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成都市石室中学 2023-2024 年度下期高 2024 届入学考试
数学试题（理）
（总分：150分，时间：120分钟 ）
第Ⅰ卷（共60分）
一、 选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1．已知全集 ，能表示集合 与 ， 关系的 图是
A． B． C． D．
2.已知向量 ， ，则 在 方向上投影为
A． B． C． D．
3． 技术在我国已经进入高速发展的阶段， 手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近 5个月手机的实
际销量，如表所示：
月份 1 2 3 4 5
销售量 （千只） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5
若 与 线性相关，且线性回归方程为 ，则下列说法不正确的是
A．由题中数据可知，变量 与 正相关，且相关系数
B．线性回归方程 中
C．残差 的最大值与最小值之和为0
D．可以预测 时该商场 手机销量约为1.72（千只）
4．方程 表示双曲线的必要不充分条件可以是
A． B． ， ， C． D．
5．执行如图所示的程序框图，若依次输入 ， ， ，则输出的结
果为
A． B． C． D．以上都不对
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学科网（北京）股份有限公司6．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 的面积 ， ，
则
A． B． C． D．
7. 设等差数列的前 项和为 ，已知 ， ， ，则 的值为
A．15 B．16 C．17 D．18
8．如图是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的高为
A．1 B．2 C． D．
9．抛物线 的焦点为 ，准线为 ， ， 是抛物线上的两个动点，且满足
， 为线段 的中点，设 在 上的射影为 ，则 的最大值是
． B． C． D．
A
． 如图，正方体 的棱长为1，线段 上有两个动点 ， ，且 ，点 ， 分别为
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， 的中点， 在侧面 上运动，且满足 平面 ，以下命题错误的是
A．
B．多面体 的体积为定值
C．侧面 上存在点 ，使得
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学科网（北京）股份有限公司D．直线 与直线 所成的角可能为
11．已知直线 与圆心为 且半径为3的圆相交于 ， 两点，直线 与
圆 交于 ， 两点，则四边形 的面积的值最大是
A． B． C． D．
12．已知函数 在区间 上有且仅有4个极值点，给出下列四个结论：
① 在区间 上有且仅有3个不同的零点；② 的最小正周期可能是 ；
③ 的取值范围是 ；④ 在区间 上单调递增.
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13．若 ，则 的共轭复数为_________
14．在 的展开式中，含 的项的系数是__________ .（用数字作答）
15.已知 为等腰三角形，其中 ，点D为边AC上一点， .以点B、D为焦点的椭圆E经过点
A与C，则椭圆E的离心率的值为 .
16.若函数 与 的图像在实数集 上有且只有3个交点，则实数 的取值范围为
__________ .
三、解答题（本题共6道小题，共70分）
17.已知数列 的首项为 ，且满足 ，数列 满足 ．
（Ⅰ）求 的通项公式；
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学科网（北京）股份有限公司（Ⅱ）设数列 的前 项和为 ，求 ．
18.某企业有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为6，9，12，员工 隶属于甲部门．现在医务室通过血检进行
一种流行疾病的检查，已知该种疾病随机抽取一人血检呈阳性的概率为 ，且每个人血检是否呈阳性相互独立．
（Ⅰ）现采用分层抽样的方法从中抽取9人进行前期调查，求从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人，
并求员工 被抽到的概率；
（Ⅱ）将甲部门的6名员工随机平均分成2组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本组血样
全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一人呈阳性，再逐个化验．记 为甲部门此次检查中
血样化验的总次数，求 的分布列和期望．
19．如图，已知梯形 与 所在平面垂直， ， ， ， ，
， ． ，连接 ， ．
（Ⅰ）若 为 边上一点， ，求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值．
20．已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 ，过 的左焦点 的直线 与 相交于 、 两点，
与直线 相交于点 ．
（Ⅰ）若 ，求证： ；
（Ⅱ）过点 作直线 的垂线 与 相交于 、 两点，与直线 相交于点 ．求 的
最大值．
21．已知函数 .
（Ⅰ）若 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）若函数 和 有公切线，求实数 的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （t为参数）以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程 .
（Ⅰ）求 和 的直角坐标方程；
（Ⅱ） ，直线 与 交于 两点，其中 点在第一象限，求 点的极坐标及 点的极径.
23.已知函数 ， ．
（Ⅰ）求函数 的最小值；
（Ⅱ）设 ，求证： ．
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