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专题 11 预备知识十一：函数的单调性与最大（小）值
1、通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语
言表达能力
2、会用定义证明简单函数的单调性，提高学生的推理论证能力，发展学生的数学运算素养
3、在经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程中，让学生体会从具体到抽象，从特殊到
一般，从感性到理性的认知过程
知识点一：函数的单调性
1、增函数与减函数
1.1增函数
一般地，设函数 的定义域为 ，区间 ，如果 ，当 时，都有
，
那么就称函数 在区间 上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的）
特别地，当函数 在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function).
1.2减函数
一般地，设函数 的定义域为 ，区间 ，如果 ，当 时，都有
，
那么就称函数 在区间 上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司特别地，当函数 在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function).
2、函数的单调性与单调区间
如果函数 在区间 上单调递增或单调递减，那么就说函数 在这一区间具有(严格
的)单调性，区间 叫做 的单调区间．
3、常见函数的单调性
函数 单调性
当 时， 在 上单调递增
一次函数 （ ）
当 时， 在 上单调递减
当 时， 在 和 上单调递减
反比例函数 （ ） 当 时， 在 和 上单调递增
当 时， 在 上单调递减；
二次函数 （ ）
在 上单调递增
对称轴为
当 时， 在 上单调递增；
在 上单调递减
知识点二：函数单调性的判断与证明
1、定义法：一般用于证明，设函数 ，证明的单调区间为
①取值：任取 ， ，且 ；
②作差：计算 ；
③变形：对 进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必
要需讨论参数；
④定号：通过变形，判断 或（ ），如有必要需讨论参数；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司⑤下结论：指出函数 在给定区间 上的单调性
2、图象法
一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性.
3、性质法
（1）函数 在给定区间 上的单调性与 在给定区间 上的单调性相反；
（2）函数 在给定区间 上的单调性与 的单调性相同；
（3） 和 的公共定义区间 ，有如下结论；
增 增 增 不确定
增 减 不确定 增
减 减 减 不确定
减 增 不确定 减
知识点三：函数的最大（小）值
1、最大值：对于函数 ，其定义域为 ，如果存在实数 满足：
① ，都有
② ，使得
那么称 是函数 的最大值；
2、最小值：对于函数 ，其定义域为 ，如果存在实数 满足：
① ，都有
② ，使得
那么称 是函数 的最小值
对点特训一：利用定义法判断或证明函数的单调性
典型例题
例题1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）已知函数 ， ．
(1)判断函数 的单调性，并利用定义证明；
(2)若 ，求实数 的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】(1) 在 上单调递减；证明见解析
(2)
【分析】（1）根据条件，利用单调性的定义即可证明结果；
（2）利用（1）中结果，即可建立不等式组 ，即可求出结果.
【详解】（1） 在 上单调递减，证明如下：
任取 ，
则 ，
因为 ，所以 ， ， ，
所以 ，即 ，
故 在 上单调递减.
（2） 在 上单调递减，
所以 ，可得 ，解得 ，
故实数m的取值范围是 ．
例题2．（2024高一·全国·专题练习）已知函数 的定义域为 ，判断 在 上的单调
性，并用定义证明；
【答案】 在 上单调递增，证明见解析
【分析】判断函数的单调性，利用函数单调性的定义即可证明.
【详解】
在 上单调递增，证明如下：设 ，
；
因为 ， ， ， ，所以 ，
所以 是在 上单调递增.
精练
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）已知函数 ，且 ．
(1)求函数 的解析式；
(2)用定义证明函数 在 上是增函数.
【答案】(1) ；
(2)证明见解析
【分析】（1）代入 ，即可求解函数的解析式；
（2）利用函数单调性的定义，设 ，再作差，分解因式，判断正负，即可证明函数的单调性.
【详解】（1） ， ；
（2）设 ，
，
，即
则函数 在 上是增函数
2．（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数 .
(1)判断函数 在 上的单调性，并加以证明.
【答案】(1)函数 在 上单调递减，证明见解析
【分析】（1）判断函数的单调性，利用函数单调性的定义即可证明；
【详解】（1）函数 在 上单调递减，证明如下：
函数 ，任取 ，设 ，
则 ，
因为 ， ，则 ，
故 ，即 ，
故函数 在 上单调递减；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司对点特训二：求函数的单调区间
典型例题
例题1．（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D． 和
【答案】D
【分析】先求出定义域，然后由反比例函数的性质可得答案
【详解】 的定义域为 ，
由反比例函数的性质可知 的单调递增区间为 和 ，
故选：D
例题2．（23-24高一上·天津和平·期中）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D． ，
【答案】D
【分析】由对勾函数的单调性求解即可.
【详解】函数 为对勾函数，
由对勾函数的性质知，函数 的单调递减区间为： ， .
不能选C，因为不满足减函数的定义.
故选：D.
例题3．（2024高一上·全国·专题练习）函数 的单调增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分离常数，然后根据图像平移得到函数图像，继而求出单调增区间.
【详解】
的图象是由 的图象沿 轴向右平移 个单位，然后沿 轴向下平移 个单位得到， 如下图
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司的单调增区间是 ．
故选：C.
精练
1．（2024高三·全国·专题练习）函数y＝ 的单调递减区间为（ ）
A．（－∞，＋∞）
B．（0，＋∞）
C．（－∞，0）∪（0，＋∞）
D．（－∞，0），（0，＋∞）
【答案】D
【解析】略
2．（23-24高一上·新疆喀什·期末）函数 ， 的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出函数的对称轴，即可判断函数的单调性.
【详解】解：函数 对称轴为 ，开口向上，
所以函数 ， 的单调减区间为 .
故选：D
3．（23-24高一上·天津南开·期中）函数 单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接根据二次函数的性质即可得出答案.
【详解】因为函数 的图象是开口向上，且以直线 为对称轴的抛物线，
故函数 的单调递减区间是 .
故选：C．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司对点特训三：利用函数的单调性解不等式
典型例题
例题1．（2024·湖北武汉·二模）已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】消去绝对值可得函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可得.
【详解】由 ，故 在 上单调递增，
由 ，有 ，即 .
故选：A.
例题2．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）已知 是定义在R上的增函数，且 ，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由函数的单调性，将抽象不等式化成一元二次不等式，结合二次函数的图象即得.
【详解】因 是定义在R上的增函数，故由 可得
，即 ，解得 .
故答案为： .
例题3．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知函数 ， ．
(1)判断函数 的单调性，并利用定义证明；
(2)若 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1) 在 上单调递增；证明见解析
(2)
【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性即可；
（2）结合函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】（1） 在 上单调递增，证明如下：
因为 ， ，
任取 ，可知 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ， ， ，
所以 ，即 ，
故 在 上单调递增；
（2）由（1）知 在 上单调递增，
所以 ，可得 ，解得
故实数 的范围是 ．
精练
1．（2024高三·全国·专题练习）已知f（x）在定义域R上是增函数．若f（a2－2）＞f（a），则实数a的
取值范围是
【答案】（－∞，－1）∪（2，＋∞）
【解析】略
2．（23-24高一上·青海西宁·期末）若函数 在 上是减函数，且 ，则实数 的
取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，转化为不等式 ，即可求解.
【详解】由函数 在 上是减函数，因为 ，可得 ，解得 ，所以实
数 的取值范围是 .
故答案为： .
3．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数 ．
(1)判断函数 在 上的单调性，并证明；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1)函数 在 上单调递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）利用定义法即可证明函数 在 上单调递增；
（2）由（1），根据 可得 ，解之即可求解.
【详解】（1）函数 在 上单调递增.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司证明：设 ，
则 ，
由 ，得 ，
所以 ，即 ，
所以函数 在 上单调递增；
（2）由（1）知函数 在 上单调递增，
又 ，
则 ，解得 ，
即实数a的取值范围为 .
对点特训四：利用函数的单调性求参数
典型例题
例题1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是
．
【答案】
【分析】将函数写成分段函数，即可得到函数的单调区间，依题意可得 ，解得即可.
【详解】因为 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又函数 在 上单调递减，所以 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .
故答案为：
例题2．（23-24高一上·湖南株洲·期中）设 ，若 在R上单调，则m的取值范
围为 ．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】作出函数 ， 的图象，根据一次函数和二次函数的单调性结合图象即可得出
答案.
【详解】在同一平面直角坐标系中，作出函数 ， 的图象如图，
当 时， 或1，
由图象可知，当 时，函数 在 上单调递增.
故答案为： .
例题3．（23-24高一上·河北·阶段练习）若函数 在 上为减函数，则实数 的取
值范围 .
【答案】
【分析】分段函数在R上递减，需要满足在每一段上均单调递减，且分段处，左端点函数值大于等于右端
点函数值.
【详解】由题意得 ，解得 ，
故实数 的取值范围为 .
故答案为：
精练
1．（23-24高一上·陕西西安·期末）若函数 在区间 上是增函数，则a的取值范
围 .
【答案】
【分析】利用二次函数单调性列出不等式，求解不等式即得.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【详解】函数 图象开口向上，对称轴为 ，
由函数 在区间 上单调递增，得 ，解得 ，
所以a的取值范围是
故答案为：
2．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知函数 ，若 在R上是增函数，
则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式组并求解即得.
【详解】由函数 在R上是增函数，得 ，解得
，
所以实数a的取值范围是 .
故答案为：
3．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数 在R上单调递增，则a的取值范围
是 ．
【答案】
【分析】分段函数单调递增，在各段区间单调递增，且由区间端点处满足的大小关系列不等式组求解即可.
【详解】函数 在R上单调递增，
所以 ，解得 ，
所以a的取值范围是 ，
故答案为： .
对点特训五：求函数最值（值域）
典型例题
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题1．（2024高一上·全国·专题练习）定义 为 中的最小值，设
，则 的最大值是 ．
【答案】2
【分析】
作出函数的图象，根据图象即可求解.
【详解】将三个解析式的图像作在同一坐标系下，则 为三段函数图像中靠下的部分，
从而通过数形结合可得 的最大值点为 与 在第一象限的交点，
即 ，
所以 ．
故答案为：2.
例题2．（2024·山西运城·模拟预测）已知函数 ，若 的最小值为 ，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】分别讨论 和 时，结合基本不等式和二次函数的单调性可得 的最小值，解不等式可
得所求范围.
【详解】函数 ，可得 时， ，当且仅当
时， 取得最小值 ，
由 时， ，
若 时， 在 递减，可得 ，
由于 的最小值为 ，所以 ，解得 ；
若 时， 在 处取得最小值与题意矛盾，故舍去；
综上得实数a的取值范围是 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
【点睛】本题主要考查分段函数的最值求法，考查二次函数的单调性和运用，以及不等式的解法，属于中
档题.
精练
1．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知 ，设 ，则函数
的最大值是 ．
【答案】1
【分析】分两种情况，求出分段函数在各自区间上的取值范围或最大值，最终求出结果.
【详解】令 ，解得 ；令 ，解得 或 ；
所以 ，
当 时， 在 上单调递增，则 ；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递
减，
且 ， ，所以 ；
综上所述：函数 的最大值为1.
故答案为：1.
2．（23-24高一上·广东汕头·期末）若函数 的值域为 ，则 的取值范围是
【答案】
【分析】根据分段函数的单调性确定 时的 的范围，再根据函数的值域为 列不等式即可求得
的取值范围.
【详解】当 时， ，则函数在 上递减，在 上递增，
所以 ，则此时 ；
当 时， ，要使得 的值域为 ，则 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司对点特训六：二次函数（含参数）最值问题
典型例题
例题1．（23-24高一上·北京东城·期中）函数函数 的单调减区间是 ，在区间
的最大值是 ．
【答案】 4
【分析】由二次函数的对称轴及开口方向得单调性，由单调性可得最值．
【详解】由题意 ，它的图象是开口向下的抛物线，
对称轴是直线 ，因此减区间是 ，
在区间 上， 时， 递增， 时， 递减，因此 ，
故答案为： ；4.
例题2．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）函数 的最小值是 .
【答案】
【分析】根据二次函数的性质求得正确答案.
【详解】函数 的开口向上，对称轴为 ，
所以当 时取得最小值 .
故答案为：
例题3．（23-24高一上·北京房山·期中）函数 在 上的最大值等于 ．
【答案】8
【分析】先求出二次函数对称轴，再结合定义域与二次函数增减性即可求出函数最值.
【详解】 ，函数对称轴为 ，开口向下，故 在 单减，
.
故答案为：8
精练
1．（23-24高一上·四川达州·期中）函数 在 上的最小值为 .
【答案】
【分析】二次函数在某区间的最值，结合图像的开口方向，对称轴，离对称轴的远近可得.
【详解】函数 ,其图像开口向下，对称轴为 ，
， 离对称轴较远，则
故答案为：
2．（23-24高一上·北京·期中）已知二次函数 ，求 的最小值 .
【答案】5
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【分析】二次函数 的对称轴为 ，可得二次函数在区间 上的增减性，从而求得 的
最小值.
【详解】因为 ，所以二次函数的对称轴为 ，而 ，所以二次函数在区
间 上 随 的增大而减小，所以当 时， .
故答案为：5
3．（23-24高一上·吉林白城·期末）函数 ， 的值域是 .
【答案】
【分析】由二次函数的性质即可得出答案.
【详解】因为 ，
∴函数 的最小值是2，又 ， ，
∴函数 的值域是 .
故答案为： .
对点特训七：根据最值（值域）求参数
典型例题
例题1．（23-24高一上·北京·期中）若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为
（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函数 在 上的值域，由已知可得函数 在 上的值域包含 ，
再列出不等式求解即得.
【详解】当 时，函数 在 上单调递减， 在 上的值域为 ，
因为函数 在R上的值域为 ，则函数 在 上的值域包含 ，
显然 ，否则当 时， ，不符合题意，
于是函数 在 上单调递减，其值域为 ，因此 ，则 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：D
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题2．（23-24高一上·辽宁·期中）已知函数 的值域为 ，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据复合函数的性质，由题意，可得内函数的值域，分类讨论，结合二次函数的性质，可得答案.
【详解】由题意，令 ，则 为其值域的一个子集，
当 时， ，令 ，解得 ，故当 时， ；
当 时， ，该函数为开口向下的二次函数，则必定存在最大值，故不符合题意；
当 时， ，该函数为开口向上的二次函数，令 ，则 ，
整理可得 ，即 ，解得 或 ，此时符合题意.
综上，可得 .
故选：D.
例题3．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）若函数 的定义域和值域都
为 ，则 的值是 ．
【答案】
【分析】根据 为一次函数列式计算即可.
【详解】由题意知 为一次函数，则
所以 .
故答案为： .
例题4．（2024高一·江苏·专题练习）函数 的定义域为 ，值域为 ，
则
【答案】
【分析】根据函数值域，结合二次函数的性质进行求解即可.
【详解】当 时， 显然不符合题意，
当 时，因为该函数的定义域为全体实数，值域为 ，
所以 ，解得 ，
故答案为： ．
精练
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】讨论 ， ， 三种情况，列式求 的取值范围.
【详解】当 时， ，函数的值域是 ，满足条件，
当 时， ，解得： ，
当 ，不满足条件，
综上可知， .
故选：A
2．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数 的最小值为8.则实数 的值是（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】将原函数 分离常数，由题意，结合反比例函数的性质建立方程，解之即可.
【详解】由 ，
而函数 在 上单调递减，所以函数 在 上单调递减，
又其在 上的最小值为8，
所以 ，解得 .
故选：C.
3．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数 的值域为 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分段函数 的值域为 ，结合分段函数性质，列出相应的不等式组，
即可求得答案.
【详解】由题意知当 时， ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司故要使函数 的值域为 ，
需满足 ，解得 ，
故 的取值范围是 ，
故选：D
4．（23-24高一上·安徽宿州·期中）已知函数 的值域为 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的值域求得 的正确答案.
【详解】当 时， ；
当 时， ，
要使 的值域为 ，则需 ，
解得 ，所以 的取值范围是 .
故选：A
对点特训八：恒成立（能）成立问题
典型例题
例题1．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）若存在 ，使不等式 成立，则实
数 的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．3
【答案】C
【分析】设 ，由题意可得 ，求出二次函数最值即可求解.
【详解】设 ，开口向上，对称轴为直线 ，
若存在 ，使不等式 成立，则只要 即可，
函数 在 上单调递减，所以 ，所以 ，
所以实数 的最大值为0.
故选：C
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题2．（23-24高一下·云南·阶段练习）设函数 ，其中 .
(1)若命题“ ”为假命题，求实数 的取值范围；
(2)若函数 在区间 内恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，转化为命题“ ”为真命题，结合 ，即可求解；.
（2）根据题意，转化为 在区间 内恒成立，利用基本不等式求得 的最
小值为 ，列出不等式，即可求解.
【详解】（1）解：因为函数 ，
由命题“ ”为假命题，即命题“ ”为真命题，
根据二次函数的性质，可得 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围为 .
（2）解：由函数 ，可得 ，
因为函数 在区间 内恒成立，
即 在区间 内恒成立，
又因为 ，当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 ，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
例题3．（23-24高一上·北京·期中）已知二次函数 的最小值为 ，且 ．
(1)求 的解析式；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司(2)当 时， 恒成立，试确定实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，设 ，根据 ，求得 ，即可得到函数的解析
式；
（2）依题意可得不等式 在区间 上恒成立，令 ，结合二次函数的性质，
即可求解.
【详解】（1）由题意，函数 是二次函数，且 ，可得函数 的对称轴为 ，
又由最小值为 ，可设 ，
又 ，即 ，解得 ，
所以函数的解析式为 .
（2）因为当 时， 恒成立，
即当 时， 恒成立，
即当 时， 恒成立，
设函数 ， ，
则 在区间 上单调递减，
∴ 在区间 上的最小值为 ，
∴ ，
故实数 的取值范围为： .
例题4．（23-24高一上·重庆永川·期中）已知函数 .
(1)解不等式 ；
(2)若对任意的 ，总存在 ，使得 成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）讨论 的取值范围确定不等式的解集；
（2）将问题转化为两个函数值域的包含关系问题求解.
【详解】（1） ，所以 ，令 ，
若 ，解得 ，
当 时， ，不等式的解集为 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司当 或 时， ，此时方程 有两根， ，
且 ，
此时不等式的解集为 ，
综上：当 时，不等式的解集为 ；
当 或 时，
（2）记函数 ， 的值域为集合A，
， 的值域为集合B；
则对任意的 ，总存在 ，使得 成立 ；
因为 的图象开口向上，对称轴为 ，所以当 ，
，得 ；
当 时， 的值域为 ，显然不满足题意；
当 时， 的值域为 ，因为 ，
所以 ，解得 ；
当 时， 的值域为 ，因为 ，
所以 ，解得 ；
综上：实数a的取值范围为 .
精练
1．（2024·陕西西安·模拟预测）当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
．
【答案】 .
【分析】根据题意分离参数 ，进而构造函数求定区间的最值即可.
【详解】当 时，不等式 恒成立，
所以当 时， 恒成立，则 ，
令 ，则 在 单调递增，
所以 ，所以 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
2．（23-24高一下·湖南岳阳·开学考试）设函数 ，其中 .
(1)若 ，求函数 在区间 上的值域；
(2)若 ，且对任意的 ，都有 ，求实数 的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次函数的对称性即可求解；
（2）将问题转化为 ，再利用二次函数的性质得 在 上的最大值为 或
，从而得解；
【详解】（1）当 时，则 ， ，
由二次函数的对称性知：当 时， 的最小值为1；
当 时， 的最大值为10；
所以 在区间 值域的为 .
（2）“对任意的 ，都有 ”等价于“在区间 上 ”.
由（1）知 时， ，
由二次函数的性质知函数 的图象开口向上，
所以 在 上的最大值为 或 ，
则 ，即 ，解得 ，
故实数 的取值范围为区间 .
3．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数 .
(1)求 ；
(2)当 时，试运用函数单调性的定义判定 的单调性；
(3)设 ，若 在 时有解，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)当 时， 在 上是单调递增函数
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司(3) 或
【分析】（1）直接代入求解即可.
（2）利用单调性定义法证明即可.
（3）根据 与 时的单调性，求解不等式在定区间上有解问题即可.
【详解】（1）因为 ，
所以 .
（2）当 时，设 ，则 ，
，
显然， ，
当 有一个值为0时，因为 ，所以有 ；
当 时，因为 ，所以有 ；
当 时， ，所以有 ；
当 时， ，所以有 ；
综上，当 时，必有 ，
当 时， 在 上是单调递增函数；
（3）由上知当 时， 在 上是单调递增函数；
同理可证明：当 时， 在 上是单调递减函数；
令 ，所以 ，可得， 在 时有解，等价于 在 时有解，
当 时，由 的单调性知 ，令 ，得 ；
当 时，由 的单调性知 ，令 ，得 ；
当 时，无解；
综上， 的取值范围这 或 .
4．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数 ．
(1)若方程 的两根分别是 ，满足 ，求实数 的值；
(2)若对 ，都存在 ，使得 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用韦达定理代入计算即可；
（2）将问题转化为 对任意 恒成立，求出 得到关于 的恒成立
问题，继续转化为最值求解即可.
【详解】（1）若方程 的两根分别是 ，得 ，得
又由韦达定理得 ，
因为
所以
所以 ，
解得 ；
（2）若对 ，都存在 ，使得 对任意 恒成立，
则 对任意 恒成立，
对于 ， ， ，
对称轴 ，
则 ，
对于 ， ，
又 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，
所以 在 时恒成立，
所以
又 ，当 取最小值，且最小值为
所以 ，
解得 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司一、单选题
1．（2024·广东揭阳·二模）已知函数 在 上不单调，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得.
【详解】函数 的图象对称轴为 ，依题意， ，得 ，
所以 的取值范围为 .
故选：C
2．（23-24高一上·北京·期中）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数单调性求出值域.
【详解】 ，
因为 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ，
故 在 上的值域为 .
故选：D
3．（23-24高一上·广东潮州·期中）下列函数在区间 上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数解析式，逐项判断在 上的单调性即可.
【详解】函数 ， ， 在 上都单调递增，ABC不是；
当 时， ，因此函数 在 上单调递减，D是.
故选：D
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司4．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）函数 在 上是单调函数，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的单调性判断.
【详解】因为函数 开口向上，对称轴为 ，
所以函数 在 上单调递减，
，解得 ，所以 的取值范围是 .
故选：A.
5．（2024高一·全国·专题练习）若函数 在 单调递增，且 ，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由函数单调递增得 ，解一元二次不等式即可得解.
【详解】
因为函数 在 单调递增，且 ，
所以 ，即 ，解得 .
故选：D.
6．（23-24高一上·北京·期中）已知函数 ， ，若 有最小值 ，则 的
最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析函数 在 上的单调性，根据函数 的最小值求出 的值，进而可得出函数 的
最大值.
【详解】因为函数 在 上单调递增，
则 ，则 ，故 .
故选：A.
7．（23-24高一上·云南·期末）已知函数 是 上的减函数，则 的取值范围是
（ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，结合二次函数与反比例函数的性质，列出不等式组，即可求
解.
【详解】由函数 是 上的减函数，
则满足 ，解得 ，所以a的取值范围为 .
故选：D．
8．（23-24高二上·甘肃陇南·期末）已知函数 ，且不等式 对任意
恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意得到 对任意 恒成立，根据开口方向和对称轴，得到 ，
求出答案.
【详解】由不等式 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，
∵ ，对称轴 ，
∴只需 即可，
可得 ．
即 ，
解得 ，
又 ，所以 ，
故选：D．
二、多选题
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司9．（23-24高一上·四川内江·期中）下列函数中，满足“ ，都有 ”
的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】结合单调性的定义，由题意可得函数 在区间 上单调递减，结合常见函数单调性即可
判断求解.
【详解】 ，都有 ，
知 是在 上单调递减的函数，
对于A， 在R上是增函数，不合题意；
对于B， 在R上是减函数，符合题意；
对于C， 为二次函数，其开口向下且对称轴为 ，
所以 在 上单调递减，符合题意；
对于D，由反比例函数的单调性可得 是 上的增函数，不合题意.
故选：BC
三、填空题
10．（23-24高一上·浙江·期中）已知 是减函数，则实数a的取值范围是
．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用一次函数、二次函数的单调性，结合分段函数是减函数，列出不等式组求解
即可.
【详解】由函数 是减函数，得 ，解得 ，
所以实数a的取值范围是 .
故答案为：
四、解答题
11．（23-24高一上·北京·期中）函数 ，其中 ．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)当 时，f（x）的最小值为0，求a的值．
【答案】(1) 或
(2) 或
【分析】（1）直接解一元二次不等式；
（2）先求出对称轴，然后分 ， 和 三种情况求其最小值即可.
【详解】（1）当 时， 不等式 ，
即 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 或 ；
（2）易知 的对称轴为 ，
①当 时，函数 在 上单调递增，
则 ，得 ，符合题意；
②当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，
解得 或 （舍）；
③当 时，函数 在 上单调递减，
则 ，解得 ，不符合题意，
综上所述， 的值为 或 .
12．（23-24高一上·浙江·期中）已知二次函数 ．
(1)若 的解集为 ，解关于x的不等式 ；
(2)若 ，对于 ，不等式 恒成立，求实数c的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用给定的解集用 表示 ，再代入所解不等式并求解即得.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（2）利用给定的恒等式求出 ，再对不等式分离参数，构造函数并利用单调性求出最小值即得.
【详解】（1）由 的解集为 ，得 是方程 的两个实根，且 ，
则 ，解得 ， ，
不等式 化为： ，整理得 ，
解得 ，所以所求不等式的解集是 .
（2）由 ，得 ，
整理得 ，则 ，解得 ，即 ，
不等式 ，
依题意， ， ，
令 ，
显然函数 在 上都递增，则函数 在 上递增，
当 时， ，因此 ，
所以实数c的取值范围是 .
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