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期末模拟卷
（B 能力卷）
班级______ 姓名_______ 考号______
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个
选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．已知 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【详解】
由题意得 ，
所以 ，则 .
故选：D
2．已知 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由于 ，
所以 ，
所以 .
所以 ，
由于向量的夹角的取值范围是 ，
所以 的夹角为 .
故选：B
3．已知 是直角三角形 内的一点，直角三角形 斜边 长为4，若点 在 上，
满足 ，则 等于（ ）
A．4 B．2 C．1 D．【答案】B
【详解】
由 可得 ，即 ，取 中
点 ，
易得 ，则 ， 和 重合，则 .
故选：B.
4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
C．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n D．若m∥n，n α，则m∥α
【答案】C
⊂
【详解】
对于A，若m∥α，n∥α，则m∥n或m与n相交或m与n异面，故A错误；
对于B，若m∥α，m⊥n，则n∥α或n α或n与α相交，相交也不一定垂直，故B错误；
对于C，若α∥β，m⊥α，则m⊥β，又n∥β，∴m⊥n，故C正确；
⊂
对于D，若m∥n，n α，则m∥α或m α，故D错误．
故选：C．
⊂ ⊂
5．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤
维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图
所示.估计棉花纤维的长度的样本数据的80%分位数是（ ）
A．28 mm B．28.5 mm
C．29 mm D．29.5 mm
【答案】C
【详解】
棉花纤维的长度在25 mm以下的比例为 ，在30 mm以下的比例为 ，因此，80%分位数一定位于 内，
因 ，所以估计棉花纤维的长度的样本数据的80%分位数是29 mm.
故选：C
6．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥
林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.小林观看了本届冬奥会后，打算从
冰壶､短道速滑､花样滑冰､冬季两项这四个项目中任意选两项进行系统的学习，则小林没
有选择冰壶的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
记冰壶､短道速滑､花样滑冰､冬季两项分别为A,B,C,D，则这四个项目中任意选两项的情况
有：AB,AC,AD,BC,BD,CD，6种情况，
其中没有选择冰壶的有：BC,BD,CD，3种情况，
所以所求概率为 .
故选：C
7．已知直三棱柱 的顶点都在一个球的球面上，若
，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
设上下底面三角形外接圆的圆心为 ，则球心 在 的中点处，如图，设球的半径为 ，底面三角形外接圆的半径为 ，
则由正弦定理可知 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
故选：A
8．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积
的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四
约之，为实一为从阳，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是
，其中a，b，c是 的内角A，B，C的对边，若
，且 ，则 面积S的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由 得 ，得 ，
所以，当且仅当 ， 时，等号成立.
故选：B
二、多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个
选项中有多项是符合题目要求的，多选或错选不得分）
9．若复数 （i为虚数单位），其中真命题为（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则z为纯虚数
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】AC
【详解】
A： ，则 ，真命题；
B：若 ，则 ，此时 ，但z不为纯虚数，假命题；
，则 、 ，所以 且 ，C为真命
题，D为假命题；
故选：AC
10．在边长为2的正三角形 中，则（ ）
A． B．
C． 在 上的投影的数量为-1 D．
【答案】AB
【详解】
A：由△ 为正三角形，则 ，正确；
B： ，则 ，正确；
C： 在 上的投影的数量为 ，错误；
D： ，错误.
故选：AB
11．某高中有学生 人，其中男生 人，女生 人，希望获得全体学生的身高信息，
按照分层抽样的原则抽取了容量为 的样本．经计算得到男生身高样本均值为 ，方
差为 ；女生身高样本均值为 ，方差为 ．下列说法中正确的是（ ）
A．男生样本量为 B．每个女生入样的概率均为C．所有样本的均值为 D．所有样本的方差为
【答案】AC
【详解】
对于A：抽样比为 ，所以样本中男生有 人，故选项A正确；
对于B：每个女生入样的概率等于抽样比 ，故选项B不正确；
对于C：由分层抽样知，样本中男生有 人，男生有 人，所有的样本均值为：
，故选项C正确；
对于D：设男生分别为 ， ， ， ，平均数 ， ，女生分别为 ， ，
， ，平均数 ， ，总体的平均数为 ，方差为 ，
因为
，
而 ，
所以 ，
同理可得 ，
所以 ，
故选项D不正确；
故选：AC
12．如图，已知正方体 的棱长为2，则下列四个结论正确的是（ ）A．直线 与 为异面直线 B． 平面
C．三棱锥 的表面积为 D．三棱锥 的体积为
【答案】ABC
【详解】
对选项A，因为 平面 ， 平面 ， 面 ，
，所以直线 与 为异面直线.故选项A正确；
对选项B，因为 ， ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，故选项B
正确；
对选项C，
所以三棱锥 的表面积为 ，故选项C正确；
对选项D， ，故选项D错误.
故选：ABC.
三、填空题（每小题5分，共计20分）
13． ， ， ，则 在 上投影的数量为______．
【答案】 ##
【详解】
，
则 在 上投影的数量为
故答案为：
14．一个数字不重复的三位数的百位、十位、个位上的数字依次记为 ， ， ，当且仅
当 ， ， 中有两个不同数字的和等于剩下的一个数字时，称这个三位数为“有缘数”
（如213，341等）．现从1，2，3，4这四个数字中任取三个数组成一个数字不重复的三
位数，则这个三位数为“有缘数”的概率是______．【答案】 ##
【详解】
解：从1，2，3，4这四个数字中任取三个数组成一个数字不重复的三位数的个数为
，
1，2，3，4这四个数字中两个的和等于第三个的有123，134，因此“有缘数”个数为
，
所以这个三位数为“有缘数”的概率 ．
故答案为： ．
15．如图，要测量底部不能到达的某铁塔 的高度，在塔的同一侧选择C，D两观测点，
且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为 ．在水平面上测得 ，C，D两
地相距 ，则铁塔 的高度是_______m．
【答案】600
【详解】
设 m，则 ，
在 中，由余弦定理可得: ，
∴ ，
解得 （m），( 舍去).
故答案为：600.
16．有一个封闭的正三棱柱容器，高为 ，内装水若干（如图1，底面处于水平状态），
将容器放倒（如图2，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点 、 、 、 分
别为所在棱的中点，则图1中水面的高度为_______．【答案】
【详解】
设正三棱柱 的底面边长为 ，则 ，
在图1中，设水面的高度为 ，则水的体积为 ，
在图2中，易知几何体 为直棱柱，
因为 为等边三角形，且 、 分别为 、 的中点，
则 ，且 ，则 是边长为 的等边三角形，
且 ，
则水的体积为 ，解得 .
故答案为： .
四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，共70分）
17．已知复数 （ 是虚数单位）， .
(1)若 是纯虚数，求 的值；
(2)若复数 在复平面内对应的点位于第一象限，求 的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)
复数
，∵ 是纯虚数，∴ ，
解得 ，
∴ 的值为 .
(2)
∵复数 在复平面内对应的点 位于第一象限，
∴ ,
解得 ，
∴ 的取值范围是 .
18．已知向量 ， ．
(1)求向量 ， 的夹角的余弦值；
(2)若 ，且 与 的夹角为钝角，求 的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)
．
(2)
， ，由 得 ，
由 得 ， ，
因为 与 的夹角为钝角， 的取值范围为 ．
19． 内角A，B，C的对边分别为 ， ， ，且 .
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的值.
【答案】(1)2(2)
【解析】(1)因为
由正弦定理，所以
，
即 ，
故 .
(2)
因为 ，又 ，所以 .
.
20．如图，一个几何体由圆锥和圆柱组合而成，且圆锥与圆柱的底面半径均为2，圆锥的
高为2，圆柱的高为3．
(1)求该几何体的表面积；
(2)求该几何体的体积．
44π
【答案】(1) ；(2) .
3
【解析】(1)
由题意得，
圆柱的底面积为 ，
圆柱的侧面积为 ，
圆锥的侧面积为 ，
所以该几何体的表面积为 ；
(2)
由(1)知，圆柱的底面积为 ，所以圆柱的体积为 ，
圆锥的体积为 ，
故该几何体的体积为 .
21．我国是世界上严重缺水的国家之一，为提倡节约用水，我市为了制定合理的节水方案，
对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了2021年 100个家庭的月均用水量（单位：
t），将数据按照[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分成5组，制成了如图所
示的频率分布直方图.
(1)求全市家庭月均用水量不低于 4t的频率;
(2)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估
计值（精确到0.01）;
(3)求全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值（精确到0.01）.
【答案】(1) (2)4.92 t.(3)
【解析】(1)
由直方图可知全市家庭月均用水量不低于 4t的频率为： .
(2)
因为 .
因此全市家庭月均用水量的平均数估计值为4.92 t.
(3)
频率分布直方图中，用水量低于2 t的频率为 .
用水量低于4 t的频率为 .
用水量低于6 t的频率为 .
用水量低于8 t的频率为 .
故全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值为 ，则
则 ，解得
所以全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值为22．如图，在平行六面体ABCD﹣ABC D 中，底面ABCD为菱形，AC 和BD 相交于点
1 1 1 1 1 1
O，E为CC 的中点
1
(1)求证：OE∥平面ABCD；
(2)若平面BDD B⊥平面ABCD，求证：DE＝BE．
1 1 1
【解析】(1)
证明：如图，连接AC， ，
因为AB∥C D，AB＝C D，
1 1 1 1
所以四边形 为平行四边形，
所以O为BD 和AC 的中点，
1 1
又因为E为CC 的中点，所以OE为△ACC 的中位线，所以OE∥AC，
1 1
又因为 平面ABCD，AC 平面ABCD，
所以OE∥平面ABCD；
⊂
(2)
证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，
因为平面BDD B⊥平面ABCD，平面BDD B∩平面ABCD＝BD，AC 平面ABCD，
1 1 1 1
所以AC⊥平面BDD B，
1 1 ⊂
因为BD 平面BDD B，所以AC⊥BD，
1 1 1 1
又因为OE∥AC，所以OE⊥BD，
⊂ 1
因为OB＝OD ，
1
所以DE＝BE．
1
