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成都石室中学 2023-2024 年度上期高 2024 届入学考试
数学试题（理 ）参考答案
一、 选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C A D C D A C B A C B
二、 填空题
13. ; 14. ; 15. ; 16. .
三、 解答题
17．解：（1）
，又因为 ，
所以 是首项为2，公比为2的等比数列. ．．．．．．．．．．．．．5分
（2）
满足上式.
. ．．．．．．．．．．．．．12分
18．解：（1）因为平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面
， ，所以 平面 ，所以 ．
因为 ， ， ，所以 ，故 ．
又 ，所以 平面 ．
因为 平面 ，所以，平面 平面 ． (6分)
（2）在线段 上取点 ，使 ，则 ，因为平面 平面 ，
且平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
所以，可以建立如图所示空间直角坐标系，其中 轴 ．
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ．
设平面 的法向量为 ，
z
A
则 即
E
学科网（北京）股份有限公司 O D
B y
C
x令 得 ， ，
所以平面 的一个法向量为 ．(9分)
设平面 的法向量为 ，
则 即
令 得 ， ，
所以平面 的一个法向量为 ．
，(11分)
所以平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 ． (12分)
19．解： （1）由 ，
得 ，设中位数为 ，由
，解得 ，由频率分布直方图可知众数为
65. ．．．．．3分
（2）从这1000人问卷调查得到的平均值 为
因 为 由 于 得 分 服 从 正 态 分 布 ， 所 以
.．．．．．．．．．．．．．7分
（3）设得分不低于 分的概率为 ，则 ，
的取值为10，20，30，40，
， ，
， ，
所以 的分布列为：
学科网（北京）股份有限公司所以 .．．．．．．．．．．．．．12分
20．解：（1）依题意得 ，则 ， .
于是 ，从而 . 又 ，解得
所以椭圆 的方程为 . ．．．．．．．．．．．．．3分
（2）如图，设 直线交椭圆于另一点 ， 直线交椭圆于另一点 ，
由 ，故 ，由椭圆对称性， ，且四边形
为平行四边形. ．．．．．．．．．．．．．5分
由题意直线 的斜率不为0，设直线 ： ，
由 ，消去 整理得 ，
设 ， ，则 ， ，
由 （*）带入上式，解得：
故 ，故 的斜率为
1. ．．．．．．．．．．．．．8分
由 ，消去 整理得 ，由 得 .
所以 ，
与 间的距离 （即点 到 的距离），
学科网（北京）股份有限公司故 ，
令 ，则 ，
所以四边形 的面积的取值范围为 . ．．．．．．．．．．．．．12
分
21．解：（1）考虑函数 ，易知 在 上单调递增，且 ， ．
因此有且只有 使得 ，即 的图象与直线 有且只有一个公共点，
且该公共点的横坐标为 ． …………3分
（2） ．设 是 的图象上一点，则该点处的切线为
，整理得 ．令 ，解得 或
．因此 与 与函数 的图象相切．因此所求实数 的值为 或 ．
…………7分
（3）设 ，则 ．设 ，则 ．当 时，
；当 时， ．因此 在 上单调递增，在 上单调递减．从而
在 上单调递增， 上单调递减．注意到 ，故当 时 ，
当 时 ，因此 在 上单调递减，在 上单调递增．所以当
时， ．另一方面，注意到 ，故必然存在 ，使得 ，
且当 时 ，当 时 ．因此 在 上单调递减，在
上单调递增．显然 ，而 ．因此当
时， ．综上可知当 时 ，即 ，当且仅当 时等号成
立．由于 ，故当 ，即 时， ，当且仅当 ，
即 时等号成立．因此 ，当且仅当 时等号成
立．因此 的最大值为 ． …………12分
22．解：（1） ，故 ， ； ……
5分
（2）曲线 ，直线 ，分别代入 ，得
学科网（北京）股份有限公司， ，由 知 ，即
， 即 ，
故 即 . ……10分
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