等
于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
在四面体 中, 是 的中点, 是 的中点故选:C.
4．（2020·河南省高二期末）如图在平行六面体 中， 为 的中点，设 ，
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意结合平行六面体的性质可得
.
故选：A.
5．（2020·广东省红岭中学高二期末） 与 共线是直线AB∥CD的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【解析】
根据向量共线的定义，可知若 与 共线，则它们所在的直线可能平行，也可能重合；
若AB∥CD，则 与 共线；
根据充分条件和必要条件的概念，可知 与 共线是直线AB∥CD的必要不充分条件，
故选B
点睛：向量共线的定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线
向量或平行向量 .
6．（2020·广东省红岭中学高二期末） 为空间任意一点, 三点不共线,若 =
,则 四点
A．一定不共面 B．不一定共面
C．一定共面 D．无法判断
【答案】C
【解析】：点P在平面ABC内，O是平面ABC外的任意一点，则
且 ．利用此推论可直接证明一定共面．
详解：
因为 = ，且 ，所以 四点共面.
7．（2019·随州市第一中学高二期中）空间 四点共面，但任意三点不共线，若 为该平面
外一点且 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】
因为空间 四点共面，但任意三点不共线，对于该平面外一点 都有
，所以 ，解得 .
故选A
8．（2020·甘肃省高二期末）如图，空间四边形OABC中， ， ， ，且 ，
，则 等于( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
， ， ， ，
，故选：C.
9．（2020·广西壮族自治区高二期末）在平行六面体 中， 为 与 的交点．若 ， ， ，则下列向量中与 相等的向量是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
故选B.
10．（2019·新疆维吾尔自治区阿克苏市实验中学高二月考）在平行六面体ABCD-EFGH中，若 =x
﹣2y +3z ，，则x＋y＋z等于( )
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】
在平行六面体ABCD﹣EFGH中， = + + ，
∵ =x ﹣2y +3z ， = ，
∴x=1，﹣2y=1，3z=1，
∴ ，z= ，
∴x+y+z= ，
故选：C．
二、多选题11．（2019·山东省济南一中高二期中）已知平行六面体 ，则下列四式中其中正确的有
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
作出平行六面体 的图像如图，可得 ，则A正确；
，则B正确；C显然正确；
，则D不正确.综上，正确的有ABC.
故选：ABC
12．（2020·江苏省高二期末）如图，在正方体 中，下列各式中运算的结果为 的有
( )A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】
A． ，故错误；
B． ，故正确；
C． ，故正确；
D． ，故正确.
故选：BCD.
13．（2020·山东省高二期末）已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，
B，C共面”的充分条件的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】
当 时，可知点 与点 共面，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
不妨令 ， ， ，且此时 ，因为 ， ， ， ，
由上可知：BD满足要求.
故选：BD.
点睛：常见的证明空间中四点 共面的方法有：(1)证明 ；(2)对于空间中任意
一点 ，证明 ；(3) 对于空间中任意一点 ，证明
.
三、填空题
14．（2019·江苏省高二期末）直三棱柱 中，若 ，则
__________．
【答案】
【解析】
直三棱柱 中，若
故答案为
15．（2019·新疆维吾尔自治区阿克苏市实验中学高二月考）已知非零向量 ， ，且 ＝ ＋ ，
＋ ， ，则 中一定共线的三点是________.
【答案】A，B，D
【解析】
由向量的加法原理：
又 共点B，故A，B，D三点共线故答案为：A，B，D
16．（2019·浙江省诸暨中学高二期中）已知三棱锥O-ABC，点D是BC中点，P是AD中点，设
，则 ________；x=________.
【答案】1
【解析】
如图，
,
所以 ，所以 ， .
故答案为：1；
17．（2019·江苏省高二期中）如图在正方体 中，已知 , , ,
为底面的 的中心， 为 的重心，则 ______【答案】
【解析】
在正方体 中， , , ,
为底面的 的中心， 为 的重心，
.
故答案为： .
四、解答题
18．（2018·全国高二课时练习）如图,在长方体ABCD-A BC D 中,AB=3,AD=2,AA=1,以长方体的八个顶点
1 1 1 1 1
中的两点为起点和终点的向量中.
(1)单位向量共有多少个?(2)试写出模为 的所有向量.
(3)试写出与 相等的所有向量.
(4)试写出 的相反向量.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析．
【解析】
分析：
（1）根据定义模为1的向量即为单位向量（2）在长方体中求出对角线长为 ，即可写出所求向量（3）
根据大小相等，方向相同即为相等向量可写出（4）大小相等，方向相反的向量即为相反向量.
详解：
(1)模为1的向量有 ,共8个单位向量.
(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为 ,因此模为 的向量为
.
(3)与向量 相等的向量(除它自身之外)为 .
(4)向量 的相反向量为 .
19．（2020·全国高一课时练习）如图，已知一点O到平行四边形 的三个顶点A，B，C的向量分别
为 ，求 ．【答案】
【解析】
因为 ， ，
所以 ．
20．（2019·三亚华侨学校高二期中）如图，在平行六面体 中， 两两夹角为
60°，长度分别为2，3，1，点P在线段BC上，且 ，记 .
（1）试用 表示 ；
（2）求 模.
【答案】（1） ； （2） .
【解析】
（1） ，
.
（2）因为AB，AD， 两两夹角为60°，长度分别为2，3，1.
所以 ，.
.
21．（2018·全国高二课时练习）在四棱锥P-ABCD中,ABCD为平行四边形,AC与BD交于O,G为BD上一
点,BG=2GD, = , = , = ,试用基底{ , , }表示向量 .
【答案】
【解析】
因为BG=2GD,所以 .
又 =a+c-2b,
所以 =b+ (a+c-2b)
= a- b+ c.
22．（2019·全国高一课时练习）设e,e 是不共线的空间向量，已知 =2e+ke， =e+3e， =2e-
1 2 1 2 1 2 1
e.若A,B,D三点共线，求k的值.
2
【答案】k=-8.
【解析】
分析：A，B，D三点共线，故存在唯一实数 ，使得 ，再由已知条件表示出 与 ,建立
方程组可求出 和 值
详解：
由已知，有 - =(2e -e )-(e +3e)=e -4e .
1 2 1 2 1 2∵A，B，D三点共线，∴存在实数λ，使 =λ ，即2e+ke=λ(e -4e )，∴2e+ke=λe-4λe.
1 2 1 2 1 2 1 2
∵e,e 是不共线的空间向量，∴ ，解得 .
1 2
23．（2018·全国高二课时练习）已知{e ,e,e}是空间的一个基底,且 =e+2e-e , =-3e +e+2e,
1 2 3 1 2 3 1 2 3
=e+e-e ,试判断{ }能否作为空间的一个基底?若能,试以此基底表示向量 =2e-e +3e;若不能,
1 2 3 1 2 3
请说明理由.
【答案】能， =17 -5 -30 ．
【解析】
能作为空间的一组基底．
假设 共面,由向量共面的充要条件知存在实数x,y使 =x +y 成立
又因为 是空间的一个基底,
所以 不共面.
因此 此方程组无解,
即不存在实数x,y使 =x +y ,
所以 不共面.
故{ }能作为空间的一个基底.
设 =p +q +z ,
则有因为 为空间的一个基底,
所以 解得
故 =17 -5 -30 .
点睛：如果三个向量 不共面，那么对于空间任意一个向量 ，存在一个唯一的有序实数组 使
．我们把 叫做空间的一个基底，其中 叫基向量.
