文档内容
2024-2025 学年高一上学期第一次月考数学试卷（基础篇）
参考答案与试题解析
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5分）（24-25高一上·河北廊坊·开学考试）下列各组对象能构成集合的是（ ）
A．2023年参加“两会”的代表
B．北京冬奥会上受欢迎的运动项目
C． 的近似值
D．π我校跑步速度快的学生
【解题思路】根据集合的定义依次判断各个选项即可.
【解答过程】对于A：2023年参加“两会”的代表具有确定性，能构成集合，故A正确；
对于B：北京冬奥会上受欢迎的运动项目，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故B
错误；
对于C： 的近似值，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故C错误；
对于D：π我校跑步速度快的学生，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故D错误；
故选：A.
2．（5分）（23-24高一上·北京·期中）命题 ， ，则 是（ ）
2
A． ， 𝑝𝑝B:．∀𝑥𝑥 >2 ，𝑥𝑥 −1>0 ¬𝑝𝑝
2 2
C．∀𝑥𝑥 >2，𝑥𝑥 −1≤0 D．∀𝑥𝑥 ≤2，𝑥𝑥 −1>0
2 2
【解题思∃𝑥𝑥路>】2全称𝑥𝑥 量−词1命≤题0的否定为存在量词命题∃，𝑥𝑥 ≤求2解即𝑥𝑥可−. 1≤0
【解答过程】因为命题 ， ，所以 ： ， .
2 2
故选：C. 𝑝𝑝:∀𝑥𝑥 >2 𝑥𝑥 −1>0 ¬𝑝𝑝 ∃𝑥𝑥 >2 𝑥𝑥 −1≤0
3．（5分）（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）下列不等式中，可以作为 的一个必要不充分条件的是
（ ） 𝑥𝑥 <2
A． B． C． D．
【解题思1<路𝑥𝑥】<利3用必要不充𝑥𝑥分<条3件的意义，逐项判𝑥𝑥断<即1得. 0<𝑥𝑥 <1
【解答过程】对于A， 是 的不充分不必要条件，A不是；
1<𝑥𝑥 <3 𝑥𝑥 <2对于B， 是 的一个必要不充分条件，B是；
对于C，𝑥𝑥 <3是𝑥𝑥 <2的一个充分不必要条件，C不是；
对于D，𝑥𝑥 <1 𝑥𝑥 <是2 的一个充分不必要条件，D不是.
故选：B. 0<𝑥𝑥 <1 𝑥𝑥 <2
4．（5分）（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）下列关系中：① ，② ，③ ，④
正确的个数为（ ） 0∈{0} ∅ {0} {0,1}⊆{(0,1)} {(𝑎𝑎,𝑏𝑏)}=
{(𝑏𝑏,A𝑎𝑎．)}1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据元素与集合、集合与集合之间的关系分析判断.
【解答过程】对于①：因为0是 的元素，所以 ，故①正确；
对于②：因为空集是任何非空集{合0}的真子集，所以0∈{0} ，故②正确；
对于③：因为集合 的元素为0，1，集合 ∅的元{0素} 为 ，
两个集合的元素全{不0,相1}同，所以 {之(0间,1不)}存在包含(关0,系1)，故③错误；
对于④：因为集合 的元素{为0,1},{(0，,1集)}合 的元素为 ，
两个集合的元素不{一(𝑎𝑎定,𝑏𝑏相)}同，所以(𝑎𝑎,𝑏𝑏) {(𝑏𝑏不,𝑎𝑎一)}定相等，(故𝑏𝑏,④𝑎𝑎)错误；
综上所述：正确的个数为2. {(𝑎𝑎,𝑏𝑏)},{(𝑏𝑏,𝑎𝑎)}
故选：B.
5．（5分）（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若变量x，y满足约束条件 ， ，则
的最小值为（ ） 3≤2𝑥𝑥+𝑦𝑦 ≤9 6≤𝑥𝑥−𝑦𝑦 ≤9
𝑧𝑧 =A𝑥𝑥．+-72 𝑦𝑦 B．-6 C．-5 D．-4
【解题思路】利用整体法，结合不等式的性质即可求解.
【解答过程】设 ，故 且 ，
所以 𝑧𝑧 =，𝑥𝑥故+2𝑦𝑦=𝑚𝑚(2𝑥𝑥+𝑦𝑦)+𝑛𝑛(𝑥𝑥−𝑦𝑦) ，2𝑚𝑚 +𝑛𝑛 =1 𝑚𝑚−𝑛𝑛 =2
由于𝑚𝑚 =1,𝑛𝑛 =−1 ， 𝑧𝑧 =𝑥𝑥+2𝑦𝑦=，(所2𝑥𝑥以+𝑦𝑦)−(𝑥𝑥−𝑦𝑦) ， ，
故最3小≤值2为𝑥𝑥+𝑦𝑦，≤此9时 6≤𝑥𝑥−𝑦𝑦 ≤9， 3+(−9)≤2𝑥𝑥+𝑦𝑦−(𝑥𝑥−𝑦𝑦)≤9+(−6) −6≤𝑥𝑥+2𝑦𝑦 ≤3
故选：B. −6 𝑥𝑥 =4,𝑦𝑦 =−5
6．（5分）（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知全集 ， 且 ，
则 （ ） 𝑈𝑈={1,3,5,7,9} 𝑀𝑀 =�𝑥𝑥|𝑥𝑥 >4 𝑥𝑥 ∈𝑈𝑈},𝑁𝑁 ={3,7,9}
𝑀𝑀A∩．(∁𝑈𝑈𝑁𝑁 )= B． C． D．
【解题思{1路,5}】先求出 ， {5}，再求 ， {1,3,5} {3,5}
𝑀𝑀 ∁𝑈𝑈𝑁𝑁 𝑀𝑀∩(∁𝑈𝑈𝑁𝑁)【解答过程】因为 ， 且 ，
所以 ，𝑈𝑈 ={1,3,5,7,9} 𝑀𝑀 =�𝑥𝑥|𝑥𝑥 >4 𝑥𝑥 ∈𝑈𝑈}
因为𝑀𝑀 ={5,7,9} ， ，所以 ，
所以𝑈𝑈 ={1,3,5,7,9} ．𝑁𝑁 ={3,7,9} ∁𝑈𝑈𝑁𝑁 ={1,5}
故选𝑀𝑀：B∩．(∁ 𝑈𝑈𝑁𝑁)={5}
7．（5分）（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知不等式 的解集为 或 ，
2
则不等式 的解集为（ ） 𝑎𝑎𝑥𝑥 +𝑏𝑏𝑥𝑥+2>0 {𝑥𝑥∣𝑥𝑥 <−2 𝑥𝑥 >−1}
2
A． 2𝑥𝑥 +𝑏𝑏𝑥𝑥+𝑎𝑎 < 0 B． 或
1 1
�𝑥𝑥�−1<𝑥𝑥 <2 � {𝑥𝑥 ∣𝑥𝑥 <−1 𝑥𝑥 >2}
C． D． 或
1
【解题思
�𝑥𝑥
路
�−
】
1 <𝑥𝑥 <−2 � {𝑥𝑥∣𝑥𝑥 <−2 𝑥𝑥 >1}
根据给定的解集求出 ，再解一元二次不等式即得.
【解答过程】由不等𝑎𝑎式,𝑏𝑏 的解集为 或 ，
2
得 是方程 𝑎𝑎𝑥𝑥 +𝑏𝑏𝑥𝑥+的2两>个0根，且 {𝑥𝑥∣𝑥𝑥，< −2 𝑥𝑥 >−1}
2
−2,−1 𝑎𝑎𝑥𝑥 +𝑏𝑏𝑥𝑥+2=0 𝑎𝑎 >0
因此 ，且 ，解得 ，
𝑏𝑏 2
−2+(−1)=−𝑎𝑎 −2×(−1)=𝑎𝑎 𝑎𝑎 =1,𝑏𝑏 =3
不等式 化为： ，解得 ，
2 2 1
2𝑥𝑥 +𝑏𝑏𝑥𝑥+𝑎𝑎 <0 2𝑥𝑥 +3𝑥𝑥+1<0 −1<𝑥𝑥 <−2
所以不等式 为 .
2 1
故选：C.
2𝑥𝑥 +𝑏𝑏𝑥𝑥+𝑎𝑎 <0 {𝑥𝑥|−1<𝑥𝑥 <−2}
8．（5分）（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知 且 ，则 的最小值为（ ）
6 2
𝑎𝑎>𝑏𝑏 ≥0 𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑎𝑎−𝑏𝑏 =1 2𝑎𝑎+𝑏𝑏
A．12 B． C．16 D．
【解题思路】根据题意可知8√3 ，根据乘1法结8合√6基本不等式运算求解.
3 1
2𝑎𝑎+𝑏𝑏 =2(𝑎𝑎+𝑏𝑏)+2(𝑎𝑎−𝑏𝑏)
【解答过程】因为 ，则 ，且 ，
3 1
𝑎𝑎>𝑏𝑏 ≥0 𝑎𝑎+𝑏𝑏 >0,𝑎𝑎−𝑏𝑏 >0 2𝑎𝑎+𝑏𝑏 =2(𝑎𝑎+𝑏𝑏)+2(𝑎𝑎−𝑏𝑏)
则
3 1 6 2 3(𝑎𝑎−𝑏𝑏) 3(𝑎𝑎+𝑏𝑏)
2𝑎𝑎+𝑏𝑏 =�2(𝑎𝑎+𝑏𝑏)+2(𝑎𝑎−𝑏𝑏)��𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑎𝑎−𝑏𝑏�=10+ 𝑎𝑎+𝑏𝑏 + 𝑎𝑎−𝑏𝑏
，
3(𝑎𝑎−𝑏𝑏) 3(𝑎𝑎+𝑏𝑏)
≥10+2� 𝑎𝑎+𝑏𝑏 ⋅ 𝑎𝑎−𝑏𝑏 =16
当且仅当 ，即 时，等号成立，
3(𝑎𝑎−𝑏𝑏) 3(𝑎𝑎+𝑏𝑏)
所以 𝑎𝑎的+𝑏𝑏最 = 小值𝑎𝑎−为𝑏𝑏 . 𝑎𝑎 =8,𝑏𝑏 =0
2𝑎𝑎+𝑏𝑏 16故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（23-24高二下·江西宜春·阶段练习）设 ， ，若 ，
2
则实数 的值可以是（ ） 𝐴𝐴={𝑥𝑥|𝑥𝑥 −5𝑥𝑥+4=0 } 𝐵𝐵 ={𝑥𝑥|𝑎𝑎𝑥𝑥−1=0 } 𝐴𝐴∪𝐵𝐵 =𝐴𝐴
A．𝑎𝑎 0 B． C．4 D．1
1
【解题思路】解方程，写出4集合A的所有元素，根据集合A和集合B的关系，分析集合B中的元素的可能
情况，解出相应的a.
【解答过程】 ，因为 ，所以 ，所以 或 或 或 ，
若 ，则 𝐴𝐴 ={；1, 4} 𝐴𝐴∪𝐵𝐵 =𝐴𝐴 𝐵𝐵 ⊆𝐴𝐴 𝐵𝐵 =∅ {1} {4} {1,4}
若𝐵𝐵 =∅ ，则𝑎𝑎 =0 ；
𝐵𝐵 ={1} 𝑎𝑎 =1
若 ，则 ；
1
若 𝐵𝐵 ={4} ，无 𝑎𝑎 解 = ．4
故选𝐵𝐵 =：{A1B,4D}.
10．（6分）（23-24高二下·山东泰安·期末）下列叙述中不正确的是（ ）
A．若 ，则“不等式 恒成立”的充要条件是“ ”；
2 2
B．若𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐 ∈R，则“ 𝑎𝑎𝑥𝑥”的+充𝑏𝑏𝑥𝑥要+条𝑐𝑐件≥是0 “ ”； 𝑏𝑏 −4𝑎𝑎𝑐𝑐 ≤0
2 2
C．“ 𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐”是∈“R方程 𝑎𝑎𝑏𝑏 >𝑐𝑐𝑏𝑏 有一个正根和𝑎𝑎一>个𝑐𝑐负根”的必要不充分条件；
2
D．“ 𝑎𝑎 <1 ”是“ 𝑥𝑥 ”的+充𝑥𝑥分+不𝑎𝑎必=要0 条件.
1
【解题思 𝑎𝑎 路 > 】 1 对于A 𝑎𝑎 B < ， 1 举例判断即可，对于C，当方程有一正根和一负根时，求出 的范围，然后根据充
𝑎𝑎
分条件和必要条件的定义分析判断，对于D，由 求出 的范围，然后根据充分条件和必要条件的定义分
1
析判断. 𝑎𝑎 <1 𝑎𝑎
【解答过程】对于A，当 时，若 ，则 恒成立，所以A错误，
2 2
对于B，当 时，由 𝑎𝑎<推0 不出 𝑏𝑏 −4𝑎𝑎𝑐𝑐，≤所0以B𝑎𝑎错𝑥𝑥误+，𝑏𝑏 𝑥𝑥+𝑐𝑐 ≤0
2 2
𝑏𝑏 =0 𝑎𝑎 >𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑏𝑏 >𝑐𝑐𝑏𝑏
对于C，当方程 有一个正根和一个负根时，有 ，解得 ，
𝑥𝑥
2
+𝑥𝑥+𝑎𝑎 =0 �
𝑥𝑥1𝑥𝑥2 =𝑎𝑎 <0
𝑎𝑎 <0
因为 能推出 ，而 不一定有 ，
Δ=1−4𝑎𝑎>0
所以𝑎𝑎“ <0 ”是“方𝑎𝑎程<1 𝑎𝑎 <1 有一个正𝑎𝑎 <根和0 一个负根”的必要不充分条件，所以C正确，
2
𝑎𝑎 <1 𝑥𝑥 +𝑥𝑥+𝑎𝑎 =0对于D，由 ，得 ，得 或 ，
1 1−𝑎𝑎
𝑎𝑎 <1 𝑎𝑎 <0 𝑎𝑎 <0 𝑎𝑎 >1
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，所以D正确，
1
故选： 𝑎𝑎 A > B 1 . 𝑎𝑎 <1
11．（6分）（23-24高一下·云南·阶段练习）若关于 的不等式 的解集为 ，则下列
2 1 1
说法正确的是（ ）
𝑥𝑥 𝑎𝑎𝑥𝑥 +𝑏𝑏𝑥𝑥+2>0 �−1,2�
A．
B．𝑎𝑎 >0
𝑎𝑎 =2𝑏𝑏
C． 的解集为
2 1 1
−𝑎𝑎𝑥𝑥 +2𝑥𝑥+𝑏𝑏 ≥0 (−∞,−1]∪�2,+∞�
D． 的最小值为
2 1 7
𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑎𝑎𝑥𝑥 +𝑏𝑏𝑥𝑥+2 16
【解题思路】题意说明 的两根为 ,代入法1得 的值，从而可逐项判断.
2 1 1
𝑎𝑎𝑥𝑥 +𝑏𝑏𝑥𝑥+2=0 𝑥𝑥1 =−1,𝑥𝑥2 =2 𝑎𝑎,𝑏𝑏
【解答过程】根据题意，关于 的不等式 的解集为 ，
2 1 1
𝑥𝑥 𝑎𝑎𝑥𝑥 +𝑏𝑏𝑥𝑥+2>0 �−1,2�
所以 的两根为 ，
2 1 1
𝑎𝑎𝑥𝑥 +𝑏𝑏𝑥𝑥+2=0 𝑥𝑥1 =−1,𝑥𝑥2 =2
则
1
，解得 ，
𝑎𝑎−𝑏𝑏+2=0 𝑎𝑎 =−1
�𝑎𝑎 𝑏𝑏 1 �
1
𝑏𝑏 =−2
所以4+2+2=0 ，即A错误，B正确；
𝑎𝑎 <0,𝑎𝑎 =2𝑏𝑏
且 为 ，解得 或 ，
2 1 2 1 1 1
−𝑎𝑎𝑥𝑥 +2𝑥𝑥+𝑏𝑏 ≥0 𝑥𝑥 +2𝑥𝑥−2≥0 𝑥𝑥 ≤−1 𝑥𝑥 ≥2
所以 的解集为 ，C正确；
2 1 1
−𝑎𝑎𝑥𝑥 +2𝑥𝑥+𝑏𝑏 ≥0 (−∞,−1]∪�2,+∞�
，
2 1 2 1 1 1 2 9
𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑎𝑎𝑥𝑥 +𝑏𝑏𝑥𝑥+2=−𝑥𝑥 −2𝑥𝑥+2=−�𝑥𝑥+4� +16
所以 的最大值为 ，D错误.
2 1 9
故选 𝑓𝑓 ： (𝑥𝑥 B ) C = . 𝑎𝑎𝑥𝑥 +𝑏𝑏𝑥𝑥+2 16
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（23-24高二下·安徽·阶段练习）设集合 ，则集合 的真子集个数为 63 ．
12
【解题思路】依题意求出集合 ，即可求得其真子集个
𝐴𝐴
数
=
．
�𝑥𝑥 +3∈N|𝑥𝑥 ∈Z� 𝐴𝐴
𝐴𝐴【解答过程】由 可知 是 的正因数，
12
𝐴𝐴=�𝑥𝑥+3∈N|𝑥𝑥 ∈Z� 𝑥𝑥+3 12
即 可取 ，故可得 的值依次取 ，
12
即 𝑥𝑥+3 1,2,3,4,6 ， ,1 2 𝑥𝑥+3 12,6,4,3,2,1
故𝐴𝐴集=合{1的,2,真3,4子,6集,1有2} 个．
6
故答案为𝐴𝐴 ：63. 2 −1=63
13．（5分）（23-24高二下·天津北辰·阶段练习）命题“ ， ”为假命题，
2
则实数 的取值范围是 ． ∃𝑥𝑥 ∈R (𝑎𝑎−2)𝑥𝑥 +2(𝑎𝑎−2)𝑥𝑥−4≥0
【解题𝑎𝑎思路】求出原命题(−的2否,2]定，转化为恒成立问题，再利用一元二次不等式恒成立问题即可求解.
【解答过程】依题意，“ ， ”为真命题，
2
即不等式 ∀𝑥𝑥 ∈R (𝑎𝑎−2)在𝑥𝑥 +上2恒(𝑎𝑎成−立2，)𝑥𝑥 −4<0
2
当 时(𝑎𝑎，−2)𝑥𝑥 +，2显(𝑎𝑎然−成2立)𝑥𝑥，− 4<0 R
𝑎𝑎 =2 −4<0
当 时， ，解得 ，
𝑎𝑎−2<0
𝑎𝑎 ≠2 � 2 −2<𝑎𝑎 <2
所以实数 的取Δ值=范4(围𝑎𝑎−是2) +1.6 (𝑎𝑎−2)<0
故答案为𝑎𝑎： . (−2,2]
(−2,2]
14．（5分）（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）若对于任意 ，关于 的不等式
4
恒成立，则实数 的取值范围是 .
𝑥𝑥 ∈(1,+∞) 𝑥𝑥 𝑥𝑥+𝑥𝑥−1−𝑎𝑎 >0
【解题思路】由题𝑎𝑎 意结合基本不等(−式∞求,5出)即可.
【解答过程】由题意可得当 时， 恒成立，
4
𝑥𝑥 ∈(1,+∞) (𝑥𝑥−1)+𝑥𝑥−1>𝑎𝑎−1
因为 ，当且仅当 即 时取等号，
4 4 4
所以(𝑥𝑥−1)+𝑥𝑥−1≥2�，(𝑥𝑥即−实1)数𝑥𝑥−1的=取4值范围是 (𝑥𝑥−，1) =𝑥𝑥−1,𝑥𝑥 >1 𝑥𝑥 =3
故答4案>为𝑎𝑎：−1⇒𝑎𝑎.< 5 𝑎𝑎 (−∞,5)
四、解答题(：−本∞,题5)共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（24-25高三上·广东·阶段练习）设集合 ， .
(1)若 且 ，求 的取值范围； 𝑃𝑃 ={𝑥𝑥|−2<𝑥𝑥 <3 } 𝑄𝑄 ={𝑥𝑥|3𝑎𝑎<𝑥𝑥 ≤𝑎𝑎+1 }
(2)若𝑄𝑄 ≠∅ 𝑄𝑄，⊆求𝑃𝑃 的取𝑎𝑎值范围.
【解题𝑃𝑃思∩𝑄𝑄路=】∅（1）根𝑎𝑎 据 且 ，列不等式组求 的取值范围；
（2）分 和 两𝑄𝑄种≠情∅形进𝑄𝑄行⊆讨𝑃𝑃论，根据 𝑎𝑎 ，列不等式组求 的取值范围.
𝑄𝑄 =∅ 𝑄𝑄 ≠∅ 𝑃𝑃∩𝑄𝑄 =∅ 𝑎𝑎【解答过程】（1）因为 ，且 ，所以 ，解得， ，
3𝑎𝑎≥−2 2 1
𝑄𝑄 ⊆𝑃𝑃 𝑄𝑄 ≠∅ � 𝑎𝑎+1<3 −3≤𝑎𝑎 <2
综上所述， 的取值范围为 . 3𝑎𝑎<𝑎𝑎+1
2 1
（2）由题意
𝑎𝑎
，需分为
�− 和3,2�
两种情形进行讨论：
𝑄𝑄 =∅ 𝑄𝑄 ≠∅
当 时， ，解得， ，满足题意；
1
𝑄𝑄 =∅ 3𝑎𝑎 ≥𝑎𝑎+1 𝑎𝑎 ≥2
当 时，因为 ，所以 ，解得 ，或 无解；
𝑄𝑄 ≠∅ 𝑃𝑃∩𝑄𝑄 =∅ �
𝑎𝑎+1≤−2
𝑎𝑎 ≤−3 �
3𝑎𝑎 ≥3
综上所述， 的取值范围为 3𝑎𝑎<𝑎𝑎+1. 3𝑎𝑎<𝑎𝑎+1
1
16．（15分
𝑎𝑎
）（23-24高一
(
下
−∞
·全
,−
国
3
·
]
课
∪
后
�2作 ,+
业
∞
）
�
已知命题 ， ．
2
(1)写出命题p的否定； 𝑝𝑝:∀𝑥𝑥 ∈R 𝑥𝑥 −𝑘𝑘 ≥1
(2)若命题p是假命题，求实数k的取值范围．
【解题思路】（1）利用全称量词命题的否定即可得解；
（2）由题意得 为真命题，结合能成立问题的解法即可得解.
【解答过程】（¬1𝑝𝑝）因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
而 ， ，
2
所以𝑝𝑝:∀𝑥𝑥 ∈ R 𝑥𝑥 −𝑘𝑘 ≥1 .
2
（2）¬因𝑝𝑝:为∃𝑥𝑥为∈假R,命𝑥𝑥题−，𝑘𝑘所<以1 是真命题，
所以 𝑝𝑝 ，即¬𝑝𝑝 ，故 ，
2 2 2
因为∃𝑥𝑥 ∈R,𝑥𝑥 −𝑘𝑘 <1 ，𝑘𝑘 >𝑥𝑥 −1 𝑘𝑘 >(𝑥𝑥 −1)min
2
所以𝑥𝑥 −1≥. 0−1=−1
17．（𝑘𝑘15>分−）（1 23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）设集合 ．
(1) ，求 ； 𝑈𝑈 =R,𝐴𝐴 ={𝑥𝑥|0≤𝑥𝑥 ≤3},𝐵𝐵 ={𝑥𝑥|𝑚𝑚−1≤𝑥𝑥 ≤2𝑚𝑚}
(2)若𝑚𝑚“=3 ”是𝐴𝐴“∪(∁𝑈𝑈𝐵𝐵”的) 充分不必要条件，求m的取值范围．
【解题𝑥𝑥思∈路𝐵𝐵】（𝑥𝑥1）∈根𝐴𝐴据 集合的补集定义以及集合的交集运算，即可求得答案；
（2）依题意可得 ，讨论集合 是否为空集，列出相应的不等式，即可求得结果.
【解答过程】（1）𝐵𝐵 当𝐴𝐴 时，可𝐵𝐵得 ，
故可得 𝑚𝑚或=3 ，而 𝐵𝐵 ={𝑥𝑥|2≤𝑥𝑥 ≤6，}
所以 ∁𝑈𝑈𝐵𝐵 ={𝑥𝑥|𝑥𝑥 <2 𝑥𝑥或>6} 𝐴𝐴 ={𝑥𝑥|0≤𝑥𝑥 ≤3}
（2）𝐴𝐴由∪“(∁𝑈𝑈𝐵𝐵)”=是{“𝑥𝑥|𝑥𝑥 ≤”3的 充𝑥𝑥分>不6}必要条件可得 ；
𝑥𝑥 ∈𝐵𝐵 𝑥𝑥 ∈𝐴𝐴 𝐵𝐵 𝐴𝐴当 时， ，解得 ，符合题意；
𝐵𝐵 =∅ 𝑚𝑚−1>2𝑚𝑚 𝑚𝑚<−1
当 时，需满足 ，且 和 中的等号不能同时取得，
𝑚𝑚−1≤2𝑚𝑚
𝐵𝐵 ≠∅ � 𝑚𝑚−1≥0 𝑚𝑚−1≥0 2𝑚𝑚 ≤3
解得 ； 2𝑚𝑚 ≤3
3
1≤𝑚𝑚 ≤2
综上可得，m的取值范围为 或 .
3
𝑚𝑚 <−1 1≤𝑚𝑚 ≤2
18．（17分）（2024·全国·二模）已知实数 ，满足 .
(1)求证： ； 𝑎𝑎 >0,𝑏𝑏 >0 𝑎𝑎+𝑏𝑏 =4√3
2 2
𝑎𝑎 +𝑏𝑏 ≥24
(2)求 的最小值.
2 2
(𝑎𝑎 +1)(𝑏𝑏 +1)
【解题思路𝑎𝑎𝑏𝑏】（1）将 两边平方后利用基本不等式证明；
（2）将 变形 𝑎𝑎 后 + 将 𝑏𝑏 = 条 4 件√代 3 入，然后利用基本不等式求最值.
2 2
(𝑎𝑎 +1)(𝑏𝑏 +1)
【解答过程】𝑎𝑎𝑏𝑏（1）由 得 ，
2 2 2 2 2 2 2 2 2
当且仅当 𝑎𝑎时+等𝑏𝑏号=成4立√3， 48=(𝑎𝑎+𝑏𝑏) =𝑎𝑎 +𝑏𝑏 +2𝑎𝑎𝑏𝑏≤𝑎𝑎 +𝑏𝑏 +𝑎𝑎 +𝑏𝑏 =2(𝑎𝑎 +𝑏𝑏 )
所以 𝑎𝑎 =𝑏𝑏 =；2√ 3
2 2
（2）𝑎𝑎由+已𝑏𝑏知≥24 ，则 ，
𝑎𝑎>0,𝑏𝑏 >0 𝑎𝑎𝑏𝑏 >0
则
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(𝑎𝑎 +1)(𝑏𝑏 +1) 𝑎𝑎 𝑏𝑏 +𝑎𝑎 +𝑏𝑏 +1 𝑎𝑎 𝑏𝑏 +(𝑎𝑎+𝑏𝑏) −2𝑎𝑎𝑏𝑏+1 𝑎𝑎 𝑏𝑏 +48−2𝑎𝑎𝑏𝑏+1
𝑎𝑎𝑏𝑏 = 𝑎𝑎𝑏𝑏 = 𝑎𝑎𝑏𝑏 = 𝑎𝑎𝑏𝑏
，
49
=𝑎𝑎𝑏𝑏+𝑎𝑎𝑏𝑏−2≥2√49−2=12
当且仅当 ，即 一个为 ，一个为 时等号成立.
49
𝑎𝑎𝑏𝑏 =𝑎𝑎𝑏𝑏
� 𝑎𝑎,𝑏𝑏 2√3+√5 2√3−√5
𝑎𝑎+𝑏𝑏 =4√3
所以 的最小值 .
2 2
(𝑎𝑎 +1)(𝑏𝑏 +1)
19．（17 𝑎𝑎分𝑏𝑏 ）（23-24高1二2下·江苏常州·阶段练习）已知函数 ．
2
(1)若 ，解关于 的不等式 ； 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑚𝑚𝑥𝑥 −(2𝑚𝑚+1)𝑥𝑥+2(𝑚𝑚∈R)
(2)若𝑚𝑚不等>式0 𝑥𝑥 在 𝑓𝑓(𝑥𝑥)<0上有解，求实数 的取值范围．
【解题思路】𝑓𝑓(（𝑥𝑥)1≤）𝑥𝑥利−用4因式𝑥𝑥分∈(解3,法+求∞)解含参一元二次不𝑚𝑚等式即可.
（2）利用分离参数法结合基本不等式求解参数范围即可.
【解答过程】（1）易得
𝑓𝑓(𝑥𝑥)<0⇔(𝑥𝑥−2)(𝑚𝑚𝑥𝑥−1)<0(𝑚𝑚 >0)
当 时， ，所以解集为 ；
1 1 1
0<𝑚𝑚 <2 2<𝑥𝑥 <𝑚𝑚 �2,𝑚𝑚�当 时， ，所以解集为 ；
1
𝑚𝑚 =2 𝑥𝑥 ∈∅ ∅
当 时， ，所以解集为 ．
1 1 1
（ 𝑚𝑚 2） > 若2 𝑚𝑚<𝑥𝑥 < 在 2 上 � 有𝑚𝑚解 ,2 ， �
则 𝑓𝑓(𝑥𝑥)≤𝑥𝑥−4 𝑥𝑥 ∈(3,+∞) 在 上有解，
2
𝑚𝑚𝑥𝑥 −(2𝑚𝑚+1)𝑥𝑥+2−𝑥𝑥+4≤0 𝑥𝑥 ∈(3,+∞)
故 ，即 在 上有解，
2 6
𝑚𝑚𝑥𝑥 −(2𝑚𝑚+2)𝑥𝑥+6≤0 𝑚𝑚𝑥𝑥−(2𝑚𝑚+2)+𝑥𝑥 ≤0 𝑥𝑥 ∈(3,+∞)
由 ，得 ，
6 6
𝑚𝑚𝑥𝑥−2𝑚𝑚−2+𝑥𝑥 ≤0 𝑚𝑚(𝑥𝑥−2)≤2−𝑥𝑥
进而知 ，令 ，则 ，
6
2−𝑥𝑥 2(𝑥𝑥−3)
设
𝑚𝑚 ≤𝑥𝑥−2=𝑥𝑥(𝑥𝑥−2) 𝑡𝑡 =𝑥𝑥−3>0 𝑥𝑥 =𝑡𝑡+
，
3
2(𝑥𝑥−3) 2𝑡𝑡 2 2
3
当
𝑔𝑔
且
(
仅
𝑥𝑥)
当
=𝑥𝑥(𝑥𝑥−2)
时
=
取
(𝑡𝑡+
等
3)(
号
𝑡𝑡+
，
1)
所
=
以
𝑡𝑡+𝑡𝑡+4≤2√3+4=2−
．
√3
𝑡𝑡 =√3 𝑚𝑚 ∈�−∞,2−√3�
