2015第十五届中环杯五年级决赛详解_小学奥数举一反三1-6年级相关课程_奥数历年杯赛真题全套（PDF、Word可打印）_06、其他-中环杯真题（部分年限二、三、四、五年级）_决赛_五年级

第 15届中环杯决赛试题解析（五年级）
一、填空题A（本大题共 8小题，每题 6分，共 48 分）：
1 3
316 4
1. 计算： 91131  5 7 ________.
2015 1 1
1 
5 7
【答案】2
【解答】
1 3
316 4
91131 5 7

2015 1 1
1 
5 7
31 31
31 
9931 5 7
 
2015 1 1
1 
5 7
 1 1
311  
130  5 7
 
51331 1 1
1 
5 7
2
 312
31
2. 老师布置了一些数学回家作业。由于小明基础不好，所以小明收到的题目数量比小王
收到的题目数量多20道。若两人收到的题目数量之比为4:3，则小明回家需要完成
________道题目。
【答案】80
【解答】设小明收到了4x道题目，则小王收到了3x道题目，根据题意
4x3x20x20，所以小明需要完成4x42080道题目。
3. 如图，正八边形的边长为1，将其进行下图的切割，切割后灰色部分面积与斜线部分
面积之差为________（大减小）。1
【答案】
4
【解答】如下图，A,B与C,D抵消，剩下的中间的正方形可以切割为四个等腰直角
1
三角形，其中三个与灰色部分抵消，留下的一个面积就是
4
【说明】考察等腰直角三角形用斜边表示的面积公式
A
C B
D
4. 在一组英文字母串中，第一个字母串a  A、第二个字母串a B，之后每个字母串
1 2
a n3都是由a 后面跟着a 的反转构成的。比如a a a BA（我们用a 表示a 的
n n1 n2 3 2 1 i i
反转，就是从右往左读这个字母串得到的结果，比如ABBBBA、AABAABAA），
a a a BAB，a a a BABAB，a a a BABABBAB。那么，这组字母串的前1000
4 3 2 5 4 3 6 5 4
个中，有________个是回文字母串（所谓的回文字母串，就是指从左往右读与从右往
左读相同，比如ABA、AABAA）
【答案】667
【解答】通过尝试，我们发现只有a 、a 、a 、、a 不是回文字母串，别的
3 6 9 999
都是，那么可以直接得到答案：一共只有333个非回文字母串，剩下的
1000333667个都是回文字母串。接下来严格证明一下（考场上没有时间的话，这部分可以忽略）：
假设a P，a Q，那么a QP，a QPQ。由于在P两边Q与Q可以保证其
n n1 n2 n3
回文特性，最后a 是否为回文字母串就取决于P的情况。如果a P为回文字母
n3 n
串，那么a QPQ也是回文字母串；如果a P不是回文字母串，那么a QPQ
n3 n n3
也不是回文字母串。考虑到a 、a 都是回文字母串，所以a ,a ,,a 与a ,a ,,a
1 2 4 7 1000 5 8 998
都是回文字母串。而a BA不是回文字母串，所以a ,a ,,a 不是回文字母串。至
3 6 9 999
此，已经证明了前面的猜测。
5. 如下左图，七个字母放置在圆中，每次将包含中心圆的三个圆（这三个圆的圆心构成
等边三角形）顺时针旋转120，这样称为一次操作。比如可以将A,B,D进行旋转，从
而B出现在原D的位置（用BD表示这个旋转），DA，AB。也可以将D,E,F
进行旋转（DE，EF，FD），但是不能将A,D,G或者C,B,E进行旋转。经过
若干次操作后，得到下右图。那么，最少需要操作________次。
E F
C A
F D B B C A
E G D G
【答案】3
【解答】由于除了G以外，外围的5个圆中的字母位置都变了，而每次操作只能改
变外围2个圆中的字母位置，所以至少需要3次。如下图，第一次旋转F,D,E，第
二次旋转A,B,F，第三次旋转E,C,B
C A C A C F E F
F D B E F B E B A B C A
E G D G D G D G6. 我们用S 表示一个首项为k，公差为k2的等差数列，比如S 为3、12、21、。如果
k 3
306是S 中的一项，满足条件的k之和为_______。
k
【答案】326
【解答】由于S 的首项为k，公差为k2，所以其中的某一项可以表示为
k
kmk2 k1mk。如果306是S 中的一项，则k1mk306k|306。由于
k
30623217，满足条件的k1、2、17、306（注意，当k306时，k1mk；当
k306时，m0），所以这些数之和为1217306326
7. 下图的三角形网格中，有________条直线能正好经过其中的两个点
【答案】60
【解答】首先，这里一共有 19个点，所以会产生C2 171条直线。然后我们将其中
19
通过超过2个点的直线数量减去，就得到最后的答案了。
（1）通过3个点的直线有 15条，如下图所示，一共导致15C2条直线不满足要求
3
（2）通过4个点的直线有 6条，如下图所示，一共导致6C2条直线不满足要求
4（3）通过5个点的直线有 3条，如下图所示，一共导致3C2条直线不满足要求
5
综上所述，本题的答案为17115C2 6C2 3C2 17145363060
3 4 5
8. 如图，直角ABC中，AB3,AC4，点D、E、F、G、H、I都在长方形KLMJ 上，且
ABED、ACHI、BCGF都是正方形。则KLMJ 的面积为________。
J
I
D
H
A
E
M
C
B
K
F G
L
【答案】110
【解答】如下图，进行切割后，得到弦图ANLO，所以得到四个相同的三角形：
1
ABC、NFB、LGF、OCG，面积均为 346，然后三个正方形的面积之和
2
为9162550，三个矩形的面积均为3412，所以总面积为
4650123245036110J
I
D
H
A
E
M
C
B
K
O
N
F G
L
二、填空题B（本大题共 4小题，每题 8分，共 32 分）：
9. 计算：
 104 94 84 74 24 14   102 92 582 572 962 952 1342 1332 _____.
【答案】7615
104 94   102 92   102 92 109109  102 92 19  102 92

 84 74   82 72   82 72 8787  82 72 15  82 72
【解答】由于



24 14   22 12   22 12 2121  22 12 3  22 12

所以
 104 94 84 74 24 14   102 92 582 572 962 952 1342 1332
19  102 92 15  82 72 3  22 12
 
 102 92 5  82 72 9  62 52 13  42 32 17  22 1217  22 12
 
20  102 92 22 12 17  22 12
1
20 101121175
6
7615
10. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发（甲从A出发），相向而行，在两地之间不停地
往返行走，甲的速度是乙的 4倍。已知A、B之间相距S千米，其中S为正整数，并且
S有8个因数。第一次两人在C处碰头（注意：这里的碰头可以指迎面相遇，也可以
指背后追到），AC的长度是一个整数；第二次两人在D处碰头，AD的长度还是一个整数；第二次碰头后，乙感觉自己速度太慢，所以在D处附近的村子问老乡借摩托
车。等他借到摩托车回到D处时，甲已经到达E处（甲还没有到过A地），AE的长
度又是一个整数；最后，乙骑着摩托车去追甲，摩托车的速度是甲速度的 14倍，两
人同时达到A地。那么，A、B两地相距_____千米。
【答案】105
4 4
【解答】由于甲的速度是乙的4倍，所以第一次碰头时，AC  S 。根据题意， S
5 5
为整数，所以5|S；
还是由于甲的速度是乙的4倍，如果乙走了S千米，甲要走4S 千米，已经两个来回
了，所以第二次碰头时，甲应该是追到乙。设乙走了x千米，则甲走了4x千米，得
S S 2 2
到方程4xxSx ，此时ADS  S 千米。根据题意， S为整数，所以
3 3 3 3
3|S ；
2
接下来乙去借摩托车，甲继续走。考虑到摩托车的速度是甲速度的 14倍，将 S分
3
成14份，甲走了13份的时候，乙回到D处，然后两人可以同时到达A地。所以，
2 1 1 1
我们推出AE S  S。根据题意， S 为整数，所以21|S 。
3 14 21 21
5|S 5|S
 
综上所述， 3|S 3|S 。由于S有8个因数，所以S357105千米。
 
21|S 7|S
11. 对任意正整数m、n，定义rm,n为mn的余数（比如r8,3表示83的余数，所以
r8,32）。那么满足方程rm,1rm,2rm,3rm,104的最小正整数解为
_____.
【答案】120
【解答】如果m1mod2，那么m除以4、6、8、10的余数不可能为0，此时的余
数之和超过4了，所以m0mod2。由于余数之和为 4，对于一个偶数来说，它除
以8的余数只能是 0、2或4（如果是6就超过 4了）。（1）如果这个数除以 8的余数为4，则它必须为 3，5，7，9，10的公倍数，由于
3,5,7,9,10630，为了满足除以 8的余数为4，这个数至少为63021260；
（2）如果这个数除以 8的余数为2，则它除以 4的余数也为2（4个余数都用完
了），所以它还是必须为 3，5，7，9，10的公倍数，这个数至少为63031890；
（3）如果这个数除以 8的余数为0，则m0mod2、m0mod4、m0mod8。
我们要进一步分析。如果m除以3的余数不是 0，那么它除以6，9的余数也不会为
0。由于m为偶数，所以m除以6的余数至少为 2。为了使得余数之和为 4，则只能
m1mod3

是 m2mod6，但是m2mod6m2mod3，矛盾，所以这个数一定是 3的倍

m1mod9

数。由于这是一个偶数，而且它又是 3的倍数，所以必定是 6的倍数，所以
m0mod3

。至此，我们已经推出：m0mod1、m0mod2、m0mod3、

m0mod6
m0mod4、m?mod5、m0mod6、m?mod7、m0mod8、
m?mod9、m?mod10（?表示还不能确定的余数）。接下来对m除以 9的余数
进行讨论：
（3.1）如果m3mod9，只剩下1个余数了。考虑到
m1mod5m1or6mod10

，所以剩下的余数应该给 7，也就是说m0mod5、

m1mod10m1mod5
m1mod7、m3mod9、m0mod10，此时m最小为120；
m0mod8
（3.2）如果m0mod9，剩下4个余数。由于

，此时m已经是

m0mod9
8,972的倍数了。显然72不满足我们的要求，而722已经超过120了；
综上所述，m最小为 120
12. 6个正整数a,b,c,d,e,f 按字母顺序排成一排，构成一个数列，其中a1。如果某个正
整数大于1，那么比这个正整数小 1的数肯定出现在它的左边。比如d 1，则a,b,c中必有一个值为d1。举例：1，1，2，1，3，2满足要求；1，2，3，1，4，1满足要
求；1，2，2，4，3，2不满足要求。满足要求的不同排列有______个。
【答案】203
【解答】我们用b 表示满足题目要求的n个自然数构成的数列个数，显然b 1，
n 1
接下来计算b ，这个数列由两个正整数构成。由于a1，那么b1或2，如果
2
a1 a1

，那么这个数列中的数最大为 1，这样的数列有 1个；如果

，那么这个
b1 b2
数列中的数最大为 2，这样的数列有1个。我们用下面的写法表示计数：
1  1
b    ；
2
数列中的数最大为1 数列中的数最大为2
接下来计算b ，这个数列由三个正整数构成。（1）为了使得数列中的数最大为 1，
3
则前面的数只能都为 1，所以只有1个。（2）为了使得数列中的数最大为 2，有两
种可能：前面的数都是 1，最后一个数填2，这样的数列有 1个，这个 1就是前面b
2
中的第一个数字；前面的数已经到达 2了，那么最后一个数可以是 1，可以是 2，
所以有12个。其中 1就是b 中的第二个数字，2表示最后一个数字有两种写法；
2
（3）为了使得数列中的数最大为 3，则前面两个数构成的数列必须到达最大为 2的
情况，这样的数列有 1个，这个1就是前面b 中的第二个数字。我们用下面的写法
2
1  112  1
b    
3
数列中的数最大为1 数列中的数最大为2 数列中的数最大为3
表示计数： ；
1  3  1
   
数列中的数最大为1 数列中的数最大为2 数列中的数最大为3
利用相同的推导方法，我们得到下面的结果：1  132  313  1
b     
4
数列中的数最大为1 数列中的数最大为2 数列中的数最大为3 数列中的数最大为4
1  7  6  1
    
数列中的数最大为1 数列中的数最大为2 数列中的数最大为3 数列中的数最大为4
b 11727636141
5
11525101
b 11152152532510410151
6
1319065151203
三、动手动脑题（本大题共 2 小题，每题 10分，共 20 分）：
13. 用1，2，3，4，5，6，7，9这8个数码组成4个两位质数（每一个数码必须且只能
用一次），这4个质数有多少种不同的可能？
【答案】4
【解答】容易知道 2、4、5、6只能作为十位数，设这四个两位质数为2a、4b、
5c、6d。剩下的四个数字为 1、3、7、9，简单分析一下得a1,7，b9，c1,7，
a1,7
d 3,9。由于 a,c只能取 3、9，剩下的 1、7要分给b,d ，一共有224种
c1,7
a3 a9 b1 b7
可能（第1个2表示 或者 ，第2个 2表示 或者 ）
c9 c3 d 7 d 1
14. 如图，ABC中，BDDC。在AC边上有一块奶酪，其位置在最靠近点C的四等分点
上。在AD上有三个透视镜W、W、W ，这三个透视镜将AD四等分。有一只疑心病很
1 2 3
重的老鼠在AB上爬行（从A爬往B），AB400米。当老鼠，某个透镜，奶酪在一条
直线上时，老鼠能观察到奶酪。由于老鼠的疑心病很重，它希望多次看到这块奶酪，
这样就可以保证在它还没有爬到前，这块奶酪没有被别的老鼠吃掉。所以它第1分钟
往前爬80米，第2分钟往回退20米，第3分钟往前爬80米，第4分钟往回退20米。
，依次类推。当这只老鼠爬到点B后，它直接沿着BC冲过去吃奶酪。问：老鼠
在AB段上一共可以看到多少次奶酪。A
W
1
W
2
W 奶酪
3
B D C
【答案】5
【解答】本题的关键就是要求出哪几个点可以看到奶酪。设奶酪的位置为E（如下
AE AW 3 AG 3
图），由于  3  ，所以G E //BC，从而推出 3  。由于AB400米，所
AC AD 4 3 AB 4
以AG 300米。本题的难点就在于如何求出AG,AG 的长度。
3 1 2
A
G
1
W
1
G
2
W
2
G
3 E
W
3
B D C
我们先来求AG ，这里提供两种思路：
2
思路一：如下图，延长G E与BC延长线交于点H 。ADC被W EH 所截，所以
2 2
AW DH CE DH 1 DH
2   11  1 3。设CH a，则DC2a，所以
W D HC EA HC 3 HC
2
BDDC2a。而ABD被GW H 所截，所以
2 2
AG BH DW AG 5 AG 3 AG 3
2   2 1 2  11 2   2  。由于AB400米，所以
G B HD W A G B 3 G B 5 AB 8
2 2 2 2
AG 150米
2A
G
2
W
2
E
B D C H
AJ AE 3
思路二：如下图，作EI//AK//BC，则   。设AD4k，则AJ 3k。由于
AD AC 4
AK AW
W 为AD中点，所以AW 2k，从而推出  2 2AK 2EJ 。由于
2 2 EJ W J
2
EJ AJ IJ
  ，而DCBD，所以EJ IJ IE2EJ。而AK2EJ ，所以AK IE，
DC AD BD
AG AK AI AE 3 AG 3
所以 2  1。由于   ，再结合AG G I ，我们推出 2  。由于
G I IE AB AC 4 2 2 AB 8
2
AB400米，所以AG 150米
2
K A
G
2
M
W
2
I E
J
B D C
用同样的方法，我们可以推出AG 60米，至此我们得AG 60、AG 150、
1 1 2
AG 300。而对于老鼠来说，它走的路程的情况如下所示：
3
0第1次看到80第2次看到60140120第3次看到200180260240
第4次看到320第5次看到300380360400
所以，一共看到了五次