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成都石室中学 2023-2024 年度上期高 2024 届期末考试
数学试题（理）
参考答案
1．若复数 满足 （i是虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】计算 ，再计算共轭复数即可.
【详解】 ，则 ，则 .
故选：A
2.已知集合 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．C
【分析】根据指数函数单调性得到 ，解不等式求出 ，利用并集概念求出答案.
【详解】 ，故 ，
令 ，解得 ，故 ，
故 .
故选：C
3．设等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 的值为
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】选A
【解析】由 ，可得 ，则 .
4 . 的展开式中， 的系数为
A． B． C．5 D．15
【答案】选A
【解析】 ，
的展开式通项为 ，
的展开式通项为 ，
由 ，可得 ，
因此，式子 的展开式中， 的系数为 .
学科网（北京）股份有限公司5.函数 部分图象如图所示，则
A． B． C． D．
【答案】选D
【解析】由函数 的部分图象知， ， ，
解得 ，∴ ，又 ，可得 ， ，
解得 ， ，∵ ，∴可得 ，∴ ，
∴ .
6．已知圆 与中心在原点､焦点在坐标轴上的双曲线 的一条渐近线相切，则双曲线
的离心率为（ ）
.A． B．3 C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】分双曲线的焦点在x轴上和y轴上，由圆心到渐近线的距离等于半径列式求解即可.
【详解】因为 可化为 ，
则圆 的圆心为 ，半径为2，
当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为 ，则其渐近线方程为 ，
由题意得 ，即 ，所以 ，
所以 ，
当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为 ，则其渐近线方程为 ，
由题意得 ，即 ，所以 ，
则 ，
故选：D.
7. 已知函数 是偶函数，当x<0时， ，则曲线 在x=1处的切线方程为
A． B． C． D．
【答案】选C
【解析】因为x<0， ， ，又由 是偶函数， ，
令 ，则 ，根据 是偶函数， ，
学科网（北京）股份有限公司得到 时， ，所以， 时， ， ，
故曲线 在 处的切线方程为 ，即 .
8．已知一个组合体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先由三视图原几何体，再分别求得各面的面积相加即可得解.
【详解】由题知，该三视图对应的几何体的直观图如图所示，
其中半圆柱的底面半径为1、高为1，三棱锥 中， 在底面 的射影 为 的中点，
， ，
∴ ， ，
因为 面 ， 面 ，所以 ，
又 ， 面 ，所以 面 ，
又 面 ，故 ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴该几何体的表面积为 .
故选：C.
9．执行如图所示的程序框图，若随机输入的 ，则输出的 的概率为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 可得 ，再根据循环结构可得当 时均能得到 ，从而可得
答案.
【详解】由框图可得若 ，则 ，解得 .
故当 ，满足 ，可得输出 ；
当 时，满足 ，可得输出 ；
当 时，不满足 ，此时 ，故可得输出 ；
当 时，不满足 ，此时 ；
不满足 ，此时 ，可得输出 .
故当 时均能得到 ，故输出的 的概率为 .
故选：B
10.若 ， ，则下列选项正确的是
A． B． C． D．
【答案】选D
【解析】因为 ， ，所以 ，
因为 ， ，即 ,所以 ，所以A，B错误；
因为 ，所以 ，所以C错误；
因 ，所以D正确.
11. 已知长方体 在球O的内部，球心O在平面ABCD上， 若球的半径为 ， ，
则该长方体体积的最大值是
学科网（北京）股份有限公司A．4 B． 8 C．12 D．18
【答案】选A
【解析】设长方体 的高为h， 设 a，则 ，所以 .由勾股定理
得 即 得 ，
所以长方体 的体积为 ，
设 ，其中0<h< ，则 ， 令 ，得 ，
当 时， ， 在 上单调递增；当 时， ， 在 上
单调递减.所以函数 在 处取得极大值，亦即最大值，则 .
因此该长方体的体积的最大值为 .
12．曲线 是平面内与三个定点 和 的距离的和等于 的点的轨迹.给出下列四
个结论：
①曲线 关于 轴、 轴均对称；
②曲线 上存在点 ，使得 ；
③若点 在曲线 上，则 的面积最大值是1；
④曲线 上存在点 ，使得 为钝角.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ②③④ B. ②③ C. ③④ D. ①②③④
【答案】C ③④
【分析】①由已知表示出C的方程，观察方程的对称性可以判断结果；②假设结论成立，推理出曲线不
存在，不合题意；③点P在椭圆上顶点时，满足题意，且面积最大；④寻找曲线C上的一个特殊点，验
证 为钝角.
【详解】设曲线 上任意一点P(x，y)，由题意可知 的方程为
.
①错误,在此方程中用 取代 ，方程不变，可知 关于 轴对称；同理用 取代 ，方程改变，可知
不关于 轴对称，故①错误.
②错误,若 ，则 曲线 不存在，故②错误.
③正确, P应该在椭圆D： 内(含边界)，曲线 与椭圆D
有唯一的公共点 ，此时 当点P为 点时， 的面积最大，最大值是1；故
③正确
④正确，由 ③可知，取曲线 上点 ，此时 ，下面在曲线 上再寻找一个特殊点
P(0，y)， ，则 ，
把 两边平方，整理得 ，
解得 ，即 或 .
因为 ，则取点 ， 此时 .故④正确．
故答案为：③④．
【点睛】易错点睛：与椭圆相关的综合问题，难度大，要注意：
学科网（北京）股份有限公司(1)注意观察方程的特征，利用代数方法判断曲线 的对称性；
(2)适当利用反向推理，假设成立，再反向推理看是否合理；
(3)椭圆焦点三角中，当点在椭圆上下顶点时，焦点三角形面积最大，椭圆上点与两个焦点的张角最大；
(3)验证存在性的问题，只需找到一个正例就可以说明其存在性；验证某个结论错误时，只需一个反例即
可说明.
13. 若 、 满足约束条件 ，则 的最大值为__________．
【答案】7
【解析】由题意可知，约束条件为 ，
根据约束条件可绘出可行域：
当目标函数经过点 时取最大值， .
14. 设 ，则不等式 的解集为__________．
【答案】
【解析】由题意，函数 ，根据初等函数的性质，可得函数 在定义域 为单调
递减函数，且 ，则不等式 等价于 ，解得 ，所以不等式的解集为
.
15．已知 ，则 的值为__________．
【答案】
【分析】利用倍角公式和诱导公式求解即可.
【详解】
16．如图，在三棱锥 中， 平面 ， 为线段
的中点， 分别为线段 和线段 上任意一点，则 的最小值为__________．
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】先利用线面垂直的判定定理推得 再利用面积相等在 中推得
，从而得到 ，由此得解.
【详解】因为 平面 ， 面 ，所以 ，
又 ， ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以
.
又在 中， ，
在 中， ，
故 ，
则 ，
又 ，
所以 ，
即 ，当且仅当 时，等号成立，
当 时， 为 的中点，此时当 时， 为 的中点，
综上所述 的最小值是 .
【点睛】关键点睛：本题的突破口是如何解决 的系数问题，利用三角形面积公式与面积相等得
到 即可得解.
17．某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高
（单位： ）与父亲身高 （单位： ）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数
据，如下表：
父亲身高 160 170 175 185 190
儿子身高 170 174 175 180 186
学科网（北京）股份有限公司参考数据及公式： ， ， ， ， ，
(1)根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程;
(2)小明的父亲身高178cm，请你利用回归直线方程预测小明成年后的身高.
【答案】(1) ，规律见解析
(2)178cm
【详解】（1） ， ，……………………….2分
， ，………………5分
故回归方程为： ，……………………………………………………………………….7分
（2）
…………………………………………………………..10分
…………………………………………………………………………………………12分
18．如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ，侧面 面 ，
， ， 为 的中点.
(1)求证：面 面 ；
(2)若二面角 的大小为 ，求 与面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）分别取 、 中点 、 ，连接 ， ， ，利用线线垂直证明线面垂直，进而
可证面面垂直；
（2）过点 作 ，由二面角的定义可知 ，进而可得 为正三角形，以点 为坐标
原点建立空间直角坐标系，利用坐标法可得线面夹角正弦值；
【详解】（1）
分别取 、 中点 、 ，连接 ， ， ，
学科网（北京）股份有限公司则 且 ，
又 ， ，
， ，
四边形 为平行四边形， ，
又 ，
， ，
平面 平面 ，且平面 平面 ， ，
平面 ， 平面 ，
， ，
，且 ， 平面 ，
平面 ，
平面 ，
平面 平面 ；…………………………………………………………5分
（2）
过点 作 ，则 平面 ，
由（1）得 平面 ，
， ，
所以二面角 的平面角为 ，即 ，
又 ，
即 为正三角形，
， ，
以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，…………………………………………………7分
又 为 中点，
， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，……………………………………………..9分
则 ，……………………………………11分
直线 与平面 所成角的正弦值为 ；……………………………………………………..12分
学科网（北京）股份有限公司19.（本小题满分12分）为加强学生劳动教育，成都石室中学北湖校区将一块四边形园地ABCD用于蔬菜
种植实践活动. 经测量，边界AB与AD的长度都是14米， ， .
(1)若 的长为6米，求BC的长；
(2)现需要沿实验园的边界修建篱笆以提醒同学们不要随意进入，问所需要篱笆的最大长度为多少米?
【解析】(1)连接BD，由题意△ABD是等边三角形，所以BD=14，
在 中，由余弦定理得，
即 ，求解得
故BC的长为10米.·····················································································5分
(2)设 ， ，
在 中， ，
所需篱笆的长度为
.···········10分
·········································12分
20．（本小题满分12分）已知椭圆 的离心率为 ，抛物线 在第一象
限与椭圆C 交于点 ，点F为抛物线 的焦点，且满足 .
1
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 与椭圆C 交于P,Q两点，过 分别作直线 的垂线，垂足为M、N，l
1
与x轴的交点为T．若△PMT、△PQT、△QNT的面积成等差数列，求实数m的取值范围.
【解析】(1)由题意， ,则点 在椭圆上，
得 ，① 即 ②
联立①②，解得a2＝4，b2＝3，∴椭圆C 的方程为 ；·····················4分
1
(2)依题意，直线PQ与x轴不重合，故可设直线PQ的方程为x＝my+1．
联立 ，消去 ．
学科网（北京）股份有限公司设P（x，y），Q（x，y），则有△＞0，且 ．7分
1 1 2 2
设△PMT，△PQT，△QNT的面积分别为S，S，S，
1 2 3
∵S，S，S 成等差数列，∴2S＝S+S，即3S＝S+S+S，
1 2 3 2 1 3 2 1 2 3
则 ；
即3（t﹣1）＝2t﹣（x+x），得t＝3﹣（x+x），······································9分
1 2 1 2
又x＝my+1，x＝my+2，
1 1 2 2
于是，t＝3﹣（my+my+2）＝1﹣m（y+y），∴ ，解得 ．
1 2 1 2
21.（本小题满分12分）已知函数 ，其中 是自然对数的底数．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，设关于 的不等式 对 恒成立时k的最大值为
，求 的取值范围．
【解析】(1) 的定义域为 ， ， 1分
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， ，
单调递增； 单调递减； 4分
综上，当 时， 在 单调递增；
当 时， 在 单调递增，在 单调递减.
··············································································································5分
(2)因为 的不等式 对 恒成立,
则 ，对 恒成立,············································6分
令 ，
即 ，令 ，即 ，
所以 在 上递增；·······································································7分
①当 ，即 时，因为 ，所以 ，
当 ， ，即 ，所以 在 上递增，
所以 ，故 ；·················································8分
②当 即 时，因为 ， ，即 ，
所以 在 上递减，所以 ，故 ；9分
③当 ，即 时，因为 在 上递增，
学科网（北京）股份有限公司所以存在唯一实数 ，使得 ，即 ，
则当 时， ，即 ；当 时， ，即 ，
故 在 上单减， 上单增，所以 ，
所以 ，
设 ，则 ，
所以 在 上递增，所以 ．
综上所述， ．·······························································12分
22. [选修4－4：坐标系与参数方程]
已知圆C的参数方程为 为参数），以坐标原点为极点， 轴非负半轴为极轴建立
极坐标系.
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)若直线 的参数方程是 (t为参数， 为直线l的倾斜角)，l与C交于A，B两点，
，求l的斜率.
【解析】（Ⅰ）圆C的直角方程为 将 ，
得 .
故圆C的极坐标方程为 ·········································4分
（Ⅱ）在极坐标系中，直线l的极坐标方程为 ，
设A，B所对应的极径分别为 .
将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得 .
于是
得 所以l的斜率为1.···················································10分
23．已知函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）绝对值不等式分类讨论求解即可得；
（2）双绝对值不等式恒成立问题，借助绝对值三角不等式，将原问题转化即可得.
【详解】（1） 等价于 或 ，
解得 或 ，
学科网（北京）股份有限公司即 ，即不等式 的解集为 ；……………………………………………5分
（2） 恒成立，即 恒成立，
因为 ，
所以 ，解得 或 ，
即 的取值范围是 ……………………………………………………………...10分
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