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1.同一函数的判定方法
(1)定义域相同；
(2)对应关系相同(两点必须同时具备)．
2.函数解析式的求法
(1)定义法；
(2)换元法；
(3)待定系数法；
(4)解方程(组)法；
(5)赋值法．
3.函数的定义域的求法
(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．
(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题
有意义．
(3)复合函数问题
①若函数f(x)的定义域为[a，b]，函数f[g(x)]的定义域应由a≤g(x)≤b解出；
②若函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为函数g(x)在[a，b]上
的值域．注意：①函数f(x)中的x与函数f[g(x)]中的g(x)地位相同．
②定义域所指永远是x的范围．
4.函数值域的求法
(1)配方法(二次或四次)；
(2)判别式法；
(3)换元法；
(4)函数的单调性法．
5.判断函数单调性的步骤
(1)设x ，x 是所研究区间内任意两个自变量的值，且x 0时，此时a＋1>1，
由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－(舍去)；
②当1－a>1，即a<0时，此时a＋1<1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得－(1－a)－2a
＝2(1＋a)＋a，解得a＝－，符合题意．综上所述，a＝－.
答案 －
三、函数的单调性与奇偶性
单调性是函数的一个重要性质，某些数学问题，通过函数的单调性可将函数
值间的关系转化为自变量之间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的，特别
是在比较大小、证明不等式、求值或求最值、解方程(组)等方面应用十分广泛．
奇偶性是函数的又一重要性质，利用奇偶函数图象的对称性可以缩小问题研
究的范围，常能使求解的问题避免复杂的讨论．
[典例3] 定义在(－1,1)上的函数f(x)满足：
①对任意的x，y∈(－1,1)，均有f(x)＋f(y)＝f；②当x∈(－1,0)时，f(x)>0.
(1)判定函数f(x)的奇偶性；
(2)判定函数f(x)在(－1,0)上的单调性．
解 (1)令x＝y＝0，得2f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0.
再令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)在(－1,1)上是奇函数．
(2)设－10.
1 2 2 1
f(x )－f(x )＝f(x )＋f(－x )＝f.
2 1 2 1
∵－10,1＋x >0，且00.
1 2
∵x －x －1＋x x ＝(x －1)＋x (x －1)
2 1 1 2 2 1 2
＝(1＋x )(x －1)<0，
1 2
∴00，且f(x)为奇函数，
∴x∈(0,1)时，f(x)<0，
∴f(x )－f(x )<0，即f(x )
