2015第十五届中环杯五年级初赛详解_小学奥数举一反三1-6年级相关课程_奥数历年杯赛真题全套（PDF、Word可打印）_06、其他-中环杯真题（部分年限二、三、四、五年级）_初赛_五年级

第十五届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级选拔赛 得分：__________ 填空题： 2468 1357 m 1、已知   ，其中m,n是两个互质的正整数，则10mn____ 1357 2468 n 【考点】分数计算 【答案】110 20 16 9 分析：原式=  = ，10mn10×9+20=110 16 20 20 2、D老师家里有五个烟囱，这五个烟囱正好从矮到高排成一排，相邻两个烟囱之间的高度 差为 2 厘米，其中最高的烟囱又正好等于最矮的两个烟囱的高度之和，则五个烟囱的高度 之和是________厘米 【考点】等差数列，方程 【答案】50 分析：设这五个烟囱分别为x-4，x-2，x，x+2，x+4，则x+4=x-2+x-4，x=10，和为5x=50 3、已知2014  a2b2   c3d3，其中 a、b、c、d 是四个正整数，请你写出满足条件的 一个乘法算式：___________ 【考点】数的拆分，分解质因数 【答案】答案不唯一 分析：2014=1×2014=2×1007=19×106= 38×53 其中一解为2014=  52 92   33 23 4、一个长方体的长、宽分别为20 厘米、15 厘米，其体积的数值与表面积的数值相等，则 它的高为______厘米（答案写为假分数） 【考点】立体几何，方程 60 【答案】 23 60 分析：设高为h，则20×15×h= （20×15+20h+15h）×2，则h= 23 5、一次中环杯比赛，满分为 100分，参赛学生中，最高分为83分，最低分为30分（所有 的分数都是整数），一共有8000 个学生参加，那么至少有_____个学生的分数相同 【考点】抽屉原理 【答案】149 分析：83-30+1=54，800054=1488，148+1=149 个 6、对 35 个蛋黄月饼进行打包，一共有两种打包规格：大包袋里每包有 9 个月饼，小包装 里每包有4个月饼。要求不能剩下月饼，那么一共打了______个包 【考点】不定方程 【答案】5 x 3 分析：设大包有 x袋，小包有y袋，（x,y均为整数）所以 9x+4y=35，易得 , y2 所以一共打了2+3=5个包7、小明和小红在600米的环形跑道上跑步，两人从同一起点同时出发，朝相反方向跑，第 一次和第二次相遇时间间隔50秒，已知小红的速度比小明慢2米/秒，则小明的速度为______ 米/秒 【考点】环形跑道，方程/和差公式 【答案】7 分析： 法一：设小红的速度为x米/秒，小明的速度为 x+2米/秒，两次相遇之间合跑一个全程，则 50（x+x+2）=600，x=5，则小明的速度为5+2=7米/秒 法二：两次相遇之间合跑一个全程，则两人速度和为 600÷50=12，两人速度差为2米/秒， 则小明（快）的速度为（12+2）÷2=7米/秒 8、我们知道，2013、2014、2015 的因数个数相同，那么具有这样性质（因数的个数相同） 的三个连续自然数n、n1、n+2中，n的最小值为_____ 【考点】分解质因数，约数个数 【答案】33 分析： 三个连续的数不可能都为质数，要使它们的因数个数一样，需要做到： ①其中没有质数（否则个数不可能相等）； ②三个数中不能有完全平方数（否则个数有奇有偶不可能相等）。 最值问题从极端情况出发，从小往大，把质数和完全平方数划去，如下所示： 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、 23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37…… 经试验，33、34、35各有4个约数，n最小为33 9、图中的正三角形与正六边形的周长相等，已知正三角形的面积是10cm2，则正六边形的 面积为_____cm2 【考点】图形切拼 【答案】15 分析： 设正六边形每个边长为 a，则正三角形每个边长为2a，分割后每个小三角形的面积 相同，10÷4×6=15 cm210、甲、乙、丙在猜一个两位数 甲说：它的因数个数为偶数，而且它比50大 乙说：它是奇数，而且它比 60大 丙说：它是偶数，而且它比 70大 如果他们三个人每个人都只说对了一半，那么这个数是_______ 【考点】逻辑推理 【答案】64 分析：由乙、丙所说一个为奇数一个为偶数，必为一真一假，若这个数大于70 则必然大于 60，所以后半句只能是这个数大于60小于 70，所以这个数是偶数； 由于这个数大于60，则甲所说的大于50是正确，所以这个数的因数个数为奇数个，必为在 50~70之间的偶数完全平方数，只有 64 11.如图，正方形 ABCD和正方形EFGH，他们的四对边互相平行。联结CG并延长交BD 于点I。已知BD=10， S =3，S =5，则BI的长度为？ △BFC △CHD A D A D I E H I E H F G F G B C B C 【考点】几何 15 【答案】 4 分析：等积变形+燕尾模型 联结BG，DG，FG∥BC，S =S =3, △BCG △BCF 同理，S =S =5, △CDG △CDH BI:DI=S S =3:5， △BCG: △CDG 15 BI=10÷(3+5)×3= 4 12.将572个桃子分给若干个孩子，这些孩子得到的桃子数量是一些连续的正整数，则获得 桃子数量最多的那个孩子最多可以得到几个桃子？ 【考点】数论，分解质因数，最值 【答案】75 分析：设第一人拿到 x+1个桃子，最后一人拿到x+k，则有 k个人。 572=（x1+x+k）k2=（2x+k+1）k2 1144=（2xk1)k，k是 1144的因数，1144=111323 要求获得桃子数量最多的孩子最多分几个，即求最大值，则人要少，k要小，从小往大枚举 k为 2,4不合题意 k=8,2x+9=143，x=67，x+k=75，获得桃子数量最多的孩子最多分 75个。 n!n1! 13、定义n!12n，比如5!12345，若 （其中 n 为正整数，且 2 1n100）是完全平方数，比如n7时，n!n1! 7!71! 7!8! 7!7!8    7!2 47!2 22就是一个完全平方数，则所 2 2 2 2 有满足条件的n的和为________ 【考点】定义新运算，完全平方数 【答案】273 分析： n！（n+1）！ n1 n1 =（n！）2 ，让 为完全平方数即可， 2 2 2 n1 =k2，n=2k2 1 2 ①k=1,n=1 ②k=2,n=7 ③k=3,n=17 ④k=4,n=31 ⑤k=5,n=49 ⑥k=6,n=71 ⑦k=7,n=97 所有满足条件的n的和为1+7+17+31+49+71+97=273 14.小明将若干棋子放入如图3*3 方格的小正方形内，每个小正方形内可以不放棋子，也可 以放等于或多余1枚棋子，现在计算每一行，每一列的棋子总数，得到6个数，这 6个数 互不相同，那么最少需要放多少枚棋子？ 【考点】最值，枚举 【答案】8 分析：尝试最小的和 0+1+2+3+4+5=15，由于三行之和=三列之和=总和，15不是偶数，所以 16÷2=8，8=0+2+6=1+3+4，经试验，可如图放置，则最少需要放8枚棋子 0 0 0 0 1 3 2 6 0 0 2 2 1 3 4 15.将A、B、C、D、E这五位老师与25个相同的座位拍成一排，之后25个学生会坐在座 位上与老师拍照。要求：A、B、C、D、E必须按字母顺序从左到右出现在这排中，而且每 个相邻座位老师之间至少有两个座位。则一共有_____种不同的安排方法(注意：安排还是指 老师与未作之间的安排，不考虑后续的学生)。 【考点】排列组合【答案】26334 分析： 25+5=30，这道题目相当于从 1~30这30个数中选 5个数，每两个数之间的差大于 2221201918 等于3，5个数4个间隔，所以30-2×4=22，即C5 = =26334种 22 54321 16.如图，在一个梯形ABCD 中，AD平行BC，BC：AD=5:7.点 F在线段AD上，点E在 线段CD上，满足AF：FD=4:3，CE：ED=2:3.如果四边形 ABEF的面积为123，则ABCD 的面积为？ 【考点】几何 【答案】180 分析：（为简化计算，可令其为直角梯形，当然，不是直角梯形的时候，可通过E 点作垂线，这时 DEF和BCE的高仍为3:2，设为3y和2y，其余步骤不变） 设AD=7x，BC=5x，DC=5y。则DF=3x，DE=3y,EC=2y。 S梯形=（AD+BC）×CD÷2=30xy， 9 41 而S S S S 30xy xy5xy= xy=123，所以 xy=6，所求面积为180 ABEF ABCD DEF BEC 2 2 17. 如图算式中，最后的乘积为_________。 【考点】数字谜 【答案】100855 18.一个五位数 ABCDE是2014 的倍数，并且CDE恰好有16个因数，则ABCDE的最小值 是？ 【考点】分解质因数，约数个数 【答案】24168 分析：最值问题从极端情况出发，既是五位数又是2014的倍数，最小为10070； 约数个数逆应用，16=16=8×2=4×4=4×2×2=2×2×2×2 ，分解质因数后指数可能是（15），（7,1）（3,1,1）（1,1,1,1）这几组。 10070 70=257 ，舍 12084 84=2237，舍 14098 98=2 72，舍 16112 112=247，舍 18126 126=2327，舍 20140 140=2257，舍 22154 154=2711，舍 24168 168=2337，符合。ABCDE最小为24168 19.10个学生排成一行，老师想要为每个学生配一顶帽子，帽子有两种颜色：红色和白色， 每种颜色的帽子数量都超过10顶。要求：任意多个连续相邻的学生里戴红帽子与戴白帽子 的人数之差最多为2。那么老师有_____种分配帽子的方法。 【考点】题意理解、有序枚举 【答案】94 分析：本题难度很大，主要在“任意多个连续相邻的学生里戴红帽子与戴白帽子的人数之差 最多为2”这句话。以下尝试几种方法来解答。 （统一用√表示带红色帽子，×表示白色帽子） 法一：有序枚举，结合图形标数法 戴 白 帽 子 b a 戴红帽子 向右一格表示戴红帽子，向上一格代表戴白帽子，一共走10格完成 注意：①同方向最多连续两步；②取的点之间，任意两个点在横方向和竖方向的格子数差最 多为2，如图 a点和b点不能同时有。（行列 1×4，2×5，3×6 都不行，易多数） 这样数下来，就是下面47种： （为了使表格在一页中显示，见下页） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ √ × √ × √ × √ × √ √ √ × √ × √ × √ × × √ √ × √ × √ × × √ √ √ √ × √ × √ × × √ × √ √ × √ × × √ × √ √√ √ × √ × × √ × √ × √ √ × √ × × √ √ × √ √ √ × √ × × √ √ × × √ √ × × √ × √ × √ √ √ √ × × √ × √ × √ × √ √ × × √ × √ √ × √ √ √ × × √ × √ √ × × √ √ × × √ √ × × √ √ √ √ × × √ √ × × √ × √ √ × × √ √ × √ × √ √ √ × × √ √ × √ × × √ × √ √ × × √ × √ √ √ × √ √ × × √ × √ × √ × √ √ × × √ √ × √ √ × √ √ × × √ √ × × √ × √ √ × √ × √ × √ √ × √ √ × √ × √ × × √ × √ √ × √ × × √ √ √ × √ √ × √ × × √ × √ × √ × √ √ × √ × √ √ × √ × √ √ × √ × × √ × √ × √ √ × × √ √ √ × √ × √ √ × × √ × √ × √ × √ × × √ √ × √ × √ × √ × × √ × √ √ × √ × √ × √ × × √ √ × √ × √ × √ × √ √ √ × √ × √ × √ × √ × √ × √ × √ × √ √ × √ √ × √ × √ × √ √ × × √ × √ × × √ × √ √ × √ × √ × × √ × √ × √ √ × √ × × √ √ × × √ √ × √ × × √ √ × √ × √ × × √ √ × × √ √ × √ × √ √ √ × × √ × √ √ × √ √ √ × √ × × √ √ × √ √ √ × √ × √ × √ × √ √ × √ √ × √ × √ × √ √ × √ √ × × √ √ × √ √ × √ × √ √ × √ × √ √ × √ × √ × √ 这是√开头的，共47中，×开头也有47 种，共47×2=94 种。 法二：分类讨论+枚举 根据“任意多个连续相邻的学生里戴红帽子与戴白帽子的人数之差最多为2”，那么全部10 名学生里戴红帽子与戴白帽子的人数之差最多也为2，因此有6红4白，5红5白，4红6 白三种。其中6红4白和 4红6白对称，种数一样。 （一）6红4白 （1）6红分三堆，红红，红红，红红4-2=2，红红与红红之间必为两白，1种： √√，××，√√，××，√√； 小计，6红分三堆共1种； （2）6红分四堆，红红，红红，红，红 ①红红，红红，红，红 红红与红红之间必为两白，1种： √√，××，√√，×，√，×，√； ②红，红，红红，红红 同①，对称性，1种； ③红红，红，红红，红 5-2=3，这两个间隔里必然一个是1白，一个是两白，2种： √√，××，√，×，√√，×，√； √√，×，√，××，√√，×，√； ④红，红红，红，红红 同③，2种 ⑤红红，红，红，红红 6-2=4，两端必然不可能放白，3种： √√，××，√，×，√，×，√√； √√，×，√，××，√，×，√√； √√，×，√，×，√，××，√√； ⑥红，红红，红红，红 红红与红红之间必为两白，1种： √，×，√√，××，√√，×，√； 小计，6红分四堆共1+1+2+2+3+1=10种； （3）6红分五堆，红红，红，红，红，红 ①红红在第一或第五位置，四个间隔各插 1白，共2种： √√，×，√，×，√，×，√，×，√； √√，×，√，×，√，×，√，×，√； ②红红在第二、三、四位置，四个间隔各插 1白，共3种： √，×，√√，×，√，×，√，×，√； √，×，√，×，√√，×，√，×，√； √，×，√，×，√，×，√√，×，√； 小计，6红分五堆共2+3=5种； 所以，6红4白共 1+10+5=16种； （二）4红6白 同6红4白，共16种； （三）5红5白 （1）5红分三堆，红红，红红，红 ①红红，红红，红 第一个间隔红红与红红之间必为两白，第二个间隔可能1白，可能两白，5种： ×，√√，××，√√，××，√； √√，××，√√，××，√，×； √√，××，√√，×，√，×× ××，√√，××，√√，×，√， ×，√√，××，√√，×，√，× ②红，红红，红红 同①，对称性，5种；③红红，红，红红 5-2=3,1+2=3，划线处两间隔必为一处1白，一处两白，6种： ××，√√，××，√，×，√√； √√，××，√，×，√√，××； ×，√√，××，√，×，√√，×； ××，√√，×，√，××，√√； √√，×，√，××，√√，××； ×，√√，×，√，××，√√，×； 小计，5红分三堆共5+5+6=16种； （2）5红分四堆，红红，红，红，红 ①红红，红，红，红 1+2=3,2+2=4，划线处三个间隔为 3到4白，9种： ×，√√，××，√，×，√，×，√； √√，××，√，×，√，×，√，×； ×，√√，×，√，××，√，×，√； √√，×，√，××，√，×，√，×； ×，√√，×，√，×，√，××，√； √√，×，√，×，√，××，√，×； ××，√√，×，√，×，√，×，√； √√，×，√，×，√，×，√，××； ×，√√，×，√，×，√，×，√，×； ②红，红，红，红红 同①，对称性，9种； ③红，红红，红，红 1+2=3，红两边间隔处最多一处为两白，根据三处间隔两白数量可为 2，1，0枚举， 11种： √，××，√√，××，√，×，√，； √，××，√√，×，√，××，√，； ×，√，××，√√，×，√，×，√； √，××，√√，×，√，×，√，×； ×，√，×，√√，××，√，×，√； √，×，√√，××，√，×，√，×； ×，√，×，√√，×，√，××，√； √，×，√√，×，√，××，√，×； ××，√，×，√√，×，√，×，√； √，×，√√，×，√，×，√，××； ×，√，×，√√，×，√，×，√，×； ④红，红，红红，红 同③，11种； 小计，5红分四堆共9+9+11+11=40 种 （3）5红分五堆，红，红，红，红，红，四个间隔各用1白，还剩1白有 6处可放，6种： ×，√，×，√，×，√，×，√，×，√； √，××，√，×，√，×，√，×，√； √，×，√，××，√，×，√，×，√； √，×，√，×，√，××，√，×，√； √，×，√，×，√，×，√，××，√； √，×，√，×，√，×，√，×，√，×；小计，5红分五堆共6种； 所以，5红5白共 16+40+6=62种； 综上，共16+16+62=94 种 20、将下图 1 中的方格用图 2 中的图形进行填充（每类图形可使用多次，且要避开黑色方 格），两个同类图形不能相邻（有公共边的图形称为相邻图形，仅有公共顶点的图形不是相 邻图形）。每一类图形可以旋转、翻折后再放入方格内。每一类图形用一个字母表示，方格 内小正方形中的字母表示这个小正方形被哪类图形填充了，下左图中用箭头标注了三行， 假设标注的第一行格子中共用到了A 个图形，标注的第二行格子中共用到了B个图形，标 注的第三行格子中共用到了C个图形，则ABC _____ 比如：我们进行如图3所示的填充后（请无视最后两行，只是作为举例，用来解释A、B、 C的含义），标注的第一行格子用到了 2个图形（一个横过来的I图形，一个旋转、翻折后 的L图形），所以A2；标注的第二行格子到了 4个图形（一个翻折的 Z图形，一个旋转 的T图形，一个T图形，一个O图形），所以B4；标注的第三行格子到了 4个图形，所 以C4。于是，答案就写为 244 A O Z A I O B T B L O T C T C Z T Z 【考点】智巧趣题 【答案】333 A=3 O Z B=3 T O C=3 T T Z 所以ABC333。 （\(^o^)/~特别感谢苏昊老师、俞家老师、朱博老师、焦俊老师、吴 中亚老师、邵国栋老师、刘泽南老师、张岱鹏老师、范基程老师、景 亚军老师）