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2023~2024 学年下学期大理州普通高中质量监测
高一数学参考答案及评分标准
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B D C D B A
二、多选题
题号 9 10 11
答案 AC AB ABC
三、填空题
12． 13． 14．69.7 ， （第1空2分，第2空3分）
四、解答题
15．（13分）
（I）依题意，设四个区间人数依次为： ，则
所以区间[60,70)中应抽4人，区间[70,80]中应抽6人，[80,90)中应抽18人，区间
[90,100]中应抽12人. …………………………6分
（II）平均分 ：84.5 所以良好的最低分数线 84.5分
由频率分布直方图易得， 的频率为 ，
所以成绩优秀的最低分数线落在区间 中，不妨记为 ，
故 ，解得 ，
所以成绩良好的最低分数线为 分 …………………………13分
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学科网（北京）股份有限公司16．（15分）
sin2A−sin2B−sin2C−sinBsinC=0
（I）选① 由 得：
由余弦定理 ，
所以 ，又 ，所以 .
1
cos(B+C)=
选② 由2sinAcosBcosC−2sinBsinCsinA=sin(B+C)得： 2,
所以 ，又 ，所以 . …………………………………7分
（II） 因为 ，所以 ，
因为 ，由已知得 ，故 ，
所以 . …………………………………15分
17 （15分）
（I）如图，因为点 是正方形 的对角线 的中点，所以 三点共线，连结
，
点 是对角线 的交点，所以 是 的中点， 是 的中点，
所以 ，
EF⊄平面 ，SA⊂平面 ，
所以 平面 …………………………………………7分
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学科网（北京）股份有限公司（II）连结 ，
由于平面 平面 ，且平面 平面 ，
，且BC⊂平面 ，
所以BC⊥平面 ， 平面 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，则 ，
又 ， ，
异面直线 与 所成的角为 与 所成的角即为 或其补角，
中， ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ； ………………………15分
18.（17分）
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学科网（北京）股份有限公司（1）由题意可知， 的定义域为 ， 为奇函数； 在 上为增函数；
由 ，所以 ，
由于 在 上单调递增，所以 ，解得 ，
所以x的解集是 ………………………………………………… 5分
（2）(I) .
由 ，则 ，而 ，
所以 …………………………………………… 11分
(II) ，当 时取等，则
由
而 ，当 时取等，
所以 . ……………………………………………… 17分
19．（1）解：因为⃗OM=(2,3)，则⃗OM=2e +3e
1 2
⃗OM2=(2e +3e ) 2=4e 2 +12e ⋅e +9e 2 =13+6=19,
1 2 1❑ 1 2 2❑
所以 |⃗OM|❑=√19, ……………………………5分
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学科网（北京）股份有限公司（2）(I)因为⃗OP=(2,1)=2e +e ，⃗OQ=(1,−1)=e −e
1 2 1 2
|⃗OP|=√5+4e ⋅e ，|⃗OQ|=√2−2e ⋅e ，⃗OP⋅⃗OQ=1−e ⋅e ，
1 2 1 2 1 2
⃗OP⋅⃗OQ 1−e ⋅e 1
则cosθ= = 1 2 = ，
|⃗OP||⃗OQ| √5+4e ⋅e ⋅√2−2e ⋅e 2
1 2 1 2
解得 ，则 ， ……………………………10分
（2）(II)依题意设⃗OA=me ，⃗OB=ne
1 2
1 1 1 1
因为 为AB中点，则⃗OF= ⃗OA+ ⃗OB= me + ne ，
2 2 2 1 2 2
5 1
同理⃗OE= me + ne ，
6 1 6 2
1 1
则⃗OE⋅⃗OF= (5m2e 2+n2e 2+6mne ⋅e )= (5m2+n2−3mn)，
12 1 2 1 2 12
在 中， ，依据余弦定理得 ，
1 1 9
所以⃗OE⋅⃗OF= (8m2+4n2−27)= (2m2+n2 )−
12 3 4
在 中， ，由正弦定理
，
设 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以，当 时， 取最小值 ，此时⃗OE⋅⃗OF取最小值
……………………………………17分
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