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成都石室中学 2024-2025 学年度上期高 2025 届定时练习
数 学
本试卷共8页。满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净
后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
一、单选题
1、已知集合 ， ，则 的子集个数为（ ）
A={x|y=ln(5−x),x∈N} B={y|y=ex } A∩B
A.4 B.14 C.15 D.16
2、“m=−3”是“直线l :(m+1)x+2y+1=0与直线l :3x+my+1=0平行”的（ ）
1 2
A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
3、四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其
中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，
制作出如下两个等高堆积条形图，则下列结论正确的是（ ）
A.样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数
B.样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数
C.样本中选择物理学科的人数较多 D.样本中男生人数少于女生人数
4、已知{a }为等比数列，a a a =a a ，a a =−27，则a =（ ）
n 2 3 7 4 6 9 10 7
A.3 B.2 C.−2 D.−3
5、已知函数f(x)=lnx的图像与直线y=ax+1相切，则a的值为（ ）
1 1
A. B. C.e D.e2
e e2
6、已知M，N 分别是正四面体ABCD中棱AD，BC的中点，若点E是棱CD的中点.则MN与AE所成角的余
弦值为（ ）
❑√3 ❑√3 ❑√6 ❑√6
A.− B. C.− D.
3 3 6 6
1 2 1 1
7、若a=sin + ，b=cos + ，则（ ）
3 3 3 18
A.a>1>b B.a>b>1 C.1>b>a D.b>1>a
8、若直线l 和直线l 相交于一点，将直线l 绕该点按逆时针旋方向转到与l 第一次重合时所转的角为θ，则
1 2 1 2
角 就叫做 到 的角， k −k ，其中 分别是 的斜率，若双曲线 ：
θ l l tanθ= 2 1 k ,k l ,l E
1 2 1+k k 1 2 1 2
1 2
学科网（北京）股份有限公司x2 y2 的右焦点为 ， 是右顶点， 是直线 a2上的一点， 是双曲线的离心率，
− =1(a>0,b>0) F A P x= e
a2 b2 c
∠APF=θ，则tanθ的最大值为（ ）
1 2e e e
A. B. C. D.
2❑√1+e ❑√1+e 2❑√1+e 2❑√1+2e
二、多选题
9、下列命题中，正确的是（ ）
A.已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
X N(2,σ2 ) P(X≤0)=0.3 P(X<4)=0.3
B.用X表示n次伯努利试验中事件A发生的次数，p为每次试验中事件A发生的概率，若
2
E(X)=150,D(X)=50，则p=
3
C.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设A=“第一枚正面朝上”，B=“第二枚反面朝上”，
则有:P(B∣A)=P(B)
a 101
D.已知随机变量X的分布列为P(X=i)= (i=1,2,3,⋯,100)，则a=
i(i+1) 100
10、设函数 ，则（ ）
f(x)=ax3−3x2+1
A.当a<0时， x=0是f(x)的极小值点
B.当00
D.若f(x)满足f(x)+f(2−x)=−2，则a=1
11、已知 满足 ， ，记 的前n项和为 ， 的前n项和为
{a } a =1 a2 −(n−1)a a −na2=0 {na } T {T }
n 1 n+1 n n+1 n n+1 n n
S ，则下列说法中不一定正确的是（ ）
n
A. { a n+1 } 是等比数列 B. {a } 的通项公式为 a =(n−1)! 或 a =(−1) n−1
a n n n
n
C.若a >0，则T =(n+1)!−1 D.若a a <0，则S 为定值
n n n n+1 2n
三、填空题
12、若 ，则 a +a +a
(x+2)❑ 5=a x❑ 5+a x❑ 4+a x❑ 3+a x❑ 2+a x+a 5 3 1=
5 4 3 2 1 0 a +a +a
4 2 0
.
13、学校从高一、高二、高三中各选派10名同学参加“建党100周年党史宣讲”系列报告会，其中三个年
级参会同学中女生人数分别为5、6、7，学习后学校随机选取一名同学汇报学习心得，结果选出一名女同
学，则该名女同学来自高三年级的概率为 .
b
14、已知不等式xex−ax≥ex+b对任意x∈R恒成立，则当 取最大值时，a= .
a
四、解答题
15、（本小题13分）
x+4
已知集合A={x|−3<2x+1<7}，B={x| ＞0}，C={x|3a−2≤x≤a+1}.
x−2
学科网（北京）股份有限公司(1)求A∩(C B)；
R
(2)若“p:x∈C (A∪B)”是“q:x∈C”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
R
16、(本小题满分15分)
π
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠ABC= ，H为BC的中点，
3
PA=PB=PH=❑√2.E为PD上的一点，已知PD=4PE.
(1)证明：平面PAB⊥平面ABCD；
(2)求平面EAC与平面PAB夹角的余弦值.
17、（本小题15分）为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）
的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）.
编号 1 2 3 4 5
学习时间x 30 40 50 60 70
数学成绩y 65 78 85 99 108
（1）请利用散点图说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出y关于x的回归直
线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩；
5 5 5
（参考数据：
∑❑x y =22820,∑❑y =435,∑❑y2=38999,107.42≈11540
，
x
的方差为200）
i i i i i
i=1 i=1 i=1
(2)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是
否参与周末在校自主学习及成绩是否有进步统计，得到2×2列联表（表二）.依据表中数据及小概率值
α=0.001的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关.
没有进步 有进步 合计
参与周末在校自主学习 35 130 165
未参与周末不在校自主学习 25 30 55
合计 60 160 220
附：方差： S2= 1 n ∑ n ❑(x i −x − ) 2 ，回归方程 y ^ =bx+a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
i=1
n − −
∑(x −x)(y −y)
b ^ = i=1 i i ，^ − ^ −， χ2= n(ad−bc) 2 .
n − a= y−bx (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
∑❑(x −x) 2
i
i=1
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
χ 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
学科网（北京）股份有限公司18、(本小题满分17分)
x2
经过圆O:x2+ y2=5上一动点P作椭圆C: + y2=1的两条切线，切点分别记为A,B，直线PA,PB分别与
4
圆O相交于异于点P的M,N两点.
(1)求证： → → →；
OM+ON=0
(2)求ΔOAB的面积的取值范围.
（参考结论：点
是椭圆x2 y2
外一点，过P作该椭圆的两条切线，切点为A,B，则
P(x ,y ) + =1(a>b>0)
0 0 a2 b2
直线AB的方程为x x y y
.)
0 + 0 =1
a2 b2
19、（本小题17分）
1 3
已知函数f(x)=alnx+ x2−x+ (a>0)
4 4
(1)判断f(x)的单调性；
(2)若f(x)有且仅有一个零点，求a的取值范围；
5 1
f(a )+ a −
(3)若a取第(2)问所求范围的最小值，且数列{a }满足，a =2， n 4 n 4，
n 1 a =
n+1 a
n
n
求证： ， 4.
∀n∈N∗ ∑|a −1|<
k 3
k=1
学科网（北京）股份有限公司成都石室中学2024-2025学年度上期高2025届开学考试
数学参考答案
1-8 DACD BDDC 9 BCD 10 BD 11 AB
12、【答案】
13、【答案】
14、【答案】e
15、【答案】（1）因为 ，又 ，..2分
所以 ………………………………………….………………5分
（2） ，所以 ………………7分
因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，则 ，………9分
又 ，所以
或 ，…………..…………………12分
综上所述， 的取值范围为 .…………………………13分
16、【答案】（1）取 中点 ，连接 ， ，
∵ ， 为 中点，∴ ，…………….……1分
∵ ， ，∴ ，
∵四边形 为菱形， ，∴ 为等边三角形，
∴ ，
又 , 分别为 , 中点，∴ ，
∴ ，即 ，………………………………………………………..3分
∵ ， 平面 , 平面 ，∴ 平面 ，…5分
∵ 平面 ，∴平面 平面 .……………………………………………6分
学科网（北京）股份有限公司（2）连接 ，由（1）知： 为等边三角形，∴ ， ，
又 平面 ， ，∴ ， ，………………7分
以 为坐标原点， , , 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则 ，
∴ ，
由 得： ，
∴ ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，解得： ，∴ ，……………………………………10分
∵ 轴 平面 ，∴平面 的一个法向量 ，……………..………11分
设平面 与平面 的夹角为 ，则
………………………………………….…14分
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 …...……………………………………15分
17、【答案】（1）画出散点图(图略)可以得到这些样本点在某一条直线附近波动，说明该组数据中 与
之间的关系可用线性回归模型进行拟合.………………………2分
学科网（北京）股份有限公司， ，又 的方差为 ，
，………………………7分
，故 当 时， ，故预测每天课后自主学习数学
时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分………………………9分
（2）零假设 ：周末在校自主学习与成绩进步无关………………………10分
根据数据，计算得到：
………………13分
因为 ，所以依据小概率值 的独立性检验，我们推断H 不成立，可以认为“周末自
0
主学习与成绩进步”有关.，此推断犯错误的概率不大于0.001………15分
18、【答案】（1）证明：设点 ．
①当直线 的斜率都存在时，设过点 与椭圆 相切的直线方程为 ．
联立 ，消去 得： ，
，…………………………………………….…2分
令 ，整理得： ．………….…3分
设直线 的斜率分别为 ．
∴ ．又 ,∴ ．
∴ ，即 为圆 的直径，
∴ ．………………………………….…5分
②当直线 或 的斜率不存在时，不妨设 ，则直线 的方程为
学科网（北京）股份有限公司∴点 ，点 ，也满足 ．……………………………………….………….…6分
综上所述，证得
．……………………………………………………………………………………..…7分
（2）设点 ，则直线 的方程为 ．………………………………………..…8分
若 时，令 ，则直线 的方程为 ， ，
∴ .………………………………………………………………………………….…9分
若 时，联立 ，消去 得 ．
∴ ， ，………………………………………………………………………..…11
分
∴
．……………………………………………..………………..…13分
又点 到直线 的距离： ．…………………………………….…..…14分
，……………………………………………………..…15分
令 ， ．则 ，又 ，…………..….…16分
∴ 的面积的取值范围为 .……………………………………………………………………………..…17分
19、【答案】（1） 1分
学科网（北京）股份有限公司， 令 ，对称轴 ， ，
1当 时， ，则 ， 在 单调递增2分
2当 时， ，令 ，得 ，
时，则 ， ； 时，则 ， ； 时，则
， 在 上单调递增, 上单调递减， 上单调递增4分
综上， 时， 在 单调递增; 时， 在 上单调递
增, 上单调递减， 上单调递增.5分
（2）易知 ，由（1）可得
1当 时， 在 单调递增，又
有且仅有一个零点 6分
2 时， 在 上单调递增, 上单调递减， 上单调
递增； ，又 ，
，
在 上有一个零点 ；
又 时， ； 时， 在 上各有有一个
零点； 有三个零点8分
综上 9分
（3） ，
令 ，
，所以 在 上单调递增，
所以当 时， ，所以 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司所以由 可得当 ，则
因此，若存在正整数 ，使得 ，则 ，从而 ，重复这一过程有限次后可得 ，与
矛盾，从而，对 ，11分
下面我们先证明，当 时， ，
设 ，则当 时， ，所以 在 单调递
减，所以 ，即当 时， 12分
因为 ，所以 ，
，
即 ，由于 ， ，所以 ， ，故 15分
故当 时， 16分
所以 ，故 ， ．17分
学科网（北京）股份有限公司
