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第七章 复数B（提高卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2020春•西城区校级期中）复数 ，则在复平面内，z对应的点的坐标是（ ）
A．（1，0） B．（0，1） C． D．
【解答】解：由 i；
则在复平面内，z对应的点的坐标是：（0，1）．
故选：B．
2．（2019春•抚顺期末）若复数（a2﹣3a+2）+|a﹣1|i（a R）不是纯虚数，则（ ）
A．a≠2 B．a≠1 C．a＝1∈ D．a≠1且a≠2
【解答】解：∵若复数（a2﹣3a+2）+|a﹣1|i是纯虚数，
∴a2﹣3a+2＝0且|a﹣1|≠0
∴a＝2，a＝1，且a≠1，a≠0，
∴a＝2，
∴复数（a2﹣3a+2）+|a﹣1|i（a R）不是纯虚数时，a≠2，
故选：A． ∈
3．（2020•张家口二模）已知非零复数z满足 i（其中是 的z共轭复数，是虚数单位），z在复平面内
对应点P（x，y），则点P的轨迹为（ ）
A．x﹣y＝0（x2+y2≠0） B．x+y＝0（x2+y2≠0）
C．x﹣y﹣2＝0（x2+y2≠0） D．x+y﹣2＝0（x2+y2≠0）
【解答】解：由题意，z＝x+yi（x，y R），
∈
由 i，得 （x2+y2≠0），
即x﹣yi＝i（x+yi）＝xi﹣y，
则x＝﹣y，即x+y＝0（x2+y2≠0）．
∴点P的轨迹为x+y＝0（x2+y2≠0）．
故选：B．4．（2020春•桃城区校级月考）已知复数 （a R，i为虚数单位），若复数z的共轭复数的虚
∈
部为 ，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵ ，
∴ 的虚部为 ，
由 ，得a＝2．
∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（ ， ），位于第一象限．
故选：A．
5．（2020•浙江模拟）若复数z ＝2+i，z ＝cos +isin （ R），其中i是虚数单位，则|z ﹣z |的最大值为
1 2 1 2
（ ） α α α∈
A． B． C． D．
【解答】解：∵z ＝2+i，z ＝cos +isin （ R），
1 2
∴z 对应的点在以原点为圆心，以α 1为α半径α的∈ 圆上，z ＝2+i对应的点为Z （2，1）．
2 1 1
如图：
则|z ﹣z |的最大值为 ．
1 2
故选：C．
6．（2020•临川区校级模拟）已知i为虚数单位，若复数z ，z 在复平面内对应的点分别为（2，1），
1 2
（1，﹣2），则复数 （ ）
A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．﹣4﹣3i D．﹣3【解答】解：由题意，z ＝2+i，z ＝1﹣2i，
1 2
则 ．
故选：A．
7．（2019春•辽宁期末）设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（ ）
A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010i
C．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i
【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+……+2020i2019．
∴iS＝2i2+3i3+……+2020i2020．
则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．
i
2021+i，
∴S ．
故选：B．
8．（2019春•遂宁期末）设m R，复数z＝（1+i）（m﹣i）在复平面内对应的点位于实轴上，又函数 f
（x）＝mlnx+x，若曲线y＝f∈（x）与直线l：y＝2kx﹣1有且只有一个公共点，则实数k的取值范围为（
）
A． B．（﹣∞，0]∪{1}
C．（﹣∞，0]∪{2} D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
【解答】解：∵z＝（1+i）（m﹣i）＝（m+1）+（m﹣1）i在复平面内对应的点位于实轴上，
∴m﹣1＝0，即m＝1．
则f（x）＝lnx+x，f′（x） ，
又当x→0时，f（x）→﹣∞，
作出函数f（x）＝lnx+x的图象如图：
直线l：y＝2kx﹣1过（0，﹣1），
设切点为（x ，lnx +x ），
0 0 0
则在切点处的切线方程为y﹣lnx ﹣x ＝（ ）（x﹣x ），
0 0 0把（0，﹣1）代入，可得﹣1﹣lnx ﹣x ＝﹣1﹣x ，即lnx ＝0，即x ＝1．
0 0 0 0 0
则2k＝2，k＝1．
而f′（x） 1（x＞0），
由图可知，当2k （﹣∞，1]，即k （﹣∞， ]时，曲线y＝f（x）与直线l：y＝2kx﹣1有且只有一个公
∈ ∈
共点，
综上可得，当k （﹣∞， ]∪{1}时，曲线y＝f（x）与直线l：y＝2kx﹣1有且只有一个公共点．
∈
故选：A．
二．多选题（共4小题）
9．（2020春•东海县期中）下列关于复数的说法，其中正确的是（ ）
A．复数z＝a+bi（a，b R）是实数的充要条件是b＝0
B．复数z＝a+bi（a，b∈R）是纯虚数的充要条件是b≠0
C．若z
1
，z
2
互为共轭复∈数，则z
1
z
2
是实数
D．若z ，z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y轴对称
1 2
【解答】解：对于选项A：复数z＝a+bi（a，b R）是实数的充要条件是b＝0，所以选项A正确；
对于选项B：复数z＝a+bi（a，b R）是纯虚数∈的充要条件是a＝0且b≠0，所以选项B错误；
对于选项 C：若 z
1
，z
2
互为共∈轭复数，不妨设 z
1
＝a+bi （a R，b R），则 z
2
＝a﹣bi，所以
，所以选项C正确； ∈ ∈
对于选项D：若z ，z 互为共轭复数，不妨设z ＝a+bi （a R，b R），则z ＝a﹣bi，则它们在复平面
1 2 1 2
内所对应的点分别为（a，b）和（a，﹣b），关于x轴对称∈，所以∈选项D错误，
故选：AC．
10．（2020春•胶州市期中）若复数z满足（1+i）z＝3+i（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为 ，
则（ ）A．
B．z的实部是2
C．z的虚部是1
D．复数 在复平面内对应的点在第一象限
【解答】解：由（1+i）z＝3+i，得z ．
∴|z| ，故A正确；
z的实部为2，故B正确；
z的虚部是﹣1，故C错误；
复数 在复平面内对应的点的坐标为（2，1），在第一象限，故D正确．
故选：ABD．
11．（2020春•苏州期中）已知复数 （i为虚数单位）， 为z的共轭复数，若复数 ，则
下列结论正确的有（ ）
A．w在复平面内对应的点位于第二象限
B．|w|＝1
C．w的实数部分为
D．w的虚部为
【解答】解：因为复数 （i为虚数单位）， 为z的共轭复数，
则复数 i；
故w对应的点为（ ， ）；
|w| 1；
且w的实部为： ，虚部为： ；
故选：ABC．
12．（2020春•滕州市校级月考）已知集合M＝{m|m＝in，n N}，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合
M的是（ ） ∈A．（1﹣i）（1+i） B． C． D．（1﹣i）2
【解答】解：根据题意，M＝{m|m＝in，n N}中，
n＝4k（k N）时，in＝1； ∈
n＝4k+1（∈k N）时，in＝i；
n＝4k+2（k∈N）时，in＝﹣1；
n＝4k+3（k∈N）时，in＝﹣i，
∴M＝{﹣1，∈1，i，﹣i}．
选项A中，（1﹣i）（1+i）＝2 M；
∉
选项B中， ；
选项C中， ；
选项D中，（1﹣i）2＝﹣2i M．
故选：BC． ∉
三．填空题（共4小题）
13．（2019春•杨浦区校级期末）若复数z满足|1﹣z|•|1+z|＝2，则|z|的最小值为 1
【解答】解：设z＝a+bi；|1﹣z|•|1+z|＝2，
即：2 •
，
令|z|＝t．（t＞0），
则t2＝a2+b2，
所以2 4＝t4+2t2+1﹣4a2，
因为a2≥0，所以4≤t4+2t2+1⇒，
所以t4+2t2﹣3≥0，
解得：t2≥1或者t2≤﹣3（舍），
所以t≥1，
故答案为：1．
14．（2020春•浦东新区校级月考）关于x的实系数方程x2+4x+m＝0的两个复数根为a、 ，且|a﹣ |＝2，
则m＝ 3 或 5 ． β β
【解答】解：对于方程x2+4x+m＝0，∴ + ＝﹣4， ＝m，
当△＝16﹣4m＜0时，设两个复数根为α aβ、 ， αβ
① β且设 ＝a+bi， ＝a﹣bi，a，b R，
所以α2a＝﹣4，β|2bi|＝2，∴a＝﹣∈ 2，b＝±1
故 ＝﹣2+i， ＝﹣2﹣i，
∴α ＝（﹣2）β2﹣i2＝5．
α△β＝16﹣4m≥0时，设两根为x ，x ．
1 2
②易知x +x ＝﹣4，x x ＝m，
1 2 1 2
∴ ，
解得m＝3．
综上可知，m的值为3或5．
故答案为：3或5．
15．（2020春•开封期中）若|z ﹣z |＝1，则称z 与z 互为“邻位复数”．已知复数 与z ＝2+bi
1 2 1 2 2
互为“邻位复数”，a，b R，则a2+b2的最大值为 8 ．
【解答】解：由题意， ∈ ，故 ，
∴点（a，b）在圆 上，
而 表示点（a，b）到原点的距离，
故a2+b2的最大值为 ．
故答案为： ．
16．（2020春•浦东新区校级月考）定义复数的一种运算 z z （等式右边为普通运算），若复
1 2
⊗
数z＝a+bi（a，b R）满足a+b＝3，则z 最小值为 ．
∈ ⊗
【解答】解：由题意得z ．
⊗
将b＝3﹣a代入得： ，
显然，当a 时上式取得最小值 ．
故答案为： ．
四．解答题（共5小题）
17．（2020春•锡山区校级期中）（1）计算： （i为虚数单位）；
（2）已知z是一个复数，求解关于z的方程z 3i• 1+3i．（i为虚数单位）．【解答】解：（1）
；
（2）设z＝a+bi（a，b R），则 ，
代入z 3i• 1+3i，∈
得a2+b2﹣3i（a﹣bi）＝1+3i，即a2+b2﹣3b﹣3ai＝1+3i，
则 ，解得 或 ．
则z＝﹣1或z＝1+3i．
18．（2020春•兴庆区校级期中）实数m分别取什么数值时，复数z＝（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i
（1）与复数2﹣12i相等．
（2）与复数12+16i互为共轭．
（3）对应的点在x轴上方．
【解答】解：（1）根据复数相等的充要条件得 解之得m＝﹣1．
（2）根据共轭复数的定义得 解之得m＝1．
（3）根据复数z对应点在x轴上方可得
m2﹣2m﹣15＞0，
解之得m＜﹣3或m＞5．
19．（2019春•平遥县校级期中）设z 是虚数，z ＝z 是实数，且﹣1≤z ≤1．
1 2 1 2
（1）求|z |的值以及z 的实部的取值范围．
1 1
（2）若 ，求证： 为纯虚数．
ω ω
【解答】解：（1）设z ＝a+bi（a，b R且b≠0），
1
∈
则z ＝z a+bi a+bi
2 1
＝a+bi i＝a （b ）i．
∵z 是实数，b≠0，∴b 0．b≠0，
2
于是有a2+b2＝1，即|z |＝1，
1还可得z ＝2a．由﹣1≤z ≤1，得﹣1≤2a≤1，解得 a ，即z 的实部的取值范围．
2 2 1
（2）证明：
ω
i．
∵a ，b≠0，
∈
∴ 为纯虚数．
20．（ω2020春•胶州市期中）在复平面内，平行四边形OABC的顶点O，A，C，对应复数分别为0，2+i，
﹣1+3i．
（1）求 ， 及 ， ；
（2）设∠OCB＝ ，求cos ．
θ θ
【解答】解：（1）∵ ，
∴ 所对应的复数z ＝（2+i）+（﹣1+3i）＝1+4i，
1
∴ ， ．
∵ ，
∴ 所对应的复数z ＝（2+i）﹣（﹣1+3i）＝3﹣2i，
2
∴ ， ；
（2）由题意， ，
∵ ， ，
∴ ， ， ．
∴ ．
21．（2019春•黄浦区校级月考）已知复数z ＝sin2x+ i， （ ，m，x R），且z
1 1
λ λ ∈＝z ．
2
（1）若 ＝0且0＜x＜ ，求x的值；
（2）设λ＝f（x）； π
求f（xλ）的最小正周期和单调递减区间；
①
已知当x＝ 时， ，试求 的值．
② α
【解答】解：由z ＝sin2x+ i， （ ，m，x R），且z ＝z ．
1 1 2
λ λ ∈
得 ．
（1）若 ＝0且0＜x＜ ，则sin2x ，
λ π
即tan2x ，∴x 或 ；
（2） ，则T＝ ，
①λ π
由 ，得 ，k Z．
∈
∴f（x）的单调递减区间为 ，k Z；
∈
由题意， ，∴sin（ ） ，
②
即cos（ ） ．
∴ ．
