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2024-2025 学年安徽省合肥市普通高中六校联盟高一下学期 4 月期中联
考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知z=−1+i，则z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.设⃗
a
， ⃗b 是向量，则“ (⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=0 ”是“ ⃗a=−⃗b 或 ⃗a=⃗b ”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=3，b=4，C=60∘，则c的值为( )
A. 13 B. √13 C. 19 D. √19
4.若向量 ⃗a=(2,1) ， ⃗b=(1,0) ，则向量 ⃗b 在向量⃗
a
上的投影向量为( )
2√5 4√5 2√5 4 2
A. B. (4,2) C. ( , ) D. ( , )
5 5 5 5 5
5.已知向量⃗
a
， ⃗b 满足 |⃗a|=5 ， |⃗b|=6 ，⃗
a⋅
⃗
b=6
，则 cos<⃗a ，⃗
a−
⃗
b>=
( )
31 19 17 19
A. − B. − C. D.
35 35 35 35
6.相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼
(如图(1))，如图(2)，为了测量该楼的高度AB，一研究小组选取了与该楼底部B在同一水平面内的两个测
量基点C与D，现测得∠BCD=30∘，∠CDB=45∘，BD=10m，在C点处测得该楼顶端A的仰角为60∘，
则该楼的高度AB为( )
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1 1A. 10√6(m) B. 10√2(m) C. 10√3(m) D. 20√3(m)
7.某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形(如图所示)，将该平面图形绕其直角腰AB边旋转一周
1
得到一个圆台，已知∠ABC=45∘，AD=AB= BC=1，则该圆台的体积为( )
2
7 14
A. π B. 7π C. π D. 14π
3 3
8.已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若
|PO|=√2 ，则 ⃗ ⃗ 的最大值为( )
PA⋅PD
1+√2 1+2√2
A. B. C. 1+√2 D. 2+√2
2 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. ， B. ，
⃗a=(−3,2) ⃗b=(6,−4) ⃗a=(2,3) ⃗b=(3,2)
C. ⃗a=(1,−2) ，⃗
b=(7,14)
D. ⃗a=(−2,3) ，⃗
b=(4,6)
10.下列命题正确的是( )
A. 复数2−2i的虚部为−2i
B. 若z ，z 是复数，则|z ⋅z |=|z |⋅|z |
1 2 1 2 1 2
C. 若z ，z 是复数，|z +z |=|z −z |，则z ⋅z =0
1 2 1 2 1 2 1 2
D. 复平面内满足条件|z+i|≤2的复数z所对应的点Z的集合是以点(0,−1)为圆心，2为半径的圆面．
11.下列命题错误的是( )
A. 用平面去截一个棱锥，则截面与底面之间的部分为棱台．
3
B. 若向量⃗a=(x,3)，⃗b=(2,−1)的夹角为钝角，则x< ．
2
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2 1π
C. 若B= ，BC=2√3且△ABC有两解，则AC的取值范围是(3,2√3).
3
D. 设点O是△ABC所在平面内一点，若⃗OA+2⃗OB+3⃗OC=0⃗，则△AOC与△ABC的面积之比为1:3．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知长方体的长宽高分别为3，4，5，则该长方体的外接球的表面积是 ．
⃗ 1 ⃗ ⃗
13.已知正方形ABCD的边长为1，点P满足AP= (AB+AC)，则
|P
⃗
D|=
．
2
AC
14.已知▵ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120∘,AD=2,CD=2BD.当 取得最小值时，BD=
AB
．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量 ⃗a=(1,k) ，⃗
b=(2,k−2)
，
若 ⃗ ⃗ ⃗，求实数
(1) (a+b)//a k;
若 ，求实数 ．
(2) (⃗a−2⃗b)⊥⃗a k
16.(本小题15分)
已知复数z =3+4i，z =1−ai(a∈R,i是虚数单位)．
1 2
若z 是纯虚数，求
(1) 2 |z |;
z 2
1
(2)若z 是实系数一元二次方程x2−px+3=0的根，求实数a和p的值．
2
17.(本小题15分)
如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面边长为2，高为3.圆锥的底
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3 1面内切于该三棱柱的上底面，顶点在三棱柱下底面的中心处．
(1)求该几何体的体积;
(2)求该几何体的表面积．
18.(本小题17分)
已知平行四边形ABCD中，AB=3，BC=6，∠DAB=60∘，点E为线段BC的中点．
设 ， ，用⃗， 表示 ⃗
(1) ⃗AB=⃗a ⃗AD=⃗b
a
⃗b
AE;
(2)求cos∠CAE;
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4 1⃗
|AF|
⃗ ⃗
(3)点F在线段AC上， ，求 的值．
BF⊥AE
⃗
|AC|
19.(本小题17分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，√3c+bsin A=√3acosB.
(1)求A;
(2)点D在边BC上．
(ⅰ)若AD为中线且长为√3，AB=2，求△ABC的面积;
(ⅱ)若AD平分∠BAC，且AD=2，求△ABC面积的最小值．
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5 1参考答案
1.C
2.A
3.B
4.D
5.D
6.A
7.C
8.A
9.BCD
10.BD
11.AB
12.50π
√5
13.
2
14.√3−1
15.解： ⃗ ⃗ ，
(1)a+b=(3,2k−2)
由 ⃗ ⃗ ⃗，
(a+b)//a
得(2k−2)−3k=0，
解得k=−2;
⃗ ⃗ ，
(2)a−2b=(−3,−k+4)
由 ，
(⃗a−2⃗b)⊥⃗a
得 ⃗ ⃗ ⃗ ，
(a−2b)·a=0
所以−3+k(−k+4)=0，
解得k=1或3．
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6 116.解：(1)因为z =3+4i，z =1−ai，
1 2
所以z 1−ai (1−ai)(3−4i) (3−4a)−(4+3a)i，
2= = =
z 3+4i (3+4i)(3−4i) 25
1
z 是纯虚数，
∵ 2
z
1
3−4a −(4+3a) 3
∴ =0，且 ≠0，解得a= ，
25 25 4
√ 3 5
所以|z |= 12+(− ) 2= ;
2 4 4
依题意， ，即 ，
(2) (1−ai) 2−p(1−ai)+3=0 (4−a2−p)+a(p−2)i=0
即 且 ，
(4−a2−p)=0 a(p−2)=0
即{a=0或{a=±√2．
p=4 p=2
1
17.解：(1)因为正三棱柱的底面积为 ×22×sin60∘=√3，
2
所以正三棱柱的体积为√3×3=3√3，
设正三角形的内切圆半径为r，
1 √3
所以 ×r×(2+2+2)=√3，解得r= ，
2 3
1 √3 π π
所以圆锥的体积为 π( ) 2×3= ，故该几何体的体积为3√3− ；
3 3 3 3
(2)因为正三棱柱的表面积为2√3+2×3×3=2√3+18，
倒圆锥的底面圆面积为 √3 π，倒圆锥的母线长为√ √3 2√21，
π×( ) 2= 32+( ) 2=
3 3 3 3
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7 1√3 2√21 2√7π
倒圆锥的侧面积为π × = ，
3 3 3
(2√7−1)π
所以该几何体的表面积为2√3+18+ ．
3
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗ 1⃗
18.解：(1)AE=AB+BE=AB+ BC=AB+ AD=a+ b
2 2 2
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
(2)AC=AB+AD=a+b
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 1⃗ ⃗ 3⃗ ⃗ 1⃗ 81
AC⋅AE=(a+b)⋅(a+ b)=a2+ a⋅b+ b2=
2 2 2 2
⃗ √(⃗ ⃗) 2 √⃗ ⃗ ⃗ ，
|AC|= a+b = a2+2a⋅b+b2=3√7
|A ⃗ E|= √ (⃗ a+ 1⃗ b ) 2 = √⃗ a2+ ⃗ a⋅ ⃗ b+ 1⃗ b2=3√3
2 4
⃗ ⃗
AC·AE 3√21
cos∠CAE= =
| ⃗ || ⃗ | 14
AC AE
设 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
(3) AF=λAC=λ(a+b)
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
BF=AF−AB=(λ−1)a+λb
⃗ ⃗ ⃗ λ⃗ 3 1 ⃗ ⃗ 81 27
AE⋅BF=(λ−1)a2+ b2+( λ− )a⋅b= λ− =0，
2 2 2 2 2
⃗
1 |AF| 1
解得λ= ， =
3 ⃗ 3
|AC|
a b c
19.解：(1)因为√3c+bsin A=√3acosB， = = ，
sin A sinB sinC
所以√3sinC+sinBsin A=√3sin AcosB，
所以√3sin(A+B)+sinBsin A=√3sin AcosB，
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8 1所以sinB(√3cosA+sin A)=0．
因为sinB≠0，所以√3cosA+sin A=0，即tan A=−√3．
2π
因为A∈(0,π)，所以A= ．
3
⃗ 1 ⃗ ⃗ ， ⃗ 1 ⃗ ⃗ 1√ ⃗ ⃗ 1√ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ，
(2)AD= (AB+AC) |AD|= |AB+AC|= (AB2+AC) 2= AB2+2AB⋅AC+AC2=√3
2 2 2 2
解得AC=4，
1
S = AB×ACsin A=2√3
ΔABC 2
π
(3)因为AD平分∠BAC，所以∠DAB=∠DAC= ，
3
1 1 1
因为S =S +S ，所以 bcsin∠BAC= c⋅AD⋅sin∠DAB+ b⋅AD⋅sin∠DAC，
△ABC △ABD △ACD 2 2 2
即bc=2(b+c)．
因为b+c≥2√bc，所以bc=2(b+c)≥4√bc，
所以bc≥16(当且仅当b=c=4时等号成立)．
1 2π 1 √3
所以S = bcsin ≥ ×16× =4√3，所以△ABC面积的最小值为4√3．
△ABC 2 3 2 2
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9 1
