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2023—2024 学年度第二学期教学质量检查
高一数学
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
.
1 已知向量 ，若 ，则 （ ）
A. 2 B. C. -2 D.
2. 为了解学生每日参加体育锻炼的情况，学校用比例分配的分层随机抽样方法从高一､高二､高三年级所有
学生中抽取部分学生做抽样调查，已知该学校高一､高二､高三年级学生人数的比例如图所示，若抽取的样
本中高三年级的学生有36人，则抽取的样本容量为（ ）
A. 90 B. 100 C. 120 D. 160
3. 棱长为 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 若 ，则 （ ）
A. B. 2 C. D.
5. 已知 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，且 ，则
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学科网（北京）股份有限公司C. 若 ， ，则
D. 若 ，则
6. 已知向量 ，且 ，任意点 关于点 的对称点为 ，点 关于点 的
对称点为 ，则 （ ）
A. B. 6 C. D. 3
7. 已知三棱锥 平面 ，则异面直线 与 所成角的余
弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，设
事件 “第一次朝上面的数字是奇数”，则下列事件中与 相互独立的是（ ）
A. 第一次朝上面的数字是偶数 B. 第一次朝上面的数字是1
C. 两次朝上面的数字之和是8 D. 两次朝上面的数字之和是7
二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请把正确选项
在答题卡中的相应位置涂黑.
9. 已知某地一周每天的最高温度（单位： ）分别为： ，则下列关于这组数据的
结论中正确的是（ ）
A. 众数是27 B. 极差是4
C. 中位数是28 D. 平均数是28
第2页/共7页
学科网（北京）股份有限公司10. 已知 的半径为 为其内接三角形，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则 周长的最大值为
C. 若 ，则
D. 若 ，则 面积的最大值为
11. 如图，在棱长为1的正方体 中，点 分别为 的中点，平面 经过点
，且与 交于点 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 平面
B. 平面 平面
C.
D. 二面角 的正切值为
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上.
.
12 假设 ，且 与 相互独立，则 __________.
的
13. 已知圆台 上底半径为2，下底半径为4，则经过母线中点且与底面平行的平面将圆台分成上下两部分
的体积之比为__________.
14. 已知圆 的半径为1，点 是圆 上的动点， 为圆 内接正2024边形，则
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学科网（北京）股份有限公司__________， __________.
四､解答题：本大题共5小题，第15题13分，16､17题15分，18､19题17分，共77分.解答
应写出文字说明､证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，
超出指定区域的答案无效.
的
15. 已知 分别为 三个内角 对边，且 .
（1）求角 ；
的
（2）若 ，求 面积.
16. 某快捷超市计划通过停车收费推动快速购物进而提升顾客流量，在制定停车收费方案时，需要考虑顾
客停车时间的长短.现随机采集了100个停车时间的数据（单位： ），按
分成5组，其频率分布直方图如下.
（1）如果该超市计划奖励 的快速购物顾客不收取其停车费，那么应该允许免费停车多长时间？
（2）记 ，其中 为样本平均数， 为样本标准差.如果该超市计划对停车时长超过 的客户征收
更高的停车费，求 （精确到个位）.（注：假设频率分布直方图中每组数据在组内均匀分布，参考数据：
）
17. 某商场举办购物抽奖活动，规则如下：每次抽奖时，从装有2个白球和3个红球（球除颜色外，完全
相同）的抽奖箱中，不放回地依次随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则不中奖；商
场根据购物金额给予顾客一次或多次抽奖机会，每次抽奖之间相互独立.
（1）若某顾客有一次抽奖机会，求其中奖的概率；
（2）若某顾客有两次抽奖机会，求其至少有一次中奖的概率.
18. 如图1， 是边长为3的等边三角形，点 分别在线段 上，且 ，沿
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学科网（北京）股份有限公司将 翻折到 的位置，使得 ，如图2.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明
理由.
19. 通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对
看作一个向量，记 ，称 为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于
，我们有如下运算法则：① ；②
；③ ；④ .
（1）设 ，求 和 ；
（2）类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论 ，判断其是
否正确并说明理由；
（3）设 ，集合 .求 的最小值；并
证明当 取最小值时，对于任意的 .
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高一数学
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】D
二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请把正确选项
在答题卡中的相应位置涂黑.
【9题答案】
【答案】AD
【10题答案】
【答案】ABC
【11题答案】
【答案】BCD
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上.
【12题答案】
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】 ①. 1 ②. 4048
四､解答题：本大题共5小题，第15题13分，16､17题15分，18､19题17分，共77分.解答
应写出文字说明､证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，
超出指定区域的答案无效.
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
【16题答案】
【答案】（1）40分钟 （2）74
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
【18题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
【19题答案】
【答案】（1） ；
（2）答案见解析 （3）答案见解析
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