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成都石室中学 2023-2024 年度上期高 2024 届期末考试
数学试题（理）
（总分：150分，时间：120分钟 ）
第Ⅰ卷（共60分）
一、 选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1．若复数 满足 （i是虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
2.已知集合 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．设等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4. 的展开式中， 的系数为（ ）
A． B． C．5 D．15
5.函数 部分图象如图所示，则 （ ）
A． B．
C． D．
6．已知圆 与中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线 的一条渐近线相切，则双曲线
的离心率为（ ）
A． B．3 C． 或 D． 或
7. 已知函数 是偶函数，当x<0时， ，则曲线 在x=1处的切线方程为（
）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
8．已知一个组合体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（
）
A． B．
C． D．
9．执行如图所示的程序框图，若随机输入的 ，则输出的 的概率为（ ）
A． B．
C． D．
10.若 ， ，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11. 已知长方体 在球O的内部，球心O在平面ABCD上， 若球的半径为 ， ，
则该长方体体积的最大值是（ ）
A．4 B． 8 C．12 D．18
12．曲线 是平面内与三个定点 和 的距离的和等于 的点的轨迹.给出下列四
个结论：
①曲线 关于 轴、 轴均对称；
②曲线 上存在点 ，使得 ；
学科网（北京）股份有限公司③若点 在曲线 上，则 的面积最大值是1；
④曲线 上存在点 ，使得 为钝角.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ②③④ B. ②③ C. ③④ D. ①②③④
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13. 若 、 满足约束条件 ，则 的最大值为__________．
14. 设 ，则不等式 的解集为__________．
15．已知 ，则 的值为__________．
16．如图，在三棱锥 中， 平面 ， 为线段
的中点， 分别为线段 和线段 上任意一点，则 的最小值为__________．
三、解答题（本题共6道小题，共70分）
17．某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高
（单位： ）与父亲身高 （单位： ）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数
据，如下表：
父亲身高 160 170 175 185 190
儿子身高 170 174 175 180 186
参考数据及公式： ， ， ， ， ，
(1)根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程；
(2)小明的父亲身高178cm，请你利用回归直线方程预测小明成年后的身高。
学科网（北京）股份有限公司18．如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ，侧面 面 ，
， ， 为 的中点.
(1)求证：面 面 ；
(2)若二面角 的大小为 ，求 与面 所成角的正弦值.
19.为加强学生劳动教育，成都石室中学北湖校区将一块四边形园地ABCD用于蔬菜种植实践活动. 经测
量，边界AB与AD的长度都是14米， ， .
(1)若 的长为6米，求BC的长；
(2)现需要沿实验园的边界修建篱笆以提醒同学们不要随意进入，问所需要篱笆的最大长度为多少米？
20．已知椭圆 的离心率为 ，抛物线 在第
一象限与椭圆 交于点 ，点F为抛物线 的焦点，且满足 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 与椭圆 交于P,Q两点，过 分别作直线 的垂线，垂足为M、N，l
与x轴的交点为T．若△PMT、△PQT、△QNT的面积成等差数列，求实数m的取值范围.
21.已知函数 ，其中 是自然对数的底数．
(1)讨论 的单调性；
学科网（北京）股份有限公司(2)若 ，设关于 的不等式 对 恒成立时k的最大值为
，求 的取值范围．
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22.已知圆C的参数方程为 为参数），以坐标原点为极点， 轴非负半轴为极轴建立极
坐标系.
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)若直线 的参数方程是 (t为参数， 为直线l的倾斜角)，l与C交于A，B两点，
，求l的斜率.
23．已知函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
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