文档内容
2024～2025 学年高一年级第二次月考试卷
数 学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上
对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答
题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章~第三章第2节．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．下列关系中错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．设命题 ，使得 ，则 为（ ）
A． ，都有 B． ，都有
C． ，使得 D． ，使得
3． 的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
4．下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
5．下列函数中与 是同一个函数的是（ ）A． B． C． D．
6．已知函数 在 上具有单调性，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．若a， ，且 ，则ab的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知 是定义域为R的偶函数，且当 时， 单调递减，则满足 的实数x的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列能够表示集合 到集合 的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列四个命题中，其中为真命题的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
11．已知函数 ，则（ ）
A． 的定义域为 B． 的值域为
C． 的图象关于点 对称 D．若 在 上单调递减，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．函数 在区间 上的最大值为__________，最小值为__________．
13．函数 的定义域为__________．
14．若一元二次不等式 对一切实数x都成立，则k的取值范围为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知 ， ．
（1）求 ；
（2）求 ．
16．（本小题满分15分）
（1）已知函数 ，求 的解析式；
（2）已知 为二次函数，且 ， ，求 的解析式．
17．（本小题满分15分）
已知函数 ．
（1）直接写出 的定义域、值域；
（2）讨论 的单调性、奇偶性，并根据定义证明；
（3）画出 的大致图象．
18．（本小题满分17分）
如图所示，为宣传某运动会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，
宣传栏的面积之和为 ，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为2dm，两个宣传栏之间的空隙
的宽度为3dm，设海报纸的长和宽分别为 ， ．（1）求y关于x的函数表达式；
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少？
19．（本小题满分17分）
已知函数 ， ．
（1）若 是关于x的方程 的一个实数根，求函数 的值域；
（2）若对任意 ，存在 ，使得 ，求实数a的取值范围．．
2024～2025 学年高一年级第二次月考试卷·数学
参考答案、提示及评分细则
1．C 空集是任何非空集合的真子集，所以 ，A正确；
有理数集的补集为无理数集，所以 ，B正确；
正整数集 不包括元素0，所以 ，C错误；
N表示自然数集，Z表示整数集，所以 ，D正确．故选C．
2．A 为 ，都有 ．故选A．
3．C 对于A，B，可以推出“ ”是充分条件；
对于D，是既不充分也不必要条件．故选C．
4．B 当 时， ，选项A错误；
由于 ，所以 ，选项C错误；当 ， 时， ，选项D错误．故选B．
5．D 函数 ，其定义域为 ， 的定义域为R，
所以 与 不是同一个函数，A不符合；
，显然 与 不是同一个函数，B不符合；
，其定义域为 ，
所以 与 不是同一个函数，C不符合；
，其定义域为 ，
所以 与 是同一个函数，D符合．故选D．
6．D 函数 为一元二次函数，对称轴为直线 ．
当 ，即 时， 在 上单调递增；
当 ，即 时， 在 上单调递减．
综上可知，k的取值范围为 ．故选D．
7．A 因为 ，a， ，所以 ，即 ，
当且仅当 时，等号成立；解得 或 （舍）．故选A．
8．B 因为 为R上的偶函数，则 ，即 ，又当 时， 单调递减，所以当 时， 单调递增，
又 ，所以 ，即 解得 或 ．故选B．
9．ABD 根据函数的概念判断ABD正确，C错误．故选ABD．
10．AC 对于A，因为 （当且仅当 时等号成立），
（当且仅当 时等号成立），所以 ，故A正确；
对于B，因为 ，所以当 时， ，故B错误；
对于C，当 时， ，故C正确；
对于D，不等式 的解集为 ，此区间内无自然数解，故D错误．故选
AC．
11．ABC 由 得 ，所以 的定义域为 ，A正确；
由 及 可得 的值域为 ，B正确；
的图象可由奇函数 的图象向右平移4个单位，再向上平移 个单位得到，
所以 的图象关于点 对称，C正确；
在 上单调递减，则 或 ，D错误．故选ABC．
12． （3分） （2分） 显然 在 上单调递减，
， ．
13． 由题意得 解得 且 ，所以定义域为 ．14． 当 时，要使一元二次不等式 对一切实数x都成立，
则二次函数 的图象在x轴下方，即 ，得 ；
当 时，二次函数 的图象开口向上，
一元二次不等式 不可能对一切实数x都成立．综上可知， ．
15．解：（1） ， ， 或 ，
，
又 ， ， 或 ，
，故
（2） ．
16．解：（1）设 ，可得 ，
则 ，故 ．
（2）因为 ，可设 ，则 ，解得 ，
因此， ．
17．解：（1） 的定义域为 ，值域为R．
（2） 是奇函数，在 ， 上单调递增，理由如下：
设 ， ，且 ，则 ．， ，且 ， ， ， ，
，即 ， 在 上单调递增；
设 ， ，且 ，则 ．
， ，且 ， ， ， ，
，即 ， 在 上单调递增．
， ， 是奇函数．
（3） 的大致图象如图：
18．解：（1）由题知，两个矩形宣传栏的长为 ，宽为 ，
，整理得 ．
（2）由（1）知 ，即 ，
， ， 由基本不等式可得 ，
令 ，则 ，解得 （舍去）或 ． ，
当且仅当 即 ， 时等号成立，
海报长42dm，宽24dm时，用纸量最少，最少用纸量为 ．19．解：（1） 是方程 的一个实根， ，解得 ，
， 函数 的值域为 ．
（2） 对任意 ，存在 ，使得 ， ，
的图象开口向下，对称轴为 ，
在 上的最小值为 ．
的图象开口向上，对称轴为 ，
①当 ，即 时，在 上， ，
，整理得 ，解得 或 ， ；
②当 ，即 时，在 上， ，
，解得 ， ；
③当 ，即 时，在 上， ，
，解得 ， ．综上，实数a的取值范围为 ．
