文档内容
学年上学期夏津⼀中⾼⼀年级 ⽉份⽉考
2025-2026 12
数学试题
⼀、单选题（每题5分，共8个题40分）
1. 是（ ）
A. 第⼀象限⻆ B. 第⼆象限⻆ C. 第三象限⻆ D. 第四象限⻆
2. 已知 ，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（ ）
A B. C. D.
3. 若⻆ 始边与 轴的⾮负半轴重合，终边经过点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 下列四个命题，其中为真命题的是（ ）
A. 若函数 在 上是增函数，在 上也是增函数，则 是增函数
B. 和 表示同⼀函数
C. 函数 的单调增区间为
D. 若函数 的值域是 ，则实数 或
5. 已知函数 ，记 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知幂函数 是 上的偶函数，且函数 在区间 上
第1⻚/共3⻚
学科⽹（北京）股份有限公司单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 设 ，则“ ” 是“ ” （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 从盛有 纯酒精的容器中倒出 ，然后⽤⽔填满；再倒出 ，⼜⽤⽔填满……连续进⾏ 次后，容
器中纯酒精剩下不到 ，则 ⾄少是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
⼆、多选题（每题6分，共3个题18分）
9. 下列结论正确的有（ ）
A.
B. 当 时，
C. 终边落在直线 上的⻆的集合是
D. 已知点 在第四象限，则⻆ 终边在第⼆象限
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 函数 的定义域为
B. 若⻆ 的终边过点 ，则
C. 函数 图象关于原点对称
D. 若圆⼼⻆为 的扇形的弧⻓为 ，则该扇形⾯积为
11. 已知 ， ，则下列关系中正确的是（ ）
A. B.
C. 若 ，则 的最⼩值为 D. 若 ，则
三、填空题（每题5分，共3个题15分）
12. 已知 （ 且 ），则 的取值范围是______.
第2⻚/共3⻚
学科⽹（北京）股份有限公司13. 若集合 有且只有两个元素，则实数a的取值范围是______.
14. 若函数 在 上为减函数，则a取值范围是___________.
四、解答题（共77分）
15. 计算以下各题
（1） ；
（2）
（3）
16. 已知函数 的定义域为 .
（1）求实数 取值集合 ；
（2）设 为⾮空集合，若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
17. 已知函数 ， ．
（1）求函数 的定义域；
（2）判断函数 的奇偶性，并说明理由；
（3）求使得不等式 成⽴的 的取值范围．
18. 已知幂函数 在 上单调递增.
（1）求 的值；
（2）求关于 的不等式 的解集.
19. 已知 是定义在 上的奇函数， ．
（1）求函数 在 上的解析式；
（2）若 ，都有 成⽴，求实数 的取值范围．
第3⻚/共3⻚
学科⽹（北京）股份有限公司学年上学期夏津⼀中⾼⼀年级 ⽉份⽉考
2025-2026 12
数学试题
⼀、单选题（每题5分，共8个题40分）
1. 是（ ）
A. 第⼀象限⻆ B. 第⼆象限⻆ C. 第三象限⻆ D. 第四象限⻆
【答案】C
【解析】
【分析】根据 所在区域及象限⻆的定义判断得解.
【详解】显然 ，所以 是第三象限⻆.
故选：C.
2. 已知 ，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据定义域以及值域概念，由函数概念即可判断结论.
【详解】对于A，函数的值域为 ，不符合题意；
对于B，函数 值域为 ，不符合题意；
对于C，函数的定义域为 ，值域为 ，符合题意；
对于D，⼀个⾃变量对应两个函数值，不符合函数定义，不符合题意．
故选：C．
第1⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司3. 若⻆ 的始边与 轴的⾮负半轴重合，终边经过点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由条件利⽤任意⻆的三⻆函数的定义，求出 的值，可得 的值．
【详解】因为⻆ 的终边经过点 ， ， ， ，
所以 ，
则 .
故选：C.
4. 下列四个命题，其中为真命题的是（ ）
A. 若函数 在 上是增函数，在 上也是增函数，则 是增函数
B. 和 表示同⼀函数
C. 函数 的单调增区间为
D. 若函数 的值域是 ，则实数 或
【答案】D
【解析】
【分析】对A，取 进⾏说明，即判断正误；对B，利⽤相同函数的判断⽅法，即可求解；对C，
直接求出 的增区间，即可判断正误；对D，利⽤⼆次函数的性质，结合条件得
.
【详解】对于A，取 ，易知 在 上是增函数，在 上也是增函数，
但 在 上不具有单调性，即 不是增函数，所以A错误，
对于B，因为 的值域为 ， 的值域为 ，所以 和 不表示
第2⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司同⼀函数，故B错误，
对于C，因为 ，
当 时， ，对称轴为 ，图象开⼝向上，在区间 上单调递减，在区间
上单调递增，
当 时， ，对称轴为 ，图象开⼝向上，在区间 上单调递增，在区间
上单调递减，
所以 的单调增区间为 ， ，故C错误，
对于D，函数 的值域是 ，⼜ 的对称轴为 ，图
象开⼝向上，
则 ，解得 或 ，所以D正确，
故选：D.
5. 已知函数 ，记 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判断函数 为偶函数，且在 上单调递增，运⽤对数的运算，将三个⾃变量化简到
内，最后利⽤单调性、奇偶性⽐较⼤⼩.
【详解】因为函数 ，定义域为 ，⽽且
所以 为偶函数，
因为 时， 在 上单调递增；
，
因为 ，所以 ，
第3⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以 ，所以 .
故选：C.
6. 已知幂函数 是 上的偶函数，且函数 在区间 上
单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由幂函数的定义和奇偶性确定 的值，求得 ，利⽤⼆次函数的单调性即可确
定参数a的取值范围.
【详解】因幂函数 是 上的偶函数，
则 ，解得 或 ，
当 时， ，该函数是定义域为 的奇函数，不合题意；
当 时， ，该函数是定义域为 的偶函数，符合题意．
故 ，则 ，其对称轴⽅程为 ，
因为 在区间 上单调递减，则 ，解得 ．
故选:C.
7. 设 ，则“ ” 是“ ” 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据特殊值判断充分性，根据对数函数的性质判断必要性.
【详解】当 时， ⽆意义，故不满⾜充分性；
当 时， ，满⾜必要性，
所以“ ” 是“ ” 的必要不充分条件.
第4⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司故选：B
8. 从盛有 纯酒精的容器中倒出 ，然后⽤⽔填满；再倒出 ，⼜⽤⽔填满……连续进⾏ 次后，容
器中纯酒精剩下不到 ，则 ⾄少是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知分析第 次倒出 ，剩下纯酒精为 ，再列不等式，结合指数函数的性质求参数
值.
【详解】由题意，第⼀次倒出 ，剩下纯酒精为 ，
加满⽔后含酒精 ，第⼆次倒出 ，剩下纯酒精 ，
加满⽔后含酒精 ，第三次倒出 ，剩下纯酒精为 ，
，
连续进⾏ 次后，第 次倒出 ，剩下纯酒精为 ，
令 ， ，故 ⾄少是4.
故选：A
⼆、多选题（每题6分，共3个题18分）
9. 下列结论正确的有（ ）
A
B. 当 时，
C. 终边落在直线 上 ⻆的集合是
D. 已知点 在第四象限，则⻆ 终边在第⼆象限
【答案】BD
【解析】
【分析】利⽤三⻆函数的性质和定义、三⻆函数线、象限⻆的符号规律及终边相同⻆的集合分析判断各选
项.
第5⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【详解】对于A， ，
， ， ，故A错误；
对于B，在单位圆中，当 ，由三⻆函数线可知,
， ， ， ，
设扇形 的⾯积为 ，设 的⾯积为 ，
则有 ， ， ，
， ， ，故B正确；
对于C， 终边落在射线 上的⻆的集合为 ，
终 边 落 在 射 线 上 的 ⻆ 的 集 合 为
，
终边落在直线 上的⻆的集合为 ，故C错误；
对于D， 点 在第四象限，
， ，则⻆ 终边在第⼆象限，故D正确.
故选：BD.
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 函数 的定义域为
B. 若⻆ 的终边过点 ，则
第6⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司C. 函数 的图象关于原点对称
D. 若圆⼼⻆为 的扇形的弧⻓为 ，则该扇形⾯积为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对A，根据函数解析式求出定义域判断；对B，根据三⻆函数定义求解判断；对C，根据函数奇偶
性定义求解判断；对D，根据扇形的弧⻓和⾯积公式求解.
【详解】对于A，由题可得 ，解得 ，故函数 的定义域为 ，故A错误；
对于B，因为⻆ 的终边经过点 ，所以 ，故B正确；
对于C，由 ，解得 ，
⼜ ，
所以 为奇函数，图象关于原点对称，故C正确；
对于D，设扇形的半径为 ，则 ，解得 ，
所以扇形的⾯积 ，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知 ， ，则下列关系中正确的是（ ）
A. B.
C. 若 ，则 的最⼩值为 D. 若 ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】
对式⼦变形，然后逐⼀判断是否具备“⼀正⼆定三相等”的条件，求最值；
【详解】因为 ， ，所以 ，所以 ，所以
第7⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司，故A正确；
因为 和 不⼀定是正实数，故不可⽤基本不等式，从⽽ 不⼀定正确，故B
错误；
若 ，则
，故C正确；
因为 ，所以 ，所以 ，当且仅当
时等号成⽴，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】在应⽤基本不等式求最值时，要把握不等式成⽴的三个条件，就是“⼀正——各项均为正；⼆定
——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．对于公式
，要弄清它们的作⽤、使⽤条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b
的转化关系．
三、填空题（每题5分，共3个题15分）
12. 已知 （ 且 ），则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】把 变形为 ，然后对 和 讨论，得出结果
【详解】因为 ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
第8⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司当 时， ，所以 ，
所以 的取值范围是 ，
故答案为：
13. 若集合 有且只有两个元素，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】先将不等式左边分解因式，然后根据零点⼤⼩关系分类讨论.
【详解】因为 ，
当 时， ，正整数解不可能有两个；
当 时， ；
当 时， ，要满⾜有两个正整数解﹐则 .
综上，实数 的取值范围为 .
故答案为：
14. 若函数 在 上为减函数，则a取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】令 ， 且 ， ，由 是增函数且 恒成⽴，列出关于
的不等式组并解之即可.
【详解】令 ， 且 ， ，
因为函数 在 上是减函数且 在 上是减函数，
所以 是增函数且 恒成⽴，
第9⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司即 ，解之得 的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题（共77分）
15. 计算以下各题
（1） ；
（2）
（3）
【答案】（1）84 （2）0
（3）
【解析】
【分析】（1）根据指数的运算法则及性质求解；
（2）根据对数的运算法则及性质计算得解；
（3）根据特殊⻆的三⻆函数值计算即可.
【⼩问1详解】
.
【⼩问2详解】
．
【⼩问3详解】
.
16. 已知函数 的定义域为 .
（1）求实数 的取值集合 ；
第10⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（2）设 为⾮空集合，若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）由题意可知， 在 上恒成⽴，再对参数 进⾏分类讨论，根据⼆次函数的性
质，即可求出结果；
（2）由命题的关系与集合间的包含关系得： 是 的必要不充分条件，所以 ，由此列出关系
式，即可求出结果.
【详解】（1）可知， 在 上恒成⽴，
当 时， ，成⽴；
当 时， ，解得 ；
综上所述， . 所以集合
（2）因为， 是 的必要不充分条件. 所以，
故 ,解得
所以，实数 的取值范围是 .
17. 已知函数 ， ．
（1）求函数 的定义域；
（2）判断函数 的奇偶性，并说明理由；
（3）求使得不等式 成⽴的 的取值范围．
【答案】（1）
（2）奇函数，理由⻅解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据对数函数的概念求定义域即可.
（2）根据奇函数的定义进⾏判断即可.
第11⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（3）根据对数函数的性质求不等式的解集即可.
【⼩问1详解】
因为函数 ，
所以 .
要使得其有意义，则 ，解得 .
所以函数 的定义域为 .
【⼩问2详解】
因为函数 的定义域为 ，关于原点对称，
且 ，所以
所以函数 为奇函数.
【⼩问3详解】
因为 ，所以 ，
所以 ，化简得 ，解得 .
所以不等式 解集为 .
18. 已知幂函数 在 上单调递增.
（1）求 的值；
（2）求关于 的不等式 的解集.
【答案】（1）3 （2）答案⻅解析
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的概念，结合 时，幂函数在 上单调递增即可解题；
（2）根据⼀元⼆次不等式的解集的求法，对 分类讨论，即可求解.
第12⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【⼩问1详解】
因为函数 为幂函数，
所以 ，解得 或 .
当 时， ，在 上单调递增，符合题意；
当 时， ，在 上单调递减，不符合题意；
所以 .
【⼩问2详解】
由（1）知 ，由 ，
得 .
当 ，即 时，不等式 ⽆解；
当 ，即 时，不等式 解为 ；
当 ，即 时，不等式 解为 .
综上可得， 当 时，不等式 解集为 ；
当 时，不等式 解集为 ；
当 时，不等式 解集为 .
19. 已知 是定义在 上的奇函数， ．
（1）求函数 在 上的解析式；
（2）若 ，都有 成⽴，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质 解得 ，并结合奇函数的定义检验；
第13⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（2）根据题意分析可得 ，换元令 ，构造 ，结合函数单调性求最⼩值即可得
结果.
【⼩问1详解】
因为 是定义在 上的奇函数，则 ，解得 ，
可得 ，
且 ，
即 符合题意，所以 .
【⼩问2详解】
由（1）可知： ，则 ，
若 ，即 ，
即 ；
因为 ， 在 内单调递减，可知 在 内单调递减，
则 ，可得 ，即 ，
令 ，则 ，
构造 ，可知 在 内单调递减，则 ，
可得 ，所以实数 的取值范围为 .
第14⻚/共14⻚
学科⽹（北京）股份有限公司
