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第六章 计数原理（提高卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间1200分钟，试题共23题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将
自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1.若C ﹣C＝C（n N*），则n等于（ ）
A．11 ∈ B．12 C．13 D．14
【答案】B
【分析】根据题意，结合组合数的性质，可得 ，再结合组合数的性质，从而得到关于n的方程，解方
程即可．
【解答】解：根据题意， 变形可得， ；
由组合性质可得， ；即
则可得到n+1＝6+7 n＝12；
故选：B．
⇒
【知识点】组合及组合数公式
2.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种
数是（ ）
A．56 B．65
C． D．6×5×4×3×2
【答案】A
【分析】6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，实际上是有6个人选择座位，且每人有5种选择方
法，根据分步计数原理得到结果．
【解答】解：∵每位同学均有5种讲座可选择，
∴6位同学共有5×5×5×5×5×5＝56种，
故选：A．
【知识点】分步乘法计数原理
3.已知集合M＝{1，﹣2，3}，N＝{﹣4，5，6，﹣7}，从两个集合中各选一个数作为点的坐标，则这样的
坐标在直角坐标系中可表示第三、四象限内多少个不同点（ ）
A．18个 B．10个 C．16个 D．14个
【答案】B
【分析】根据第三、四象限内点的坐标的性质，分 2种情况讨论，①取M中的数作横坐标，取N中的数
作纵坐标坐标，②取N中的数作横坐标，取M中的数作纵坐标坐标，易得每种情况下的数目，
进而由加法原理可得答案．
【解答】解：第三、四象限内点的纵坐标为负值，横坐标无限制；
分2种情况讨论，①取M中的数作横坐标，取N中的数作纵坐标坐标，有3×2＝6种情况，
②取N中的数作横坐标，取M中的数作纵坐标坐标，有4×1＝4种情况；共有6+4＝10种情况，
故选：B．
【知识点】分类加法计数原理
4.若 ，则x＝（ ）
A．﹣1 B．4 C．﹣1或4 D．1或5
【答案】B
【分析】根据组合数的公式，列出方程，求出x的值即可．
【解答】解：∵C x﹣2＝C 2x﹣1，
9 9
∴x﹣2＝2x﹣1，或x﹣2+2x﹣1＝9，
解得x＝﹣1（不合题意，舍去），或x＝4；
∴x的值是4．
故选：B．
【知识点】组合及组合数公式
5.若展开（a+1）（a+2）（a+3）（a+4）（a+5），则展开式中a3的系数等于（ ）
A．在1，2，3，4，5中所有任取两个不同的数的乘积之和
B．在1，2，3，4，5中所有任取三个不同的数的乘积之和
C．在1，2，3，4，5中所有任取四个不同的数的乘积之和
D．以上结论都不对
【答案】A
【分析】直接利用二项式展开式的应用求出结果．
【解答】解：展开（a+1）（a+2）（a+3）（a+4）（a+5），
则展开式中a3的系数可以看成一个因式取a，其余的两个因式是从5个因式中任意取．
故选：A．
【知识点】二项式定理
6.设a＞0，b＞0，且（ax+ ）5展开式中各项的系数和为32，则 + 的最小值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】由题意求出 a+b＝2，再把 + 变形，利用基本不等式求得 + 的最小值．
【解答】解：设a＞0，b＞0，且（ax+ ）5展开式中各项的系数和为（a+b）5＝32，∴a+b＝2，
则 + ＝ •（ + ）＝ + + +2≥ +2 ＝ ，当且仅当b＝2a时，等号成立．
则 + 的最小值为 ，
故选：D．
【知识点】二项式定理
7.从集合{A，B，C，D，E，F}和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字
均不能重复）．则每排中字母C和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（ ）
A．85 B．95 C．2040 D．2280
【答案】C
【分析】根据题意，分2步进行分析：①，先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少
出现两个，②，将选出的4个元素全排列，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①，先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，
若字母C和数字4，7都出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，有5种选法，
若字母C和数字4出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、
8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，
若字母C和数字7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、
8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，
若数字4、7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出2个字母，有C 2＝10种选法，
5
则有5+35+35+10＝85种选法，
②，将选出的4个元素全排列，有A4＝24种情况，
4
则一共有85×24＝2040种不同排法；
故选：C．
【知识点】排列、组合及简单计数问题
8.若 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是（ ）
A．﹣1 B．1 C．210 D．211
【答案】B
【分析】由题意得出展开式中共有11项，n＝10；再令x＝1求得展开式中各项的系数和．
【解答】解：由 展开式中只有第六项的二项式系数最大，
所以展开式中共有11项，所以n＝10；
令x＝1，可求得展开式中各项的系数和是
（1﹣2）10＝1．
故选：B．
【知识点】二项式定理
9.为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A，B，C三个农业扶贫项目进驻某村，对
该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶经过前期实际调研得知，这四个贫困户选择 A，
B，C三个扶贫项目的意向如表：
扶贫项目 A B C
贫困户 甲、乙、丙、丁 甲、乙、丙 丙、丁
若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向项目中随机选取一项，且每个项目至多有两个贫困户选择，则
不同的选法种数有（ ）
A．24种 B．16种 C．10种 D．8种
【答案】B
【分析】根据题意，以选C项目的户数2，1，0为标准分为3类，每一类中再去考虑A，B两项目的选项
情况，用列举的方法找出每一类的人数，再相加即可．
【解答】解：以选C项目的户数2，1，0为标准分为3类，
（1）C项2户，有4种选法；
（2）C项1户，若是丁有6种选法，若是丙有3种选法，共有9种选法；
（3）C项0户，有3种选法．
则由加法原理共有4+9+3＝16种，
故选：B．【知识点】排列、组合及简单计数问题
10.已知n，m N*，n≥m，下面哪一个等式是恒成立的（ ）
A． ＝ ∈ B． ＝
C． + ＝ D． + ＝
【答案】B
【分析】利用学过的排列组合数公式判断即可轻松得出结果．
【解答】解：由组合是数的性质 知， ，
所以C和D选项错误；
又组合数公式知 ，
所以A选项错误；
故选：B．
【知识点】组合及组合数公式
11.在（x﹣2）8的二项展开式中，二项式系数的最大值为a，含x5项的系数为b，则 ＝（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【答案】B
【分析】写出最大的二项式系数和含x5项的系数，做商就可以了．
【解答】解：在（x﹣2）8的二项展开式中，二项式系数的最大值为 ＝70，
含x5项的为 x5，
即系数为﹣448，
因此 ．
故选：B．
【知识点】二项式定理
12.如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示
数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为 a，b，c．例如，
图中上档的数字和a＝9．若a，b，c成等差数列，则不同的分珠计数法有（ ）种．
A．12 B．24 C．16 D．32
【答案】D
【分析】a，b，c的取值范围都是从7～14，可以根据公差d的情况进行讨论．
【解答】解：解：根据题意，a，b，c的取值范围都是从7～14共8个数字，故公差d范围是﹣3到3，
①当公差d＝0时，有 ＝8种，
②当公差d＝±1时，b不取7和14，有2 ＝12种，
③当公差d＝±2时，b不取7，8，13，14，有2 ＝8种，
④当公差d＝±3时，b只能取10或11，有2 ＝4种，综上共有8+12+8+4＝32种，
故选：D．
【知识点】排列、组合及简单计数问题
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线
上）
13.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，这10个数字中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法
为 （用数字作答）．
【答案】110
【分析】分别求得取出的这4个数都是偶数；取出的这4个数都是奇数；取出的这4个数有2个是偶数、2
个是奇数这三种情况的方法数，相加，即得所求．
【解答】解：若取出的这4个数都是偶数，方法有 ＝5种；
若取出的这4个数都是奇数，方法有 ＝5种；
若取出的这4个数有2个是偶数、2个是奇数，方法有 • ＝100种．
综上，所有的满足条件的取法共有5+5+100＝110种，
故答案为：110．
【知识点】分步乘法计数原理
14.已知（x﹣ ）（1﹣x）4的展开式中x2的系数为4，则a＝ ，（x﹣ ）（1﹣x）4的展开式中的常数项
为 ．
【答案】【第1空】2
【第2空】8
【分析】把（1﹣x）4按照二项式定理展开，可得（x﹣ ）（1﹣x）4的展开式中x2的系数和常数项．
【解答】解：∵（x﹣ ）（1﹣x）4＝（x﹣ ）（ ﹣ •x+ •x2﹣ •x3+ •x4），
故展开式中x2的系数为﹣4+a× ＝4，则a＝2．
常数项为﹣a×（﹣ ）＝4a＝8，
故答案为：2；8．
【知识点】二项式定理
15.为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设A，B，C，D，E，F六门选修课程，学，校规定每
个学生必须从这6门课程中选3门，且A，B两门课程至少要选1门，则学生甲共有 种不同的选
法．
【答案】16
【分析】由题意可知需要分两类，从A，B两门课程选1门或从A，B两门课程选2门，根据分类计数原理
可得．
【解答】解：第一类，从A，B两门课程选1门，再从C，D，E，F中选2门，共有C 1C 2＝12种，
2 4
第二类，从A，B两门课程选2门，再从C，D，E，F中选1门，共有C 2C 1＝4种，
2 4
根据分类计数原理，可得共有12+4＝16种，
故答案为：16．
【知识点】排列、组合及简单计数问题
16.在（1+x+x2）n＝ + x+ x2+…+ x2n﹣1+ x2n的展开式中（其中 ， ，… 叫做项式系数），当n＝1，2，3，…，得到如下左图所示的展开式，如图所示的“广义杨辉三角”：
（1）若在（1+ax）（1+x+x2）5的展开式中，x8的系数为75，则实数a的值为 ；
（2） ﹣ + ﹣ +…+ ＝ （可用组合数作答）．
【答案】【第1空】2
【第2空】
12
C
18
【分析】（1）利用广义杨辉三角形得出第4行的系数，并计算出第五行，再计算出（1+ax）（x2+x+1）5
的展开式中x8系数的表达式，即可求出a；
（2）利用二项式定理得出（x﹣1）18的展开式，将 ﹣ + ﹣ +…+ 视为展开式（x﹣
1）18（1+x+x2）18＝（x3﹣1）18中x18的系数，然后利用二项式展开式的通项即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可得广义杨辉三角形第4行为：1，4，10，16，19，16，10，4，1；
第5行为：1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1；
所以（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x8项的系数为15+30a＝75，
解得a＝2；
（2）由题意可知， ，根据二项式定理可得 ，
所以， ﹣ + ﹣ +…+ 可视为二项式（x﹣1）18（1+x+x2）18＝（x3﹣1）18展开式中x18
的系数，
而二项式（x3﹣1）18的展开式通项为 ，令3×（18﹣r）＝18，解得r＝12，所以， ﹣
+ ﹣ +…+ ＝ ．
故答案为：2； ．
【知识点】二项式定理
三、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤）
17.如图，一个正方形花圃被分成5份．
（1）若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不
同的花，求有多少种不同的种植方法？
（2）若向这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法？【分析】（1）先对A部分种植，再对B部分种植，对C部分种植按与B相同及与B不同两种情况进行分
类；
（2）先将7个盆栽分成5组，有2种分法，分好后再全排列即可．
【解答】解：（1）先对A部分种植，有4种不同的种植方法；再对B部分种植，有3种不同的种植方法；
对C部分种植进行分类：
①若与B相同，D有2种不同的种植方法，E有2种不同的种植方法，共有4×3×1×2×2＝48
（种）；
②若与B不同，C有2种不同的种植方法，D有1种不同的种植方法，E有2种不同的种植方
法，共有4×3×2×1×2＝48（种）；
综上所述，共有96种种植方法；
（2）将7个盆栽分成5组，有2种分法：
①若分成2﹣2﹣1﹣1﹣1的5组，有 种分法；
②若分成3﹣1﹣1﹣1﹣1的5组，有 种分法；
将分好的5组全排列，对应5个部分，则一共有 种分法．
【知识点】计数原理的应用
18.在（ + ）n的展开式中，前3项的系数成等差数列，
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求展开式中二项式系数最大的项；
（Ⅲ）求展开式中含x﹣2的项的系数．
【分析】（Ⅰ）根据前3项的系数成等差数列，利用等差数列的定义求得n的值；
（Ⅱ）根据通项公式、二项式系数的性质求展开式中二项式系数最大的项；
（Ⅲ）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于﹣2，求出r的值，即可求得含x﹣2的项
的系数．
【解答】解：（Ⅰ）因为前3项的系数成等差数列，且前三项系数为 ， • ， • ，
∴2• • ＝ + • ，即 n2﹣9n+8＝0，∴n＝1（舍去），或 n＝8．
（Ⅱ）因为n＝8，所以展开式中二项式系数最大的项为第五项，
即T＝ • • ＝ x．
5
（Ⅲ）∵二项展开式的通项公式：T ＝ • • ，
r+1
令4﹣ r＝﹣2，求得r＝8，可得所以含x的项的系数为 • ＝ ．
【知识点】二项式定理
19.已知f
n
（x）＝
∁n
0xn﹣
∁n
1（x﹣1）n+…+（﹣1）k
n
k（x﹣k）n+…+（﹣1）n
n
n（x﹣n）n，其中x R，
n N*，k N，k≤n． ∁ ∁ ∈
（1）∈试求f∈1 （x），f
2
（x），f
3
（x）的值；
（2）试猜测f（x）关于n的表达式，并证明你的结论．
n
【分析】（1）利用组合数公式直接计算；（2）根据（1）的计算猜想公式，根据组合数的性质进行化简，将条件向假设式配凑得出．
【解答】解：（1）f（x）＝ x﹣ （x﹣1）＝x﹣x+1＝1，
1
f（x）＝ ﹣ + ＝x2﹣2（x2﹣2x+1）+（x2﹣4x+4）＝2，
2
f （x）＝ x3﹣ （x﹣1）3+ （x﹣2）2﹣ （x﹣3）3＝x3﹣3（x﹣1）3+3（x﹣2）3﹣（x﹣3）3＝
3
6，
（2）猜想：f（x）＝n!．
n
证明：①当n＝1时，猜想显然成立；
②假设n＝k时猜想成立，即f
k
（x）＝
∁k
0xk﹣
∁k
1（x﹣1）k+ （x﹣2）k+…+（﹣1）k
k
k（x﹣k）k
＝k!，
∁
则n＝k+1时，f（x）＝C xk+1﹣ （x﹣1）k+1+C （x﹣2）k+1+…+（﹣1）k+1C （x﹣k﹣1）k+1
k
＝xC xk﹣（x﹣1） （x﹣1）k+（x﹣2）C （x﹣2）k+…+（﹣1）k（x﹣k） （x﹣k）k+（﹣
1）k+1C （x﹣k﹣1）k+1
＝x[C xk﹣ （x﹣1）k+C （x﹣2）k+…+（﹣1）k （x﹣k）k]
+[ （x﹣1）k﹣2C （x﹣2）k+…+（﹣1）kk （x﹣k）k]+（﹣1）k+1C （x﹣k﹣1）k+1
＝x[C xk﹣（ + ）（x﹣1）k+（ ）（x﹣2）k+…+（﹣1）k（ + ）（x﹣k）k]
+（k+1）[ （x﹣1）k﹣ （x﹣2）k…+（﹣1）k+1 （x﹣k）k]+（﹣1）k+1C （x﹣k﹣1）k+1
＝x[ xk﹣
∁k
1（x﹣1）k+ （x﹣2）k+…+（﹣1）k
k
k（x﹣k）k]﹣x[ （x﹣1）k+ （x﹣2）k+…+（﹣
1）k﹣1 k﹣1（x﹣k）k+（﹣1）kC （x﹣k﹣1）k]
k
∁
+（k+1）[（x﹣1）k﹣ （x﹣2）k…+（﹣1）k+1 （x﹣k）k+（﹣1）k（x﹣k﹣1）k]
∁
＝xk!﹣xk!+（k+1）k!
＝（k+1）!．
∴当n＝k+1时，猜想成立．
【知识点】二项式定理、数学归纳法
20.二项式 ．
（1）当a＝b＝1，n＝6时，
求①a+a+a+…+a 的值；
1 2 3 n
a+2a+3a+…+na 的值；
1 2 3 n
②（2）当 时，求 的值．
【分析】（1）当a＝b＝1，n＝6时，令x＝1，可得a+a+a+…+a 的值，求出函数的导数，令x＝1进行
1 2 3 n
求解即可．
（2）根据平方差公式，分别令x＝1和x＝﹣1即可．
【解答】解：（1）若a＝b＝1，n＝6时，二项式为（1+x）6．
①令x＝0，则a＝1，
0
令x＝1，则a+a+a+a+…+a＝26＝64．
0 1 2 3 n
即a+a+a+…+a＝64﹣1＝63．
1 2 3 n
②（1+x）6＝a+ax+ax2+ax3+…+ax6，
0 1 2 3 6
对x求导数得6（1+x）5＝a+2ax+3ax2+…+6ax5，
1 2 3 6
令x＝1得6×25＝a+2a+3a+…+6a＝192．
1 2 3 6
（2）当 时，（x﹣ ）8＝a+ax+ax2+ax3+…+ax8，
0 1 2 3 8
令x＝1得，（1﹣ ）8＝a+a+a+a+…+a，
0 1 2 3 8
令x＝﹣1得，（﹣1﹣ ）8＝a﹣a+a﹣a+…+a，
0 1 2 3 8
则 ＝（a+a+a+a+…+a）（a﹣a+a﹣a+…+a）
0 1 2 3 8 0 1 2 3 8＝（1﹣ ）8（1+ ）8＝[（1﹣ ）（1+ ）]8＝（﹣2）8＝256
【知识点】二项式定理
21.某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两
辆汽车出去游玩，每车限坐4人，（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置差异）．
（1）共有多少种不同的乘坐方式？
（2）若A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方
式共有多少种？
【分析】（1）根据题意，分2步进行分析：①，将8人分成2组，②，将分好的2组全排列，安排到甲乙
两辆车，由分步计数原理计算可得答案；
（2）根据题意，分2种情况讨论：①、A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来
自不同的家庭，②、A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，每种情况下分析乘坐人员的情况，由排
列、组合数公式计算可得其乘坐方式的数目，由分类计数原理计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，8个小孩坐2辆汽车，每车限坐4人，
分2步进行分析：
①，将8人分成2组，有 ＝35种分组方法，
②，将分好的2组全排列，安排到甲乙两辆车，有A2＝2种情况，
2
则有35×2＝70种不同的乘坐方式；
（2）根据题意，分2种情况讨论：
①、A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭，
可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车，
有C 2×C 1×C 1＝12种乘坐方式；
3 2 2
②、A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，
需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个小孩都在甲车上，
对于剩余的2个家庭，从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车，
有C 1×C 1×C 1＝12种乘坐方式；
3 2 2
则共有12+12＝24种乘坐方式．
【知识点】排列、组合及简单计数问题
22.规定 ＝x（x﹣1）…（x﹣m+1），其中x R，m为正整数，且 ＝1，这是排列数 （n，m是正整数，
n≤m）的一种推广． ∈
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）排列数的两个性质：① ＝ ，② + ＝ （其中m，n是正整数）．是否都能推广到 （x R，m是
正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由； ∈
（Ⅲ）已知函数f（x）＝ ﹣4lnx﹣m，试讨论函数f（x）的零点个数．
【分析】（Ⅰ）直接代入定义求解；
（Ⅱ）利用新定义，结合排列数的两个性质即可证明推广的结论；
（Ⅲ）由新定义展开函数f（x），求导后得其导函数的零点，得其在各区间段内的单调性，
然后对m进行讨论得其零点个数．
【解答】解：（Ⅰ） ；
（Ⅱ）性质①、②均可推广，推广的形式分别是① ＝ ，② （x R，m N*）
证明：①当m＝1时，左边＝ ，右边＝ ，等式成立；
∈ ∈当m≥2时，
左边＝x（x﹣1）…（x﹣m+1）＝x{（x﹣1）（x﹣2）…[（x﹣1）﹣（m﹣1）+1]}＝ ．
因此， （x R，m N*）成立．
②当m＝1时，左边＝ ＝右边，等式成立；
∈ ∈
当m≥2时，左边x（x﹣1）…（x﹣m+1）+mx（x﹣1）…（x﹣m+2）
＝x（x﹣1）…（x﹣m+2）（x﹣m+1+m）
＝（x+1）x（x﹣1）…（x﹣m+2）
＝（x+1）x（x﹣1）…[（x+1）﹣m＝1]
＝ ＝右边
因此， +m ＝ （x R，m N*）成立．
（Ⅲ）f（x）＝
∈ ∈
设函数g（x）＝x3﹣3x2+2x﹣4lnx，
函数f（x）零点的个数等价于函数g（x）与y＝m公共点的个数．
f（x）的定义域为（0，+∞）
＝ ．
令g′（x）＝0，得x＝2
x （2，+∞）
（0，2） 2
g′（x） ﹣ 0 +
g（x） 减 ﹣4ln2 增
∴当m＜﹣4ln2时，函数g（x）与y＝m没有公共点，即函数f（x）不存在零点，
当m＝﹣4ln2时，函数g（x）与y＝m有一个公共点，即函数f（x）有且只有一个零点，
当m＞﹣4ln2时，函数g（x）与y＝m有两个公共点，即函数f（x）有且只有两个零点．
【知识点】排列及排列数公式
