2015第十五届中环杯五年级决赛详解_小学奥数举一反三1-6年级相关课程_奥数历年杯赛真题全套（PDF、Word可打印）_06、其他-中环杯真题（部分年限二、三、四、五年级）_决赛_五年级

第 15届中环杯决赛试题解析（五年级） 一、填空题A（本大题共 8小题，每题 6分，共 48 分）： 1 3 316 4 1. 计算： 91131  5 7 ________. 2015 1 1 1  5 7 【答案】2 【解答】 1 3 316 4 91131 5 7  2015 1 1 1  5 7 31 31 31  9931 5 7   2015 1 1 1  5 7  1 1 311   130  5 7   51331 1 1 1  5 7 2  312 31 2. 老师布置了一些数学回家作业。由于小明基础不好，所以小明收到的题目数量比小王 收到的题目数量多20道。若两人收到的题目数量之比为4:3，则小明回家需要完成 ________道题目。 【答案】80 【解答】设小明收到了4x道题目，则小王收到了3x道题目，根据题意 4x3x20x20，所以小明需要完成4x42080道题目。 3. 如图，正八边形的边长为1，将其进行下图的切割，切割后灰色部分面积与斜线部分 面积之差为________（大减小）。1 【答案】 4 【解答】如下图，A,B与C,D抵消，剩下的中间的正方形可以切割为四个等腰直角 1 三角形，其中三个与灰色部分抵消，留下的一个面积就是 4 【说明】考察等腰直角三角形用斜边表示的面积公式 A C B D 4. 在一组英文字母串中，第一个字母串a  A、第二个字母串a B，之后每个字母串 1 2 a n3都是由a 后面跟着a 的反转构成的。比如a a a BA（我们用a 表示a 的 n n1 n2 3 2 1 i i 反转，就是从右往左读这个字母串得到的结果，比如ABBBBA、AABAABAA）， a a a BAB，a a a BABAB，a a a BABABBAB。那么，这组字母串的前1000 4 3 2 5 4 3 6 5 4 个中，有________个是回文字母串（所谓的回文字母串，就是指从左往右读与从右往 左读相同，比如ABA、AABAA） 【答案】667 【解答】通过尝试，我们发现只有a 、a 、a 、、a 不是回文字母串，别的 3 6 9 999 都是，那么可以直接得到答案：一共只有333个非回文字母串，剩下的 1000333667个都是回文字母串。接下来严格证明一下（考场上没有时间的话，这部分可以忽略）： 假设a P，a Q，那么a QP，a QPQ。由于在P两边Q与Q可以保证其 n n1 n2 n3 回文特性，最后a 是否为回文字母串就取决于P的情况。如果a P为回文字母 n3 n 串，那么a QPQ也是回文字母串；如果a P不是回文字母串，那么a QPQ n3 n n3 也不是回文字母串。考虑到a 、a 都是回文字母串，所以a ,a ,,a 与a ,a ,,a 1 2 4 7 1000 5 8 998 都是回文字母串。而a BA不是回文字母串，所以a ,a ,,a 不是回文字母串。至 3 6 9 999 此，已经证明了前面的猜测。 5. 如下左图，七个字母放置在圆中，每次将包含中心圆的三个圆（这三个圆的圆心构成 等边三角形）顺时针旋转120，这样称为一次操作。比如可以将A,B,D进行旋转，从 而B出现在原D的位置（用BD表示这个旋转），DA，AB。也可以将D,E,F 进行旋转（DE，EF，FD），但是不能将A,D,G或者C,B,E进行旋转。经过 若干次操作后，得到下右图。那么，最少需要操作________次。 E F C A F D B B C A E G D G 【答案】3 【解答】由于除了G以外，外围的5个圆中的字母位置都变了，而每次操作只能改 变外围2个圆中的字母位置，所以至少需要3次。如下图，第一次旋转F,D,E，第 二次旋转A,B,F，第三次旋转E,C,B C A C A C F E F F D B E F B E B A B C A E G D G D G D G6. 我们用S 表示一个首项为k，公差为k2的等差数列，比如S 为3、12、21、。如果 k 3 306是S 中的一项，满足条件的k之和为_______。 k 【答案】326 【解答】由于S 的首项为k，公差为k2，所以其中的某一项可以表示为 k kmk2 k1mk。如果306是S 中的一项，则k1mk306k|306。由于 k 30623217，满足条件的k1、2、17、306（注意，当k306时，k1mk；当 k306时，m0），所以这些数之和为1217306326 7. 下图的三角形网格中，有________条直线能正好经过其中的两个点 【答案】60 【解答】首先，这里一共有 19个点，所以会产生C2 171条直线。然后我们将其中 19 通过超过2个点的直线数量减去，就得到最后的答案了。 （1）通过3个点的直线有 15条，如下图所示，一共导致15C2条直线不满足要求 3 （2）通过4个点的直线有 6条，如下图所示，一共导致6C2条直线不满足要求 4（3）通过5个点的直线有 3条，如下图所示，一共导致3C2条直线不满足要求 5 综上所述，本题的答案为17115C2 6C2 3C2 17145363060 3 4 5 8. 如图，直角ABC中，AB3,AC4，点D、E、F、G、H、I都在长方形KLMJ 上，且 ABED、ACHI、BCGF都是正方形。则KLMJ 的面积为________。 J I D H A E M C B K F G L 【答案】110 【解答】如下图，进行切割后，得到弦图ANLO，所以得到四个相同的三角形： 1 ABC、NFB、LGF、OCG，面积均为 346，然后三个正方形的面积之和 2 为9162550，三个矩形的面积均为3412，所以总面积为 4650123245036110J I D H A E M C B K O N F G L 二、填空题B（本大题共 4小题，每题 8分，共 32 分）： 9. 计算：  104 94 84 74 24 14   102 92 582 572 962 952 1342 1332 _____. 【答案】7615 104 94   102 92   102 92 109109  102 92 19  102 92   84 74   82 72   82 72 8787  82 72 15  82 72 【解答】由于    24 14   22 12   22 12 2121  22 12 3  22 12  所以  104 94 84 74 24 14   102 92 582 572 962 952 1342 1332 19  102 92 15  82 72 3  22 12    102 92 5  82 72 9  62 52 13  42 32 17  22 1217  22 12   20  102 92 22 12 17  22 12 1 20 101121175 6 7615 10. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发（甲从A出发），相向而行，在两地之间不停地 往返行走，甲的速度是乙的 4倍。已知A、B之间相距S千米，其中S为正整数，并且 S有8个因数。第一次两人在C处碰头（注意：这里的碰头可以指迎面相遇，也可以 指背后追到），AC的长度是一个整数；第二次两人在D处碰头，AD的长度还是一个整数；第二次碰头后，乙感觉自己速度太慢，所以在D处附近的村子问老乡借摩托 车。等他借到摩托车回到D处时，甲已经到达E处（甲还没有到过A地），AE的长 度又是一个整数；最后，乙骑着摩托车去追甲，摩托车的速度是甲速度的 14倍，两 人同时达到A地。那么，A、B两地相距_____千米。 【答案】105 4 4 【解答】由于甲的速度是乙的4倍，所以第一次碰头时，AC  S 。根据题意， S 5 5 为整数，所以5|S； 还是由于甲的速度是乙的4倍，如果乙走了S千米，甲要走4S 千米，已经两个来回 了，所以第二次碰头时，甲应该是追到乙。设乙走了x千米，则甲走了4x千米，得 S S 2 2 到方程4xxSx ，此时ADS  S 千米。根据题意， S为整数，所以 3 3 3 3 3|S ； 2 接下来乙去借摩托车，甲继续走。考虑到摩托车的速度是甲速度的 14倍，将 S分 3 成14份，甲走了13份的时候，乙回到D处，然后两人可以同时到达A地。所以， 2 1 1 1 我们推出AE S  S。根据题意， S 为整数，所以21|S 。 3 14 21 21 5|S 5|S   综上所述， 3|S 3|S 。由于S有8个因数，所以S357105千米。   21|S 7|S 11. 对任意正整数m、n，定义rm,n为mn的余数（比如r8,3表示83的余数，所以 r8,32）。那么满足方程rm,1rm,2rm,3rm,104的最小正整数解为 _____. 【答案】120 【解答】如果m1mod2，那么m除以4、6、8、10的余数不可能为0，此时的余 数之和超过4了，所以m0mod2。由于余数之和为 4，对于一个偶数来说，它除 以8的余数只能是 0、2或4（如果是6就超过 4了）。（1）如果这个数除以 8的余数为4，则它必须为 3，5，7，9，10的公倍数，由于 3,5,7,9,10630，为了满足除以 8的余数为4，这个数至少为63021260； （2）如果这个数除以 8的余数为2，则它除以 4的余数也为2（4个余数都用完 了），所以它还是必须为 3，5，7，9，10的公倍数，这个数至少为63031890； （3）如果这个数除以 8的余数为0，则m0mod2、m0mod4、m0mod8。 我们要进一步分析。如果m除以3的余数不是 0，那么它除以6，9的余数也不会为 0。由于m为偶数，所以m除以6的余数至少为 2。为了使得余数之和为 4，则只能 m1mod3  是 m2mod6，但是m2mod6m2mod3，矛盾，所以这个数一定是 3的倍  m1mod9  数。由于这是一个偶数，而且它又是 3的倍数，所以必定是 6的倍数，所以 m0mod3  。至此，我们已经推出：m0mod1、m0mod2、m0mod3、  m0mod6 m0mod4、m?mod5、m0mod6、m?mod7、m0mod8、 m?mod9、m?mod10（?表示还不能确定的余数）。接下来对m除以 9的余数 进行讨论： （3.1）如果m3mod9，只剩下1个余数了。考虑到 m1mod5m1or6mod10  ，所以剩下的余数应该给 7，也就是说m0mod5、  m1mod10m1mod5 m1mod7、m3mod9、m0mod10，此时m最小为120； m0mod8 （3.2）如果m0mod9，剩下4个余数。由于  ，此时m已经是  m0mod9 8,972的倍数了。显然72不满足我们的要求，而722已经超过120了； 综上所述，m最小为 120 12. 6个正整数a,b,c,d,e,f 按字母顺序排成一排，构成一个数列，其中a1。如果某个正 整数大于1，那么比这个正整数小 1的数肯定出现在它的左边。比如d 1，则a,b,c中必有一个值为d1。举例：1，1，2，1，3，2满足要求；1，2，3，1，4，1满足要 求；1，2，2，4，3，2不满足要求。满足要求的不同排列有______个。 【答案】203 【解答】我们用b 表示满足题目要求的n个自然数构成的数列个数，显然b 1， n 1 接下来计算b ，这个数列由两个正整数构成。由于a1，那么b1或2，如果 2 a1 a1  ，那么这个数列中的数最大为 1，这样的数列有 1个；如果  ，那么这个 b1 b2 数列中的数最大为 2，这样的数列有1个。我们用下面的写法表示计数： 1  1 b    ； 2 数列中的数最大为1 数列中的数最大为2 接下来计算b ，这个数列由三个正整数构成。（1）为了使得数列中的数最大为 1， 3 则前面的数只能都为 1，所以只有1个。（2）为了使得数列中的数最大为 2，有两 种可能：前面的数都是 1，最后一个数填2，这样的数列有 1个，这个 1就是前面b 2 中的第一个数字；前面的数已经到达 2了，那么最后一个数可以是 1，可以是 2， 所以有12个。其中 1就是b 中的第二个数字，2表示最后一个数字有两种写法； 2 （3）为了使得数列中的数最大为 3，则前面两个数构成的数列必须到达最大为 2的 情况，这样的数列有 1个，这个1就是前面b 中的第二个数字。我们用下面的写法 2 1  112  1 b     3 数列中的数最大为1 数列中的数最大为2 数列中的数最大为3 表示计数： ； 1  3  1     数列中的数最大为1 数列中的数最大为2 数列中的数最大为3 利用相同的推导方法，我们得到下面的结果：1  132  313  1 b      4 数列中的数最大为1 数列中的数最大为2 数列中的数最大为3 数列中的数最大为4 1  7  6  1      数列中的数最大为1 数列中的数最大为2 数列中的数最大为3 数列中的数最大为4 b 11727636141 5 11525101 b 11152152532510410151 6 1319065151203 三、动手动脑题（本大题共 2 小题，每题 10分，共 20 分）： 13. 用1，2，3，4，5，6，7，9这8个数码组成4个两位质数（每一个数码必须且只能 用一次），这4个质数有多少种不同的可能？ 【答案】4 【解答】容易知道 2、4、5、6只能作为十位数，设这四个两位质数为2a、4b、 5c、6d。剩下的四个数字为 1、3、7、9，简单分析一下得a1,7，b9，c1,7， a1,7 d 3,9。由于 a,c只能取 3、9，剩下的 1、7要分给b,d ，一共有224种 c1,7 a3 a9 b1 b7 可能（第1个2表示 或者 ，第2个 2表示 或者 ） c9 c3 d 7 d 1 14. 如图，ABC中，BDDC。在AC边上有一块奶酪，其位置在最靠近点C的四等分点 上。在AD上有三个透视镜W、W、W ，这三个透视镜将AD四等分。有一只疑心病很 1 2 3 重的老鼠在AB上爬行（从A爬往B），AB400米。当老鼠，某个透镜，奶酪在一条 直线上时，老鼠能观察到奶酪。由于老鼠的疑心病很重，它希望多次看到这块奶酪， 这样就可以保证在它还没有爬到前，这块奶酪没有被别的老鼠吃掉。所以它第1分钟 往前爬80米，第2分钟往回退20米，第3分钟往前爬80米，第4分钟往回退20米。 ，依次类推。当这只老鼠爬到点B后，它直接沿着BC冲过去吃奶酪。问：老鼠 在AB段上一共可以看到多少次奶酪。A W 1 W 2 W 奶酪 3 B D C 【答案】5 【解答】本题的关键就是要求出哪几个点可以看到奶酪。设奶酪的位置为E（如下 AE AW 3 AG 3 图），由于  3  ，所以G E //BC，从而推出 3  。由于AB400米，所 AC AD 4 3 AB 4 以AG 300米。本题的难点就在于如何求出AG,AG 的长度。 3 1 2 A G 1 W 1 G 2 W 2 G 3 E W 3 B D C 我们先来求AG ，这里提供两种思路： 2 思路一：如下图，延长G E与BC延长线交于点H 。ADC被W EH 所截，所以 2 2 AW DH CE DH 1 DH 2   11  1 3。设CH a，则DC2a，所以 W D HC EA HC 3 HC 2 BDDC2a。而ABD被GW H 所截，所以 2 2 AG BH DW AG 5 AG 3 AG 3 2   2 1 2  11 2   2  。由于AB400米，所以 G B HD W A G B 3 G B 5 AB 8 2 2 2 2 AG 150米 2A G 2 W 2 E B D C H AJ AE 3 思路二：如下图，作EI//AK//BC，则   。设AD4k，则AJ 3k。由于 AD AC 4 AK AW W 为AD中点，所以AW 2k，从而推出  2 2AK 2EJ 。由于 2 2 EJ W J 2 EJ AJ IJ   ，而DCBD，所以EJ IJ IE2EJ。而AK2EJ ，所以AK IE， DC AD BD AG AK AI AE 3 AG 3 所以 2  1。由于   ，再结合AG G I ，我们推出 2  。由于 G I IE AB AC 4 2 2 AB 8 2 AB400米，所以AG 150米 2 K A G 2 M W 2 I E J B D C 用同样的方法，我们可以推出AG 60米，至此我们得AG 60、AG 150、 1 1 2 AG 300。而对于老鼠来说，它走的路程的情况如下所示： 3 0第1次看到80第2次看到60140120第3次看到200180260240 第4次看到320第5次看到300380360400 所以，一共看到了五次