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第2课时 二次根式的化简
解析：＝＝·＝|a|·，又＝a，所以解得
0≤a≤1，故选D.
1．掌握积的算术平方根的性质，并会根 方法总结：利用积的算术平方根的性质
据性质把二次根式化简；(重点) 确定字母的取值范围时，根据积的算术平方
2．理解最简二次根式的概念，并会把二 根的性质得出的每一个因式(包括被开方
次根式化为最简二次根式．(重点，难点) 数)都是非负数，再列不等式(组)求解．
【类型三】 逆用积的算术平方根的性质
比较大小
比较大小：3与5.
解析：把根号外的因式移到根号内，比
一、情境导入 较两个被开方数的大小．
计算： 解：∵3＝＝，5＝＝，
(1)，×； ∵＞，∴3＜5.
(2)，×. 方法总结：比较两个二次根式的大小，
观察计算结果，上述每组式子计算结果 可以逆用积的算术平方根的性质，把根号外
有什么关系？由此你能猜想什么结论成立？ 的因式移到根号内，直接比较两个被开方数
二、合作探究 的大小，对于两个正数，被开方数大的数较
探究点一：积的算术平方根的性质 大．
【类型一】 利用积的算术平方根的性质 探究点二：最简二次根式
进行二次根式计算或化简 【类型一】 最简二次根式的判定
化简： 下列二次根式中，最简二次根式
(1)； (2)； 是( )
(3)(a≥0，b≥0)． A. B.
解析：利用积的算术平方根的性质，把 C. D.
它们化为几个二次根式的积，(2)小题中先 解析：A选项中含能开得尽方的因数4，
确定符号． 不是最简二次根式；B选项是最简二次根式；
解：(1)＝×＝14×0.5＝7； C选项中含有分母，不是最简二次根式；D选
(2)＝＝×＝×＝； 项中被开方数用提公因式法因式分解后得：
(3)＝··＝15a3b. a2＋a2b＝a2(1＋b)含能开得尽方的因数a2，
方法总结：利用积的算术平方根的性质 不是最简二次根式；故选B.
进行计算或化简，其实质就是把被开方数中 方法总结：最简二次根式必须同时满足
的完全平方数或偶次方开出来，要注意的是， 下列两个条件：①被开方数中不含能开得尽
如果被开方数是几个负数的积，先要把符号 方的因数或因式；②被开方数不含分母．判
进行转化，如(2)小题． 定一个二次根式是不是最简二次根式，就是
【类型二】 利用积的算术平方根的性质 看是否同时满足最简二次根式的两个条件，
确定字母的取值范围 同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
若＝a成立，则a的取值范围是( 【类型二】 二次根式的化简
) 把下列各式化成最简二次根式．
A．a≥0 B．a＞0 (1)；(2)；(3)；(4).
C．a≥1 D．0≤a≤1 解析：(1)先将500分解质因数，再根据
1积的算术平方根的性质，把能够开尽方的因
数100移到根号外；(2)根据积的算术平方
根的性质，把能够开尽方的因式a2b2移到根
号外；(3)把被开方数的分子、分母同时乘以
3，把分母化为一个完全平方数，再把能开得
尽方的部分移到根号外；(4)把被开方数的
分子、分母同时乘以3a，把分母化为一个数
的平方，再把分母移到根号外．
解：(1)＝＝10；
(2)＝＝|a|b；
(3)＝＝；
(4)＝＝.
方法总结：把二次根式化成最简二次根
式时，如果被开方数不含分母，则把被开方
数尽量写成一个数的平方的形式，再利用积
的算术平方根的性质化简；如果被开方数含
有分母，可把分子、分母同乘以一个数，把分
母化为一个数或式的平方的形式，再把分母
开方后移到根号外，与此同时，分子中能开
方的也要移到根号外．
三、板书设计
1．积的算术平方根的性质
2．最简二次根式
通过积的算术平方根与算术平方根的
积的运算引入积的算术平方根的性质，让学
生归纳总结出结论，并运用于化简．对于被
开方数含有分母的二次根式化为最简二次
根式是本节课的难点，引导学生根据分式的
基本性质把分母化为一个数或式的平方，并
让学生加强训练．
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