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格致课堂
8.6.2 直线与平面垂直
第 2 课时 直线与平面垂直的性质
一、选择题
1.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的
母线所在直线的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或平行
【答案】B
【解析】由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行．故选B。
2．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是( )
A．l和平面α相互平行
B．l和平面α相互垂直
C．l在平面α内
D．不能确定
【答案】D
【解析】如下图所示，直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有
可能．故选D.
3．如图所示，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是( )
A．异面 B．平行 C．垂直 D．不确定
【答案】C
【解析】∵BA⊥α，α∩β＝l，l α，∴BA⊥l.
同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊂⊥平面ABC.
∵AC 平面ABC，∴l⊥AC.故选C。
⊂格致课堂
4．三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的( )
A．内心 B．重心 C．外心 D．垂心
【答案】C
【解析】如图，设点P在平面ABC内的射影为O，连接OA，OB，OC.
∵三棱锥的三条侧棱两两相等，∴PA＝PB＝PC.
∵PO⊥底面ABC，
∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，
∴Rt POA≌Rt POB≌Rt POC，
∴OA△＝OB＝OC△， △
故顶点P在底面的射影为底面三角形的外心．
5.（多选题）空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是( )
A．垂直 B．相交 C．不相交 D．不垂直
【答案】AC
【解析】取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥平面AOC，BD⊥AC，又
BD、AC异面，∴选AC.
6.（多选题）已知a，b，c为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题,其中不正确的有(
)
A.a⊥α，b∥β，且α∥β a⊥b； B.a⊥b，a⊥α b∥α；
C.a⊥α，b⊥α，a∥c b⇒∥c； D.a⊥α，β⊥⇒α a∥β.
【答案】 BD ⇒ ⇒
【解析】 A 正确；B中b α有可能成立，故B不正确；C正确；D中a β有可能成立，故D不正确.故
选BD. ⊂ ⊂
二、填空题格致课堂
7．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝ .
【答案】6
【解析】因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以AFED是平行四
边形，所以EF＝AD＝6.
8．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC，此图形中有 个直角三角形．
【答案】4
【解析】∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∵AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面
PAC，∴BC⊥PC. 综上知： △ABC，△PAC，△PAB，△PBC都是直角三角形，共有4个．
9.若直线AB∥平面α，且点A到平面α的距离为2，则点B到平面α的距离为________.
【答案】 2
10.已知四棱锥 的底面ABCD是边长为3的正方形， 平面ABCD， ，E为PD中点，
过EB作平面 分别与线段PA、PC交于点M，N，且 ，则 ________；四边形EMBN的面
积为________.
【答案】
【解析】延伸平面 ，交 所在的平面 于 ，即平面 平面 ，
又 平面 平面 ，格致课堂
，即 三点共线，
又 ，由线面平行的性质定理可得 ，
则 ，即 ，
点 为 的中点，又E为PD中点，
则 ，
，
，又 ，
，则 ，
过 作 交 于点 ，
，
则 ，
；
连接 ，
由 同理可得 ，
，
又 平面ABCD， 平面ABCD，
，又 ，
面 ，又 面 ，
， ，
，格致课堂
，
又 ，
所以四边形EMBN的面积为 .
故答案为： ； .
三、解答题
11.如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE. 求证：AE⊥BE.
【证明】 ∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE.
又AE 平面ABE，∴AE⊥BC.
∵BF⊥⊂平面ACE，AE 平面ACE，∴AE⊥BF.
又∵BF 平面BCE，B⊂C 平面BCE，BF∩BC＝B，
∴AE⊥⊂平面BCE. ⊂
又BE 平面BCE，∴AE⊥BE.
12.如图，已⊂知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M、N分别是AB、PC的中点．格致课堂
（1）求证：MN⊥CD；
（2）若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD．
【答案】见解析
【解析】
证明：(1）如图所示，取PD的中点E，连接AE、NE，
∵N为PC的中点，E为PD的中点，∴NE∥CD且NE＝ CD，而AM∥CD
且AM＝ AB＝ CD，∴NE∥AM且NE＝AM，∴四边形AMNE为平行四边形，
∴MN∥AE.又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵ABCD为矩形，∴AD⊥CD，又AD∩PA＝A，∴CD⊥
平面PAD，∴CD⊥AE，又AE∥MN，∴MN⊥CD.
(2）由(1）可知CD⊥AE，MN∥AE.又∠PDA＝45°，∴△PAD为等腰直角三角形，
又E为PD的中点，∴AE⊥PD，∴AE⊥平面PCD. 又AE∥MN，∴MN⊥平面PCD.
