文档内容
新高考地区高 2024 届高二（上）期中模拟试题三
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．已知点 ，则直线 的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．圆 的圆心到直线x-y+3=0的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．在正方体 中， 分别为 ， 的中点，则（ ）
A． B． C． D．
4．直线 分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆 上，则 面积的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
5．椭圆 中以点 为中点的弦所在直线方程为（ ）
A． B．
C． D．6．在正三棱锥 中， ，且 ，M，N分别为BC，AD
的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为（ ）．
A． B． C． D．
7．已知抛物线 的焦点为 ， ， 为抛物线上两点，若 ， 为坐标原点，则 的
面积为
A． B． C． D．
8．已知双曲线 ： （ ， ）的左右焦点分别为 、 、A为双曲线的左顶点，以
为直径的圆交双曲线的一条渐近线于 、 两点，且 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．如图，四边形 为正方形，平面 平面 ，且 为正三角形， ， 为 的
中点，则下列命题中正确的是（ ）A． B． 平面
C．直线 与 所成角的余弦值为 D．二面角 大小为
10．在平面直角坐标系 中，动点 与两个定点 和 连线的斜率之积等于 ，记点
的轨迹为曲线 ，直线 与 交于 两点，则（ ）
A． 的方程为 B． 的离心率为
C． 的渐近线与圆 相切 D．
11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点 的距离之比为定值 的点的轨迹是
圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”在平面直角坐标系中，已知 点 满足 ，设点
的轨迹为圆 ，则下列说法正确的是（ ）
A．圆 的方程是
B．过点 向圆 引切线，两条切线的夹角为
C．过点 作直线 ，若圆 上恰有三个点到直线 的距离为 ，则该直线的斜率为
D．过直线 上的一点 向圆 引切线 ，则四边形 的面积的最小值为
12．设抛物线 ： （ ）的焦点为 ，准线为 ，A为 上一点，以 为圆心， 为半径的圆交 于 ， 两点．若 ，且 的面积为 ，则（ ）
A． 是等边三角形 B．
C．点 到准线的距离为3 D．抛物线 的方程为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知圆C的圆心为 ，且圆C经过抛物线 的焦点，则圆C的标准方程为___________．
14．如图，在三棱锥 中， 两两垂直， ， ， 为 的中点，则
的值为______.
15．已知点P在双曲线 上，若P，Q两点关于原点O对称，直线 与圆 相切于
点M且 ，其中 ， 分别为双曲线C的左、右焦点，则 的面积为______．
16．已知 为正方体 表面上的一动点，且满足 ，则动点 运动轨迹
的周长为__________.
四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出
文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知圆 ： 和圆 相交于 两点.
(1)求公共弦 所在直线的方程.
(2)求 的面积.18．如图，四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， ，
是 上一点，且 ， 是 中点．
(1)求证： ；
(2)若二面角 大小为 ，求棱锥 的体积．
19．已知实数 ， 满足方程 ，
(1)求 的最大值和最小值；
(2)求 的最大值和最小值；(3)求 的最大值和最小值.
20．如图，C是以 为直径的圆O上异于A，B的点，平面 平面 为正三角形，E，F分
别是 上的动点.
(1)求证： ；
(2)若E，F分别是 的中点且异面直线 与 所成角的正切值为 ，记平面 与平面 的
交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线 与平面 所成角的取值范围.
21．已知两圆 ，动圆 在圆 内部且和圆 内切，和圆 外切.
(1)求动圆圆心 的轨迹方程 ；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹方程恒有两个交点 ，且满足
若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由.
22．已知双曲线 ： 的右焦点为 ，离心率为2，直线 与双曲线 的一
条渐近线交于点 ，且 ．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设 为双曲线右支上的一个动点，证明：在 轴的负半轴上存在定点 ，使得 ．
