文档内容
如皋市 2024 届高三 1 月诊断测试
数 学 试 题
2024.1
注意事项（请考生作答前认真阅读以下内容）：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上，并用 2B 铅笔填涂准考证号.
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
5. 试卷共4页，共19小题；答题卡共2页.满分150分.考试用时120分钟. 命题：马超
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 抛物线 的焦点坐标为（ ▲ ）.
A. B. C. D.
2. 在等比数列 中， ， ，且前x项和 ， （ ▲ ）.
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
3. 已知m，n表示两条不同直线， 表示平面，则（ ▲ ）.
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
4. 有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，
则共有（ ▲ ）种停放方法.
A. 72 B. 144 C. 108 D. 96
5. 已知 的边 BC 的中点为 D，点 E 在 所在平面内，且 ，若
，则 （ ▲ ）.
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
6. 函数 的图象为椭圆 轴上方的部分，若 ， ， 成
等比数列，则点 的轨迹是（ ▲ ）.
A. 线段（不包含端点） B. 椭圆一部分
C. 双曲线一部分 D. 线段 不包含端点 和双曲线一部分7. 已知 ， ，则 （ ▲ ）.
A. 3 B. C. D. 2
8. 双曲线C： 的左、右焦点分别是 ， ，离心率为 ，点 是C的
右支上异于顶点的一点，过 作 的平分线的垂线，垂足是M， ，若C上一点T满
足 ，则T到C的两条渐近线距离之和为（ ▲ ）.
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数 是关于x的方程 的两根，则（ ▲ ）.
A. B.
C. D. 若 ，则
10. 若函数 ，则（ ▲ ）.
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线 对称
C. 的最小值为 D. 的单调递减区间为 ，
11. 设a为常数， ， ，则（ ▲ ）.
A. B. 恒成立
C. D. 满足条件的 不止一个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 集合 ，若A中元素至多有1个，则a的取值范围是 ▲ .
13. 已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成角的余弦值为 ▲ 时，圆锥的体积最大，最
大值为 ▲ .
14. 函数 的最小值 ▲ .四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证
明过程或演算步骤.
15. （本小题满分13分）
设 ，曲线 在点 处取得极值.
（1）求a；
（2）求函数 的单调区间和极值.
16. （本小题满分15分）
袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验．
（1）若直到取到新球为止，求抽取次数X的概率分布及其均值；
（2）若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X的均值．
17. （本小题满分15分）
如图，在三棱柱 中， ， ，且平面 平面
（1）证明：平面 平面 ；
（2）设点P为直线BC的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. （本小题满分17分）
已知抛物线 E： 的焦点为 F，若 的三个顶点都在抛物线 E 上，且满足
，则称该三角形为“核心三角形”．
（1）设“核心三角形ABC”的一边AB所在直线的斜率为2，求直线AB的方程；
（2）已知 是“核心三角形”，证明： 三个顶点的横坐标都小于19. （本小题满分17分）
对于给定的正整数n，记集合 ，其中元素 称为
一个n维向量.特别地， 称为零向量.
设 ， ， ，定义加法和数乘： ，
.
对一组向量 ， ，…， ，若存在一组不全为零的实数 ， ，…， ，使得
，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．
（1）对 ，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
① ， ；
② ， ， ；
③ ， ， ，
（2）已知 ， ， 线性无关，判断 ， ， 是线性相关还是线性无关，并说明理由．
（3）已知 个向量 ， ，…， 线性相关，但其中任意 个都线性无关，证明：
①如果存在等式 ，则这些系数 ， ，…， 或
者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式 ， 同
时成立，其中 ，则
