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成都石室中学 2023-2024 年度上期高 2024 届入学考试
数学试题（理）
（总分：150分，时间：120分钟 ）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2.若复数z满足 ，则 ( )
A． B．1 C． D．2
3.函数 的图象大致是( )
A B C D
4.已知实数 满足 ，则下列关系式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
5.若 ，则 的最小值为（ ）
A.8 B.6 C.4 D.2
6.已知命题 p: 若 ac2 bc2, 则 ab ；命题 q: 在ABC中，sin AsinB是A B的必
要不充分条件，则下列命题为真命题的是（ ）
pq (pq) pq pq
A． B. C. D. 1
7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（ ）
0.5
1
A． B.2 C. 1 D.2
0.5
正视图 侧视图
1
俯视图
8.已知函数 的图象与 轴交点的坐标为 ，且图象
关于直线 对称，将 图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 2
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学科网（北京）股份有限公司倍，得到函数 的图象，则 在区间 上的最大值为( )
A． B． C． D．
9.某单位共招聘6名应届毕业生，其中男女分别有3人，准备平均分配到3个部门，其中有
一个部门要求必须分配2名女生，则不同的安排方法有（ ）
A. 36 B.54 C. 72 D.108
10.已知 则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
11.已知圆 过双曲线 的左右焦点
,曲线 与曲线 在第一象限交点为 ， 则双曲线 的离心率
为（ ）
． ． ． ．
12.若直线 与函数 图象交于不同的两点 ，且点
若点 满足 ，则 （ ）
A.6 B. 4 C. 2 D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13.已知倾斜角为 的直线 与直线 垂直，则 = .
14.设 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是_________.
15.直线 与抛物线 交于 两点，过线段 的中点作直线
的垂线，垂足为 ，则 .
A−BCD
中,
AB=CD=BC=AD=2
,
AC=BD=t ,当三棱锥A−BCD
体积最
16.已知三棱锥
大时,t的值为 .
三、解答题（本题共6道小题，17题10分，其余各题12分，共70分）
17．（本小题满分12分）
已 知 数 列 满 足 ， ， 数 列 满 足 ，
.
（1）证明： 是等比数列；
（2）数列 满足 ，求数列 的前 项的和 .
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学科网（北京）股份有限公司18．（本小题满分12分）
如图，四棱锥 中，底面 是平行四边形，平面 底面
A
， ， ， ， ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值． E D
B C
19．（本小题满分12分）
成都市有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络
问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的 1000人的得分
数据，其频率分布直方图如图所示：
（1）估计该组数据的中位数、众数；
（2）由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分 服从正态分
布 ， 近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该区
间的中点值作代表），利用该正态分布，求 ；
（3）在（2）的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下
奖励方案：
（ⅰ）得分不低于 可获赠2次随机话费，得分低于 则只有1次；
（ⅱ）每次赠送的随机话费和对应概率如下：
现有一位市民要参加此次问卷调查，记 (单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，
求 的分布列和数学期望.
附： ，
若 ， 则 ，
.
20．（本小题满分12分）
已知椭圆 ： （ ）左、右焦点分别为 , ，且 为抛物线
的焦点， 为椭圆 上一点.
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学科网（北京）股份有限公司（1）求椭圆 的方程；
（2）已知 ， 为椭圆 上不同两点，且都在 轴上方，满足 .
（ⅰ）若 ，求直线 的斜率；
（ⅱ）若直线 与抛物线 无交点，求四边形 面积的取值范围.
21．（本小题满分12分）
设 ．
（1）证明： 的图象与直线 有且只有一个横坐标为 的公共点，且
；
（2）求所有的实数 ，使得直线 与函数 的图象相切；
（3）设 （其中 由（1）给出），且 ， ，
求g2(a)+ g2(b)+ g2(c)的最大值．
22．（本小题满分10分）
在直角坐标系 中，直线的方程为 ，曲线 的参数方程为
（ 为参数），点 ， 分别在直线和曲线 上运动， 的最小值为
.
(1)求 的值；
(2) 以 坐 标 原 点 为 极 点 ， 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 射 线
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学科网（北京）股份有限公司与曲线 交于不同的两点 与直线交于点 ，若
，求 的值.
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