文档内容
2024 学年新教材新高考桂柳信息冲刺金卷（四）
数 学
注意事项：
1.本卷共150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题
卡和试卷指定位置上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试
卷上无效．
3.考试结束，将本试题和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分．共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．为了得到函数 的图象，只需将正弦函数 图象上各点（ ）
A．横坐标向右平移 个单位长度，纵坐标不变
B．横坐标向左平移 个单位长度，纵坐标不变
C．横坐标向左平移 个单位长度，纵坐标不变
D．横坐标向右平移 个单位长度，纵坐标不变
2．如图1，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量 作为基底，若 ， ，则向量
的坐标为（ ）
图1
A． B． C． D．3．某高中科技课上，老师组织学生设计一个圆台状的器皿材料，其厚度忽略不计，该器皿下底面半径为
3cm，上底面半径为10cm，容积为 ，则该器皿的高为（ ）
A．5cm B．12cm C．15cm D．20cm
4．抛物线 绕其顶点顺时针旋转 之后，得到的图象正好对应抛物线 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知有限集 X，Y，定义集合 ， 表示集合 X 中的元素个数．若
， ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．“ ”是“ 的二项展开式中存在常数项”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
7．在某电路上有C，D两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换C元件的概率为0.3，需要更换D元
件的概率为0.2，则在某次通电后C，D有且只有一个需要更换的条件下，C需要更换的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．定义：设二元函数 在点 的附近有定义，当y固定在 而x在 处有改变量 时，
相应的二元函数 有改变量 ，如果 存在，那么称此极
限为二元函数 在点 处对x的偏导数，记作 ．若 在区域D内每
一个点 对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于x，y的二元函数，它就被称为二元函数
对自变量x的偏导函数，记作 ．已知 ，若 ，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（ ）
A．自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积．
B．在b克盐水中含有a克盐（ ），再加入n克盐，全部溶解，则盐水变咸了．
C．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率等于
．
D．购买同一种物品，可以用两种不同的策略。第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数
量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．用第一种方式购买一定更
实惠。
10．复数 （ ，i为虚数单位）在复平面内内对应点 ，则下列为真命题的是（
）
A．若 ，则点Z在圆上 B．若 ，则点Z在椭圆上
C．若 ，则点Z在双曲线上 D．若 ，则点Z在抛物线上
11．若数列 满足 ， ，且 ， ，则下列结论中正确的是（
）
A． B．
C． D．若 为等比数列，则
三、填空题：本大题共3 小题，每小题5 分，共15 分．把答案填在答题卡的相应位置．
12．已知函数 ，则曲线 在 处的切线方程为______．
13．点P为圆 上一点，点 ， ，记P到A，B两点的距离分别为l与m．则
的最大值为______．
14．已知双曲线C的方程为 ，其左右焦点分别为 ， ，已知点P坐标为 ，双曲线C
上的点 （ ， ）满足 ，设 内切圆半径为r，则______， ______．
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分13分）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求A；
（2）若 ， 的角平分线交BC于点D，求线段AD长度的最大值．
16．（本小题满分15分）
在长方体 中，点E，F分别在 ， 上，且 ， ．
图2
（1）求证：平面 平面AEF；
（2）当 ， ，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
17．（本题满分15分）
正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量 X，定义
其累积分布函数为 ．已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元件组成（如图
3），在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作
相互独立．
图3
（1）已知电源电压 X（单位：V）服从正态分布 ，且 X 的积累分布函数为 ，求
；
（2）在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量 T（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累计分布函数为 ．
设 ，证明： ；
附：若随机变量Y服从正态分布 ，则 ， ，
．
18．（本小题满分17分）
已知椭圆 的离心率为 ，A，B，O分别为椭圆C的左，右顶点和坐标原点，
点D为椭圆C上异于A，B的一动点， 面积的最大值为 ．
图4
（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点F的直线交椭圆C于M、N两点，直线 交x轴于P，过M、N分别作l的垂线，交l
于S、T两点，H为l上除点P的任一点．
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）设直线HM、HN、HF的斜率分别为 、 、 ，求 的值．
19．（本小题满分17分）
英国数学家泰勒发现了如下公式： 以上公式成为泰勒公式．设
， ，根据以上信息，并结合所学的数学知识，解决如下问题．
（1）证明： ；（2）设 ，证明： ；
（3）设 ，若 是 的极小值点，求实数a的取值范围．2024 学年新教材新高考桂柳信息冲刺金卷（四）
数学参考答案
1．B（把 上的所有点向左平移 个单位长度，
得到函数 的图象．故应选B．）
2．A（由题意得， ．故应选A．）
3．B（由题意得， ，解得 ．故应选B．）
4．D（抛物线 即 的开口向上，将其绕顶点逆时针方向旋转 ，
得到的抛物线开口向左，其方程为 ，所以 ，则 ，故应选D．）
5．A（∵ ， ∴ ， ，
∴ ，∴ 故应选A．）
6．A（ 展开式的通项为： ；
当 时，取 ，则 ，故充分性成立；
当 时， 展开式中存在常数项，如 ，故必要性不成立；
所以“ ”是“ 的二项展开式中存在常数项”的充分非必要条件．故应选A．）
7．C（记事件E：在某次通电后C，D有且只有一个需要更换，事件F：C需要更换，
则 ，
由条件概率公式可得 ．故应选C．）8．B （依题意，
同理可求得 ，所以 ，
设 ，则 ，由 ，
得 ， ，
此方程有解，所以 ， ， ．故应选B．）
9．AB 对于选项A：设周长为 ，则圆的面积为 ，
正方形的面积为 ，因为 ， ，可得 ，即 ，故A正
确；
对于选项B：原盐水的浓度为 ，加入 克盐，盐水的浓度为 ，则 ，
因为 ， ，可得 ， ，
所以 ，即 ，故B正确；
对于选项C：设这两年的平均增长率为 ，
则 ，可得 ，
因为 ，即 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，即这两年的平均增长率不大于 ，故 错误；
对于选项D：按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为 元/kg，购n kg，
第二次购物时的价格为 元/kg，购n kg，两次购物的平均价格为 ；若按第二种策略购物，第一次花 元钱，能购 kg物品，
第二次仍花 元钱，能购 物品，两次购物的平均价格为 ．
比较两次购的平均价格： ，
当且仅当 时，等号成立，所以第一种策略的平均价格不低于第二种策略的平均价格，
因而用第二种策略比较经济，故D错误；故应选AB．）
10．BD（ 表示点 与 之间的距离，
表示点 与 之间的距离，记 ， ，
对于A， ，表示点 到 、 距离相等，则点 在线段 的中垂线上，故A错误；
或由 ，整理得 ，所以点 在 ，故A错误；
对于B，由 得 ，这符合椭圆定义，故B正确；
对于C，若 ， ，这不符合双曲线定义，故C错误；
对于D，若 ，则 ，整理得 ，为抛物线，故D正确．故应选
BD．）
11．ACD （依题意， ，则 ，
而 ，因此数列 是首项为1，公比为3的等比数列， ，B错误．
又 ，因此 ，于是 ， ，
对于A， ，A正确；
对于C， ，C正确；对于D， ， ， ，
由 为等比数列，得 ，解得 或 ，
当 时， ，显然数列 是等比数列，
当 时， ，显然数列 是等比数列，
因此当数列 是等比数列时， 或 ，D正确．故应选ACD．）
12． （由已知 ，
则 ，又 ，即切点为 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ．故答案为： ．）
13．850 （ ， ，设 ，
则
，故最大值为850．）
14．2 18 （设 内切圆与三边的切点分别为D，E，G，如图，
则 ，
在双曲线右支上，由双曲线定义得 ，则 ，
又 ，故 ，
即 点横坐标为 ，即 内切圆的圆心横坐标为 ，
由 ，得 ，
即 ，即 为 的角平分线，
由于点 坐标为 ， 内切圆的圆心横坐标为 ，
则 即为 内切圆的圆心， 为切点，则内切圆半径为 ；
，故答案
为：2；18．）
15． （1）由题设及正弦边角关系可得： ，则 ，
而 ，且 ，则 ．
（2）因为 ，所以由余弦定理得 ，即 ，
所以 ，即 （当且仅当 时，等号成立），
因为 ，所以 ，
解得 ，因为 （当且仅当 时，等号成立），
所以 （当且仅当 时，等号成立），所以AD长度的最大值为 ．
16．（1）证明： 为长方体 平面
平面 ∴ 又 ，且 ∴平面AEF 平面 平面
（2）依题意，建立以D为原点，以DA，DC， 分别为x，y，z轴的空直角坐标系，
则 ，
则
设平面 的法向量为 ．则 ，即
令 ，则 ． ．
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，所以平面 的法向量为 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为
17． （1）由题设得 ，
所以
（2）由题设得：，
所以 ．
18． （1）由题意知 ，解得 ， ，所以 的方程为 ；
（2）ⅰ解：易知点 、 ，
若直线MN与x轴重合，则M、P、N重合，则 不存在，不合乎题意，
设直线MN的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ，
，
由韦达定理可得 ， ，
所以，．
ⅱ解：设点 ，其中 ，则
．
19．（1）设 ，则 ．
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
因此， ，即 ．
（2）由泰勒公式知 ，①
于是 ，②
由①②得
，
，
所以．即 ．
（3） ，则 ，
设 ， ．
由基本不等式知， ，当且仅当 时等号成立．
所以当 时， ，所以 在 上单调递增．
又因为 是奇函数，且 ，
所以当 时， ；当 时， ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
因此， 是 的极小值点．
下面证明：当 时， 不是 的极小值点．
当 时， ，
又因为 是 上的偶函数，且 在 上单调递增，
所以当 时， ．
因此， 在 上单调递减．
又因为 是奇函数，且 ，
所以当 时， ；当 时， ．
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
因此， 是 的极大值点，不是 的极小值点．
综上，实数 的取值范围是 ．
