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四川省内江市2025-2026学年高一上学期末数学试题
一、单选题
1．命题“ ”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
2．若角 的终边与单位圆的交点为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．下列函数既是偶函数，又在 上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知 是第三象限角，则 （ ）
A． B． C． D．
5．设函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的一个周期为
B． 图象的一个对称中心点为
C． 在 单调递增
D．若 在 恰有三个零点，则
6．已知 ，则 的大小关系是（ ）A． B． C． D．
7．定义在 上的函数 满足 为偶函数， 为奇函数，则下列说法一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．某药在病人血液中的量低于 时病人就有危险.现给某病人的静脉注射了这种药 ，如果药在
血液中以每小时 的比例衰减，那么再次向病人补充这种药的时间间隔不能超过（ ） .（精确到 ，
参考数据： ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．若 都是正数，且 ，则
B．若 都是正数，且 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
10．已知函数 ，且 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．11．（多选）已知函数 ，它的值域为集合 .其中 表示不超过 的最大整
数，如 ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，
B． 为奇函数
C．存在一个不是整数的数 ，对任意 为定值
D．若集合 ，则集合 的元素个数为1351
三、填空题
12．已知函数 是定义域为 的奇函数，当 时， ，则 ．
13．已知弧长为 的弧所对的圆心角为 ，则该弧所在的扇形面积为 ．
14．函数 与 的图象关于点 中心对称，且 恰有一个零点，则
的最小值为 .
四、解答题
15．已知集合 ， 或 ，命题 ，命题 .
(1)当 时，求 ；
(2)若 是 的充分条件，求实数 的取值范围.
16．已知函数 .
(1)求函数 的对称轴及单调递增区间；(2)求 在 的最大值和最小值.
17．设函数 ，其中 .
(1)若不等式 的解集为 ，求 的值；
(2)若 ，求不等式 的解集．
18．已知定义域为 的函数 是奇函数.
(1)求实数 的值；
(2)判断函数 的单调性，并利用定义法证明；
(3)若不等式 在 恒成立，求 的取值范围.
19．若函数 存在两个不同零点 满足： （其中 为常数），则定义 关于 为零
点近似函数.
(1)若函数 ，证明： 关于2为零点近似函数；
(2)若函数 ，若对任意实数 均关于 为零点近似函数，求 的最小值；
(3)若函数 关于1为零点近似函数，求 的取值范围.
参考答案
1．C
【详解】根据命题否定的原则，
该命题“ ”的否定是 ，
故选：C.
2．D【详解】角 的终边与单位圆的交点为 ，
根据正弦函数的定义， .
故选：D
3．C
【详解】由 为偶函数，且在 上单调递增，A不符；
由 为非奇非偶函数，B不符；
由 的定义域为R，且 ，即函数为偶函数，
当 ，则 ，故函数在 上单调递减，C符合；
由 为奇函数，D不符.
故选：C
4．A
【详解】 是第三象限角，
，
，
．
故选：A．
5．B
【详解】对于A，函数 的最小正周期为 ，A错误；
对于B， ，则 是 图象的对称中心，B正确；
对于C，当 时， ，而余弦函数 在 上单调递减，因此函数 在 上单调递减，C错误；
对于D，当 时， ，由函数 在 恰有三个零点，
得 ，解得 ，D错误.
故选：B
6．D
【详解】由指数函数性质得 ，
由对数函数性质得 ，
由正弦函数性质得 ，则 ，故D正确.
故选：D
7．C
【详解】因为定义在 上的函数 满足 为偶函数， 为奇函数，
所以 ， ，
在 中，
令 ，则 ，解得 ，
令 ，则 ，无法直接得出 或 ，
令 ，则 ，C说法正确；
由 可得 ，
所以 ，即 的周期为 ，
所以 ，无法得出 ，
故选：C
8．D
【详解】设再次补充这种药的时间不超过 .由题意可得 ，
整理得 ，所以 ，
故再次补充药物的时间不能超过 .
故选：D.
9．AC
【详解】由 且 ，则 ，且 ，则 ，A对，B错，
由 ，则 ，
而 ，
所以 ，则 ，C对，
由 ，则 ，
而 ，则 ，故 ，D错.
故选：AC
10．BC
【详解】对于B，由题意，得函数 ，又 ，
，
解得 ，故B正确，
对于A， ，故A错误，
对于C， ，故C正确，对于D，
又 ，
，故D错误.
故选：BC.
11．ACD
【详解】A：当 时， ， ， ，所以 ，A正确；
B：取 ，则 ，
，
，所以 不是奇函数，B错误；
C：由 的定义可知当 为整数时 ，
对于 取 （不是整数），
则 ，
即对任意 为定值 ，C正确；
D： 由 的定义可知，当 时， 的所有可能取值如下表，
区间所以在 时， 的可能取值为 ，
因为对于任意 （ 为整数），
，
即 ，
所以 的值域 ，
因为 ，
当 时，由 可知 ，
又因为 ， ，
所以集合 的元素个数为 ，D正确；
故选：ACD
12．
【详解】由题意可得 ，因为函数 为奇函数，故 .故答案为： .
13．
【详解】设扇形的半径为 ，弧长为 的弧所对的圆心角为 ，所以 ，所以 ，
则该弧所在的扇形面积为 .
故答案为： .
14．3
【详解】函数 与 的图象关于点 中心对称，则对 上任意一点 ，其对称点
在 的图象上，
，即 ，
又 ， ，
，
令 ，
又 恰有一个零点，
当 时， ， ，此时 有无数零点，不满足题意；
当 时， 为一个二次函数，则 ，
即 ， ，
，令 ，则 ，对称轴为 ，
，
综上所述， 的最小值为3.
故答案为： .
15．(1) ， 或 ，
(2)
【详解】（1）当 时， ， .
因为 或 ，
所以 ，
或 ，
（2）因为 是 的充分条件，
所以 ，于是有 ，
所以实数 的取值范围为 .
16．(1)对称轴为 ，递增区间为 ；
(2)最大值和最小值分别为1和 .
【详解】（1）函数 ，由 ，得 ，
所以函数 的对称轴为 ；
由 ，得 ，
所以函数 的单调递增区间为 .（2）当 时， ，则当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ，
所以 在 的最大值和最小值分别为1和 .
17．(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）由题意，不等式 的解集为 ，
则 和 是方程 的两个根，
得 解得 ，
所以 ；
（2）若 ，则 ，即 ，
因为 ，所以 ， 是方程 的两个实数根，
①当 时， ，不等式的解集为 ；
②当 时， ，不等式的解集为 ；
③当 时，解集为 ；
④当 时， ，不等式的解集为 ；
综上所述，当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；当 时，解集为 ．18．(1)
(2)函数 是实数集上的减函数，证明见解析
(3)
【详解】（1）因为定义域为 的函数 是奇函数，
所以
.
（2）函数 是实数集上的减函数，证明如下：
由（1）可知 ，
设 是任意两个实数，且 ，
，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以函数 是实数集上的减函数.
（3）因为函数 是实数集上的奇函数，
所以由不等式
，由（2）可知：函数 是实数集上的减函数，
所以由
，
因为 ，所以 ，
所以由 ，
所以原问题转化为 在 时恒成立，
设 ， ，
，
当 时，函数 是增函数，且 ，
由复合函数单调性的性质可知函数 也是增函数，
所以函数 也是增函数， ，即 ，
所以要想 在 时恒成立，
只需 ，所以 的取值范围为 .
19．(1)证明见解析
(2)1
(3)
【详解】（1）设 ，则 单调递增，
，则存在 ，使得 ，
令 ，即 或 ，
则 ，
则 ，
则 关于2为零点近似函数.
（2）设 ，则对于方程 ，
， ， ，
则 ，
则 的两根为 ，
则 ，
，
设 ，则 ，
解得 ，
则 ，
则 的最小值为1.
（3） ，
设 ，则 ，对于方程 ，即 ，
设 ， ，
由对勾函数性质可得，当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
则 ，
则当 时该方程有根，
设该方程其中1根为 ，
由于 ，
则 有两个相反的根，设为 ，
①若 ，则 ，则 ，
此时 符合题意；
②当 时， ， 只有1解， 只有1个零点，不符合题意；
③当 时，由于 ，则 有且仅有1 解，
且 ，由①知不符合题意；
④当 时， 有且仅有1 解，且 ，由①知不符合题意；
⑤当 时， 有两解 ，设 ，
由于 ，则 ，设 ， ，
由于 ，
则 ，
则 符合题意；
综上 .
