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鄂尔多斯市第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题
一、单选题
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．若 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．命题“ ， ”的否定是（ ）．
A． ， B． ，
C． ， D． ，
5．已知 在 上是减函数，那么 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同
一个函数的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
8．命题“ ”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知实数 ，则下列结论一定正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．设函数 ，则 （ ）
A．是偶函数 B．在区间 上单调递减
C．最大值为2 D．其图象关于点 对称
11．函数 的部分图象如图所示，则（ ）A．
B． 的图象向左平移 个单位长度后得到函数
C． 的图象关于直线 对称
D．若方程 在 上有且只有6个根，则
三、填空题
12．已知半径为3的扇形面积为 ，则这个扇形的圆心角为 ．
13．已知函数 在区间 上有且仅有两个零点，则 的最大值是
14．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依
据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示
的图形，点 在以 为直径的半圆上， 为圆心，点 在半径 上（不与 点重合），且 ．
设 ，则 （用 表示），由 可以得出的关于 的不等式为
．四、解答题
15．已知函数 .
(1)求 的最小正周期，对称中心坐标和 的单调递减区间；
(2)当 时，求函数 的最小值及取得最小值时x的值.
16．（1）已知 ，试比较 与 的大小．
（2）已知命题 ，命题 ，其中 ．当 时，若 是 的必要不充分条
件，求实数 的取值范围．
17．已知集合 ， ，回答下列问题：
(1)设命题 ，命题 ，若 是 成立的充分不必要条件，求实数 的取值范围；
(2)若 ，求实数 的取值范围；
(3)若不存在实数 使 且 同时成立，求实数 的取值范围.
18．已知函数 的最大值为3．
(1)若 的定义域为 ，求 的单调递增区间；
(2)若 ，求 的值．
19．根据要求完成下列问题：
(1)若 、 、 ．
①求证： ；
②求证： ；
③在②中的不等式中，能否找到一个代数式，满足 所求式 ？若能，请直接写出该代数
式；若不能，请说明理由．(2)设x、 ，求证： 成立的充要条件是 .1．B
根据给定条件，利用交集的定义求解即得.
【详解】由集合 ，得 .
故选：B
2．C
根据全称量词命题的否定定义即可求解.
【详解】命题“ ， ”中含有全称量词，
故该命题的否定需要将全称量词改为存在量词，且只否定结论，不否定条件，
所以该命题的否定为：“ ， ”.
故选：C.
3．D
将条件式弦化切结合角范围求得 ，利用二倍角正切公式求解.
【详解】依题意得 ，解得 或3.
因为 ，所以 ，
所以 .
故选：D.
4．A
根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.
【详解】命题“ ， ”为全称量词命题，
其否定为： ， .
故选：A
5．D
根据分段函数、一次函数、对数函数的单调性可得出关于实数 的不等式组，解之即可.
【详解】因为函数 在 上是减函数，则函数 在 上为减函数，则 ，可得 ，
函数 在 上为减函数，则 ，
且有 ，解得 .
综上所述， .
故选：D.
6．D
根据并集的定义求解即可.
【详解】由集合 ， ，得 .
故选：D.
7．B
先求函数的定义域，定义域不同则不是同一个函数，定义域相同再看对应关系是否相同，对应关系相同则
是同一个函数，对应关系不同则不是同一个函数.
【详解】对于A， 和 定义域均为R， ，
故 和 定义域相同，对应关系不同， 和 不是同一个函数，故A错误；
对于B， 和 定义域均为R， ，
故 和 定义域相同，对应关系相同， 和 是同一个函数，故B正确；
对于C， 定义域为 ， 定义域为R，
故 和 定义域不相同， 和 不是同一个函数，故C错误；
对于D， 定义域为R， 定义域为 ，
故 和 定义域不相同， 和 不是同一个函数，故D错误；
故选：B.
8．D利用存在量词命题的否定直接判断即可.
【详解】命题“ ”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以所求否定是“ ”．
故选：D
9．BCD
利用举实例判断A选项，利用不等式的基本性质判断B选项，利用作差法比较大小判断C，D选项．
【详解】解：因为 ，所以
选项A，当 ， ， 时，则 ，故A错误；
选项B，由于 ，所以 ，则 ，故B正确；
选项C，因为 ，所以 ，则 ，则 ，故C正确；
选项D， ， ， ， ，故D正确.
故选：BCD．
10．ABD
A选项，利用辅助角公式得到 ，利用函数奇偶性定义得到A正确；B选项，根据
在 上的单调性得到B正确；C选项，在A选项基础上得到最大值；D选项，代入得到
，D正确.
【详解】A选项，
，
由于 定义域为R，且 ，故 为偶函数，A正确；
B选项， 时， ，
由于 在 上单调递减，故 在 上单调递减，B正确；
C选项， 的最大值为 ，C错误；
D选项，当 时， ，故 图象关于点 对称，D正确.
故选：ABD
11．ACD
根据图象得到 再由 得到 ，然后由 的图象过点 求得解析式后逐项
判断.
【详解】由图象得， ，而 ，则 ，
由 的图象过点 ，得 ，解得 ，
而 的周期 有 ，即 ，解得 ，
因此 ，A正确；
函数 的图象向左平移 个单位长度后得到的新函数是：
，非奇非偶函数，B错误；
，C正确；显然 ，
若方程 在 上有且只有6个根，则 ，D正确.
故选：ACD.
12．
【解析】由扇形的面积公式直接求解.
【详解】由扇形面积公式 ，
可得圆心角 ，
故答案为： .
13． /
先利用辅助角公式化简题中函数，再结合 的范围及正弦函数的性质即可得解.
【详解】因为 ，
则由 ，得 ，
因为函数 在区间 上恰有两个零点，
所以 ，解得 ，
所以 的最大值是 .
故答案为： .
14． （也可以写作 ）确定 ，根据线段间的关系计算 ，确定 ，根据 得到
不等式.
【详解】 ， ，
，
由 可得 ，即 ．
故答案为： ；
15．(1) ，对称中心为 ，单调递减区间
(2)最小值为 ，
（1）根据二倍角的正弦公式，余弦公式，辅助角公式化简函数解析式；利用周期公式求周期，利用整体
思想，结合正弦函数的性质依次求对称中心坐标和单调递减区间即可；
（2）由自变量 的取值范围确定变量 的取值范围，利用正弦函数的性质，即可求最小值和取得最小
值时x的值.
【详解】（1）
，所以，函数 的最小正周期为 .
由 ，解得 ，
所以函数 的对称中心为 ；
由 ，解得 .
所以函数 的单调递减区间为 .
（2）当 时， ，
当 ，即 时，函数 取得最小值，最小值为 ．
16．（1） ；（2） ．
（1）利用作差法判断即可；
（2）首先求出命题 、 所对应的不等式的解集，即可得到 是 的真子集
，从而得到不等式组，解得即可.
【详解】（1）
，
；
（2） ，
，，解得 ，
命题 对应不等式的解集为 ；
又 ，
，
当 时，不等式的解集为 ，
命题 对应不等式的解集为 ，
当 时，若 是 的必要不充分条件，
即 是 的真子集，
， ，即 .
17．(1)
(2) 或
(3) 或
（1）首先解一元二次不等式求出集合 ，即可求出 ，依题意 真包含于 ，即可得到不等式组，解
得即可；
（2）依题意可得 ，分 、 两种情况讨论，分别求出参数的取值范围；
（3）依题意 ，分 、 两种情况讨论，分别求出参数的取值范围.
【详解】（1）由 ，即 ，解得 或 ，
所以 或 ，所以 ，
即命题 ，
又命题 ，且 是 成立的充分不必要条件，即 推得出 ， 推不出 ，
所以 真包含于 ，又 ，所以 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 ；
（2）因为 ，所以 ，
若 ，即 ，解得 ，此时符合题意；
若 ，则 或 ，解得 或 ，
综上可得实数 的取值范围 或 ；
（3）因为不存在实数 使 且 同时成立，
所以 ，
若 ，即 ，解得 ，此时符合题意；
若 ，则 ，解得 ；
综上可得实数 的取值范围为 或 .
18．(1) 和
(2)
（1）利用二倍角公式将 化简并利用最值可得 ，再由三角函数单调性解不等式
即可求得单调递增区间；（2）代入解析式可求得 ，再根据同角三角函数之间的基本关系以及二倍角等公式求
，最后利用诱导公式可求 ．
【详解】（1）将 化简可得 ，
因为 ，所以 ．此时 ，
当 时，
令 ．得 ；令 ，得 ，
所以 的单调递增区间为 和 ．
（2）由（1）知 ．
由 ，得 ，
所以 ．又因为 ．所以 ，
所以 ．
所以 ，
所以 ．19．(1)①证明见解析；②证明见解析；③能找到，
(2)证明见解析
【详解】（1）①∵ ，且 、 ，
∴ ，∴ ；
②∵ ，∴ ，
又 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 、 ，
∴ ，由①知 ，
∴ ，
∴ ；
③∵ ， ，
∴ 或 （只要写出其中一个即可）；
（2）①充分性：如果 ，则有 和 两种情况，
当 时，当 时，则 、 ，等式成立，
当 时，则 、 ，等式成立，
当 时，等式成立，
当 时，即 、 或 、 ，
当 、 时， 、 ，等式成立，
当 、 时， 、 ，等式成立，∴当 时，等式成立，
∴当 时， 成立，
②必要性：若 且 ，则 ，
即 ，则 ，故 ，
综上所述， 是等式 成立的充要条件.
