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东莞市 2024-2025 学年第二学期七校联考试题高一数学
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．)
1．若复数z满足1+iz=i，则z的虚部为（ ）
A．−1 B．1 C．−i D．i
2．已知向量 ，且 则 （ ）
⃗a=(2,1),⃗b=(λ,λ−1) ⃗a//⃗b， λ=
1 1 2
A．− B． C． D．2
2 3 3
3．如图，△O' A'B'是水平放置的△OAB的直观图，O' A'=2，O'B'=3，∠A'O'B'=45°，则原
△AOB的面积为（ ）
A．3√2 B．4√2 C．6 D．8
4．在三角形ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．a=8，b=16，A=30° B．a=25，b=30，A=150°
C．a=30，b=40，A=30° D．a=72，b=30，A=45°
5．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作
《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到
一座建筑物AB，高约为35m，在地面上点C处（B,C,N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀
楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为
（ ）
A．70m B．64m C．52m D．91m
6．将半径为4的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ）
8√3 16√3
A．8√3π B． π C．16√3π D． π
3 37．如果向量⃗a，⃗b的夹角为θ，我们就称⃗a×⃗b为向量⃗a与⃗b的“向量积”，⃗a×⃗b还是一个向量，
它的长度为 .在棱长为2的正方体 中，则
|⃗a×⃗b|=|⃗a|⋅|⃗b|sinθ ABCD−A B C D
1 1 1 1
（ ）
|⃗AD ×⃗DB|=
1
A．−4√3 B．−4 C．4 D．4√3
8．在直三棱柱ABC−A B C 中，AB=AC=2, AB⊥AC，若该棱柱外接球的表面积为12π，
1 1 1
则侧面BB C C绕直线BB 旋转一周所得到的旋转体的体积为（ ）
1 1 1
A．12π B．16π C．20π D．24π
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，
有多个选项符合题目要求，全部选对得 6 分，选错或不选得 0 分，部分选对的得部分
分．)
9．已知复数z满足： ，则（ ）
z(1+i)=6i5
A．|z|=3√2 B．z的虚部是3
C．z−z=6i D．复数z在复平面内对应的点位于第四象限
10．如图，在边长为6的等边△ABC中，⃗CD=2⃗DB,⃗AE=⃗ED，点P在以AB为直径的半圆上
（不含点A,B)，则下列结论正确的是（ ）
A．⃗AB⋅⃗AC=18 B．⃗PA⋅⃗PB=0
1 1 5
C．⃗BE= ⃗AB+ ⃗AC D．⃗AD在⃗AB上的投影向量为 ⃗AB
3 6 6
11．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A B C D 中，E、F分别为AB,BC的中点，则
1 1 1 1
（ ）A．EF⊥BD
1
B．EF//平面A D B
1 1
π
C．直线BD 与平面ABCD所成的角为
1 4
D．三棱锥B −EBF外接球表面积为6π
1
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，其中第14题第一空3分，第二空
2分.把答案填在答题卡中的横线上．)
12．已知向量⃑a,⃑b满足|⃑a| =1，|⃑b| =2，且⃑a⊥(⃑a+⃑b)，则⃑a与⃑b的夹角为 .
13．《九章算术》中将圆台称为“圆亭”.已知某圆亭的高为3，上底面半径为1，下底面半
径为5，则此圆亭的表面积等于 .
14．我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，
并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一
为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即 √1 c2+a2−b2 2 (其中 为三角形
S= [c2a2−( ) ] S
4 2
面积，a，b，c为三角形的三边)． 在非直角△ABC中，a，b，c为内角A，B，C所对应的
三边，若 且 ，则 面积的最大值是 ，此时 外接圆
a=3 a=c(cosB+√3cosC) △ABC △ABC
的半径为
.
四、解答题(本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
15．(13分)已知复数z=3+mi，其中m∈R．
(1)设z =(1+3i)z，若z 是纯虚数，求实数m的值；
1 1
(2)设m=−1，分别记复数z、z2在复平面上对应的点为A、B，求⃗OA与⃗OB的夹角余弦值以及
⃗OA在⃗OB上的投影向量．16．（15分）已知在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足
ccosB+bcosC=a2．
π √3
(1)求a； (2)若A= ，且S = ，求△ABC的周长．
3 △ABC 4
17.（15分）如图，△ABC中，⃗CA=⃗a,⃗CB=⃗b,D是AC的中点，⃗CB=2⃗BE,AB与DE交于点M.
(1)用⃗a,⃗b表示⃗DE；
(2)设⃗BM=λ⃗BA，求λ的值；
(3)若⃗AB⊥⃗DE，求∠ACB的最大值.
18.（17分）如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD, AB//DC，
AD⊥DC,DA=AB=PD=2,DC=4, E,F分别为棱CD,PD的中点.
(1) 求证：PB//平面AEF；
(2) 求证：AE⊥平面PBD；
(3) 求点D到平面PBC的距离.
19.
20. （17分）在△ABC中，内角A,B,C对应的边分别为a，b，c，
sin2A+cos2B+cos2C+sinBsinC=2．
(1)求A；
(2)若b=1,c=2,D为线段BC内一点，且BD:DC=1:2，求线段AD的长；
(3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字
来命名，如对于任意的 ，都有 被称为柯西不
x ,x ,y ,y ∈R (x x + y y ) 2≤ (x2+ y2 )(x2+ y2 )
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 22 1 1
(a2+b2+c2 )[ + + ]
等式；若a=2，求： 1−cos2A cos2 ( π −B) sin2 (π+C) 的最小值．
2东莞市 2024-2025 学年第二学期七校联考试题（高一数学）参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B D C C A B D B AC ABD AD
12． 13． 14.
15．（13分）
（1） ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 分
2
因为 是纯虚数，所以 且 ，解得 ； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
分
（2）当 时， ，故 ，
5
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 分
，故 ．
7
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 分
设 ，则 ；
9
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 分
11
所以 在 上的数量投影向量为 ．⋯⋯⋯⋯
13
分
16．（15分）
（1）已知 ，
则由正弦定理有 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 分
又∵ ，则
3
，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
分
5
因为 为三角形内角，则 ， .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 分
7
（2）由题可知： ，所以 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
分
10由余弦定理可得 ，即 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
分
1
所
2
以 ，可得 ，则 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
分
所以 的周长为 .
14
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 分
15
17．（15分）
（1） .
分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
（2）
⋯3
分
因为 三点共线，所以 ，解得 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7
分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9
（2） ，由（1）可知 ，所以 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
分
11
得 ，则 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
分
12
所以 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
分
所以 的最大值为 .
14
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 分
18．（17分）
15
（1）
如图，连接BE，设BD∩AE=O，连接OF. 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11
因AB//DC，DE= DC=AB=2，可得 ▱ABED，则OD=OB，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 分
2
2
又DF=PF，则得OF//PB，
因OF⊂平面AEF，PB⊄平面AEF，故PB//平面AEF. 分
（2）由（1）已得▱ABED，因DA=AB=2，故四边形AB
⋯
E
⋯
D为
⋯⋯
菱
⋯
形
⋯
，
⋯
则
⋯
A
⋯
E⊥
⋯⋯
BD
⋯
，
⋯⋯⋯4
因PD⊥平面ABCD, AE⊂平面ABCD,则PD⊥AE，
又BD∩PD=D,BD,PD⊂平面PBD，故AE⊥平面PBD. 分
（3）在
Rt△ABC
中，
BD=√22+22=2√2
，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8
因PD⊥平面ABCD, BD、CD⊂平面ABCD,则PD⊥BD,PD⊥CD
在
Rt△POB
中，
PD=2,BD=2√2,PB=√22+(2√2) 2=2√3
,同理，
BC=2√2
，
PC=2√5
，
分
故满足勾股定理 PB2+BC2=PC2 ,则PB ⋯ ⊥ ⋯⋯ BC ⋯,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分
1 1
故S = PB·BC= ×2√3×2√2=2√6⋯⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 1 ⋯ 1 分
△PBC 2 2
12
1 1 1 8
而V = S ·PD= × ×4×2×2= ,设点D到平面PBC的距离为d，
P−BCD 3 △BCD 3 2 3
1 8 2√6
由等体积法得 V = S ·d=V = , 得 d= 分
D−PBC 3 △PBC P−BCD 3 3
2√6
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16
故点D到平面PBC的距离为 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 分
3
17
19．（17分）
（1）由 ，得 ，
即 ，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 分
在 中，由正弦定理得 ，
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 分
由余弦定理得 ，而 ，
4
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 分
所以 ．
5
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 分
（2）由 ，得 ，
6
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 分
7则 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
分
9
所以 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯
12
分
（3）依题意，
，
分
当且仅当 为正三角形时取等号，所以所求的最小值为48.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16
分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17
