2015第十五届中环杯四年级决赛详解_小学奥数举一反三1-6年级相关课程_奥数历年杯赛真题全套（PDF、Word可打印）_06、其他-中环杯真题（部分年限二、三、四、五年级）_决赛_四年级

第 15届中环杯决赛试题解析（四年级） 一、填空题A（本大题共 8小题，每题 6分，共 48 分）： 1. 计算：694.616.223________. 【答案】690 【解答】694.616.2232334.616.2232313.816.22330690 2. 将长、宽、高分别为 3厘米、4厘米、5厘米的长方体积木，叠成最小的正方体，最 少要积木______块 【答案】3600 【解答】容易知道正方体的边长至少为3,4,560厘米，所以需要积木 6060603453600块 3. 在5、8、15、18、25、28、、2008、2015中，有________个数的数码之和为偶数 （138的数码之和为13812） 【答案】202 【解答】每两个数一对：5,8、15,18、、2005,2008，每对里面有且仅有一个 数的数码之和为偶数，一共有20088101201对，而最后一个数的数码之和为 20158，为偶数，所以答案就是2011202 4. 如图，在长方形ABCD中，AED与BFC都是等腰直角三角形，EF  AD2。则长方 形ABCD的面积为________. A B E F D C 【答案】8【解答】可以如下图进行切割，由于EFAD2AG，整个长方形的面积是小正方形 面积的8倍。由于一个小正方形的面积为 1，所以长方形的面积为 8 A B G E F D C 5. 一个等差数列的首项为9，第8项为12，那么这个数列的前2015项中，有________项 是3的倍数。 【答案】288 【解答】根据已知条件，容易推出这个等差数列的通项公式为 3n60 3n20 n20 a a n1d   。为了使得其为3的倍数，只要使得 为整数 n 1 7 7 7 20101 即可。容易知道，当n1、8、15、、2010时满足要求，一共有 1288 7 项满足要求。 6. 老师将一些数填入下图的圆圈内（每个圆圈内能且只能填一个数），左右两个闭合回 路的三个数之和均为 30，上下两个闭合回路的四个数之和均为 40。若圆圈X 内填的 数为9，则圆圈Y 内填的数为 . 【答案】11abcd 40 【解答】如下图所示，  abcd  X Ycb80， X Y cb40 ab X 30  abcd  X Y 60，我们推出cb20。将cb20代入 cd Y 30 X Ycb40X Y 20。由于X 9，所以Y 11。 7. 如图，一只蚂蚁在网格上爬行，每爬一步就是指从一个点爬到其相邻的点（由一条虚 线段连接的两个点称为相邻的点）。这只蚂蚁一共要爬四步，如果它从点A开始爬， 不同的爬行路线有m种；如果它从点B开始爬，不同的爬行路线有n种。则 nm________. A B 【答案】3 【解答】我们发现，无论从点A出发还是从点B出发，接下来都是走到形如C点的 位置（下图中的六个红点），根据对称性，每个红点所对应的走法是相同的。点A 走到红点有两种方法，点B走到红点有六种方法，所以nm623。 【说明】对称计数A C B 8. 小明看到一辆拖拉机拉着一条绳子在路上缓慢地行驶着，小明准备去测量一下绳子的 长度。如果小明沿着拖拉机开的方向行走，从绳子的一端走到另一端，一共走了140 步；如果小明行走的方向与拖拉机开的方向相反，从绳子的一端走到另一端，一共走 了20步。拖拉机与小明的速度保持恒定，小明每步可以走1米。那么绳子的长度为 米。 【答案】35 【解答】由于第一次走了140步、第二次走了20步，所以第一次花的时间是第二次 花的时间的7倍，所以这个过程中拖拉机开的路程也是7倍关系。设第一次拖拉机 开了7S 米，第二次拖拉机开了S米，并且设绳子的长度为x米，得到方程组 x7S 140 x35   。 S20x S 15 二、填空题B（本大题共 4小题，每题 8分，共 32 分）： 9. 一个园艺匠准备种植一排共20棵树，一共有两种树可供选择：枫树或者梧桐树。任两 棵枫树之间（不包括这两棵枫树）的树的数量不能等于3。那么这20棵树中，枫树最 多有 棵。 【答案】12 【解答】在任意连续的八棵树中，一旦种下一棵枫树，那么相当于另一个位置只能 种梧桐树。我们用下图进行说明，用●表示枫树，用表示梧桐树，一旦第二个位 置种了枫树，那么位置A必须种植梧桐树。无论枫树出现在哪个位置，总有一个位 置与其对应，只能种植梧桐树，所以八棵连续的树中最多只有四棵枫树 ● A根据前面的推导，20棵树中的前16棵树里最多包含了8棵枫树，所以枫树总数最多 8412，我们可以如下进行种植： ● ● ● ●     ● ● ● ●     ● ● ● ● 10. 如图，ABC为等腰直角三角形，E为BC边上一点，满足BE3CE，D、A、F三点在 一条直线上。设DBE中BE边上高的长度为h ，FEC中EC边上高的长度为h ，我们 1 2 有3h h 3厘米。DBE与FEC的面积之和为6平方厘米，则ABC的面积为 1 2 ________平方厘米。 F A D B E C 【答案】64 3 1 【解答】由于BE3CEBE BC,CE BC 。而 4 4 1 1 S S  BEh  CEh DBE FEC 2 1 2 2 1 3 1 1   BCh   BCh 2 4 1 2 4 2 1  BC3h h  8 1 2 3h h 3 1 1 将 1 2 代入，得BC16。所以S  BC2  162 64平方厘米 S S 6 ABC 4 4 DBE FEC 11. 已知一个四位数ABCD满足：ABCD ABCD是1111的倍数，则ABCD的最小值 为 . 【答案】1729【解答】ABCDABCD100ABCDABCD  AB1    CD100  100，从而推出  AB1    CD100  100mod1111，所以 AB1    CD100  1211、2322、3433、  （1）当 AB1    CD100  1211时，此时AB1 1211  1211 12.11，所以 CD100 100 AB11，所以AB11或10，但是这两个数显然不是1211的因数； （2）当 AB1    CD100  2322时，考虑到232223343，所以232218129，此 AB118 时   ABCD1729。 CD100129 接下来我们要证明1729已经是最小值了，假设它不是最小值，还存在ABCD1729， 满足 AB1    CD100  1111k100，此时AB10~16，所以  AB1    CD100  161991003383。当k3时，此时1111k100已经大于 3383了，所以k2。而对于k2的情况，我们前面已经讨论过了，所以不存在 ABCD1729。 综上所述，本题要求的最小值就是1729。 12. 如下左图，甲要从A走到B，每次只能向上或者向右走一格；乙要从C走到D，每次 也只能向上或者向右走一格。将两人走的路径标出来，如果两条路径不相交（没有公 共点），那么就称这两个人走了“中环路”（下右图就是一条“中环路”）。那么， “中环路”一共有______种。 B D B D A C A C 【答案】1750【解答】容易知道，从AB，一共有C4种走法，同理，从CD，一共有C4种走 8 8 法，所有两人走的路径一共有C4C4种。接下来我们只要将相交的情况减掉，剩下 8 8 的就是答案了。 如下图，两条路径的第一个交点为E，我们把这两条路径看为：AED与 CEB（原先应该是AEB与CED）。注意：如上右图，如果没有相 交，我们不能这样看待两条路径，只有产生相交点之后，才能这样看待这两条路 径。 反过来，对于AED与CEB的任意两条路径来说，它们必然会产生公共 点。利用对应原理，我们将相交的两条路径与“AED与CEB的路径”对应 起来了，所以相交的情况一共有C4 C4种。 10 6 B D E A C 综上所述，最后的答案就是C4C4 C4 C4 490031501750。 8 8 10 6 三、动手动脑题（本大题共 2 小题，每题 10分，共 20 分）： 13. 如图，ABCD是一个梯形，其对角线的交点为O。延长AC至点E，满足CEAO。延 长DB至点F ，满足BF DO。若BFG的面积为 2015平方厘米，求：CGE的面积。 A D O B C ? G F E【答案】2015 【解答】由于ABCD是一个梯形，利用等积变换我们有S S 。利用CEAO， AOB DOC 我们推出S S 。利用BF DO，我们推出S S 。结合S S ，我 AOB CBE DOC BCF AOB DOC 们有S S ，所以S S S S S S ，所以CGE的面积也 CBE BCF CBE BCG BCF BCG BFG CGE 是2015。 14. A、B、C三人到D老师家里玩，D老师给每人发了一顶帽子，并在每个人的帽子上 写了一个四位数。已知这三个四位数都是完全平方数（比如422，100102，4、100都 是某个数的平方，这样的数称为完全平方数），并且这三个四位数的十位数都是0， 个位数都不是0。每个小朋友只能看见别人帽子上的数。这三个小朋友非常聪明而且 诚实，发生了如下的对话： A说：“B、C帽子上数的个位数相同。” B、C同时说：“听了A的话，我知道自己的数是多少了。” A说：“听了B、C的话，我也知道自己的数是多少了，我的这个数的个位数是一 个偶数。” 求：A、B、C帽子上的数之和。 【答案】14612 【解答】假设cb0a  ef 2 10e f2 100e2 20ef  f2a0 f 0，两边对100取 余，从而推出20ef  f2 amod100，也就是说20ef  f2的十位数部分为0。显然20ef 的十位数部分肯定为偶数，所以 f2的十位数也必须为偶数，满足条件的 f 1、2、 3、5、7、8、9。 （1）当 f 1、2、3时，为了使20ef  f2的十位数部分为0，则e5，此时这三个 数就是512 2501、522 2704、532 2809； （2）当 f 5时，20ef  f2 100e25，十位数部分不可能为0；（3）当 f 7时，20ef  f2 140e49，为了使得十位数为0，则e4或9，此时满足 条件的数为472 2209或972 9409； （4）当 f 8时，20ef  f2 160e64，为了使得十位数为0，则e4或9，此时满足 条件的数为482 2304或982 9604； （5）当 f 9时，20ef  f2 180e81，为了使得十位数为0，则e4或9，此时满足 条件的数为492 2401或992 9801。 至此，我们得到9个满足条件的四位数，按照个位数的数字将其分为三组： 2209,2809,9409、2704,2304,9604、2501,2401,9801。根据第二句B、C说的话，我 们知道A、B、C三人帽子上的数的个位数都相同。根据第三句A说的话，我们知道 这三个数就是2704,2304,9604，所以这三个数的和为27042304960414612。 【说明】逻辑推理结合位值原理，并没有考到任何完全平方数的性质 更多历年真题，敬请关注唯课数学公众号vclassedu!