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高三数学考试参考答案!文科"
!!#!#解析$本题考查集合的运算%考查数学运算的核心素养!
依题意得"$!#"%&#&%##&"$#’$(%$则$$"$!!$)"!
&!*!#解析$本题考查复数的运算%考查数学运算的核心素养!
设%$&+’,&&$’%!’$因为,%$!+(,$所以,&&+’,’$%’+&,$!+(,$
’&$($
所以& 即%$(%,$所以复数%在复平面内对应的点为&($%!’$位于第四象限!
(’$%!$
)!#!#解析$本题考查椭圆的离心率%考查数学运算的核心素养!
& 槡)
由题可知&&$(&+&$’&$(&$)&$&&%’&$&$ $& ’&$解得($-&!
(&+& )
(!.!#解析$本题考查线与面的位置关系%考查逻辑推理的核心素养!
当()*时$(可能在!内或者
"
内$故不能推出()" 且()!!
当()" 且()!时$设存在直线+*!$++" $且+)($因为()" $所以+)" $
根据直线与平面平行的性质定理$可知+)*$所以()*!
故(()*)是(()" 且()!)的必要不充分条件!
/!.!#解析$本题考查线性规划%考查数形结合的数学思想以及运算求解能力!
)
画出可行域知&图略’$当**,%(#$’过点& $&’时$%取得最小值$且最小值为%(!
&
"!#!#解析$本题考查古典概型%考查逻辑推理的核心素养!
设三人为$$"$-$则参加晚会的情况有$$"$-$$"$$-$"-$$"-$共0种情况$其中恰有一
)
人参加晚会的情况有)种$故所求的概率为 !
0
0!*!#解析$本题考查等差数列%考查运算求解能力!
!"&&+& ’
因为!&"是等差数列$所以&+& $&+& $!’$故. $ ! !" $1’!
+ ! !" ) !( !" &
1!2!#解析$本题考查程序框图%考查逻辑推理的核心素养!
因为.,/时$执行循环体$.-/时$结束循环$输出+$0$
所以执行程序框图$+$!$.$’+.$!$+$)+.$!+)$($+$/+.$(+/$3$+$0$结束循环$
则/的取值范围为&($3%!
3!*!#解析$本题考查复合函数以及三角函数的图象%考查数形结合的数学思想以及运算求解
能力!
因为0&%#’$0&#’$所以0&#’是偶函数$!正确+0&#+"’$&"4,5&#+"’"674&#+"’$&%"4,5#"674#.
0&#’$#错误+当#%#"$ /" %时$0&#’$&"4,5#"674#$&%4,5#674#$&%! &4,5&#$因为&#%#&"$ /" %$所
( &
! /" /"
以,$% 4,5&#在#"$ %上单调递减$又,$&#单调递增$所以0&#’在#"$ %上单调递
& ( (
!高三数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$文科%
{#{QQABCYSUgggIAJAAARhCAwFSCkOQkAGCCKoGgFAIoAAACBNABAA=}#}
书书书减$$正确+因为0&#+&"’$0&#’$所以0&#’是周期为&"的周期函数$当#%#’$&"%时$
0&#’$&"4,5#"674#$&
’& ! &4,5&#$#%#’$"%$
则0&#’的最小值为&%! &$ 槡& $%正确!故选*!
(&%! &4,5&#$#%&"$&"%$ &
!’!.!#解析$本题考查导数的几何意义%考查逻辑推理的核心素养!
!
在曲线,$85#上任取一点1&2$852’$对函数,$85#求导$得,3$ $
#
!
所以曲线,$85#在点1处的切线方程为,%852$ &#%2’!
2
!
由题意可知$点&&$&’在直线,%852$ &#%2’上$可得&$)2%2852!
2
令0&2’$)2%2852$2%&’$+9’$则03&2’$)%852%!$&%852!
当2%&:&$+9’时$03&2’,’$0&2’单调递减$当2%&’$:&’时$03&2’/’$0&2’单调递增$所以
0&2’ $0&:&’$:&$且当2%&’$:)’时$0&2’/’$当2%&:)$+9’时$0&2’,’$又直线,$&
;<=
与曲线,$0&2’的图象有两个交点$所以&的取值范围为&’$:&’!
!!!.!#解析$本题考查双曲线的渐近线%考查数形结合的数学思想!
由题可知*经过第二,四象限$*经过第一,三象限$设*的倾斜角为#!
! & &
" " " " "
当#%&’$ ’时$则)#$ $即#$ $><5#$><5& % ’$&%槡)$
( ( !& ( "
’ )& ’&
即 $&%槡)$所以4&$ $!+ $1%(槡)!
& && &&
" " " /" " "
当#%& $ ’时$&#+#% $"$即#$ $><5#$><5& + ’$槡)+&$
( & ( !& " (
’ )& ’&
即 $&+槡)$所以4&$ $!+ $1+(槡)!
& && &&
综上$双曲线-的离心率的平方为1-(槡)!
!&!#!#解析$本题考查抽象函数以及函数的性质%考查逻辑推理的核心素养!
)
由0&#+)’$%0&%#’$可得0&#’的图象关于点& $’’对称$又0&#’是奇函数$所以
&
0&#+)’$%0&%#’$0&#’$则0&#’的周期为)$所以0&’’$0&)’$0&"’$’$0&&’$0&/’
$0&%&’$0&!’$0&(’$’$0&!!/’$%0&!!/’$则0&!!/’$0&(!/’$’!
&"# &"#
故0&#’在#’$"%上的零点个数的最小值为3!取0&#’$4,5 &!+&674 ’$显然满足题
) )
意$且恰好在#’$"%上有3个零点!
!
!)! !#解析$本题考查对数的运算%考查数学运算的核心素养!
(
!
由87?)#$!$可得)#$&$则3%#$)%&#$&)#’%&$&%&$ !
& (
!(!%!或&!#解析$本题考查平面向量%考查数学运算的核心素养!
因为"!%(""&$!&%&(!-"+(&"&$)$所以!%(+(&$)$解得($%!或($&!
!高三数学"参考答案!第!!!!&页#共"页$文科%
{#{QQABCYSUgggIAJAAARhCAwFSCkOQkAGCCKoGgFAIoAAACBNABAA=}#}!/!)"!#解析$本题考查三棱锥的外接球%考查直观想象的核心素养!
在0$"5中$"5&$$5&+$"&%&$5-$"674$$!$则"5$!$且$"&
!
+"5&$$5&$则$"1"5!由题可知$当平面$"51平面"-5时$三棱锥
$6"-5的体积最大!如图$可将三棱锥$6"-5补全为正方体$则三棱锥
$ "
$6"-5外接球的半径为 槡) $故其外接球的表面积为)"! #
&
!"!&!0!#解析$本题考查数列的递推关系%考查逻辑推理的核心素养!
设经过+小时$有& 个正常细菌$’ 个非正常细菌$则& $&&$’ $&+&’!
+ + ++! + ++! + +
’ ’ !’ ! ! +
又&$&$’$!$所以&$&+$’ $&’+&+$则 ++!$ ++ $+$ + &+%!’$ $
! ! + ++! + &++! &+ & &+ & & &
所以’$+-&+%!$所以& +’ $&!(+!(@&!)$!"@&!)$&!0!
+ !( !(
!0!解*&!’将这&’个数据从小到大排列$第!’个数和第!!个数都是00$所以($00!…(分
" !
估计甲每次训练投篮次数超过(的概率为 $ ! ……………………………………"分
!& &
!& 1 )@1’+&@0/
&&’这&’次投篮次数的平均数#2$ #+ #$ $01$…………………3分
&’! &’& /
!&+/&+!&+)&+0&+)&+!&+0&+!/&+/&+!&+)&+0&+)&+/&+/&+0&+/&+0&+/&
方差7&$
&’
$))!…………………………………………………………………………………………!&分
评分细则*
.!/第&!’问共"分$正确算出(的值得(分$正确估计甲每次训练投篮次数超过(的概率
得&分!
.&/第&&’问共"分$正确算出#2得)分$正确算出7&得)分!
!1!&!’解*由&&%槡&’’674-$)&槡&674"%674$’$
可得&674-+)674$$槡&&’674-+)674"’$……………………………………………!分
所以4,5$674-+4,5-674$$槡&&4,5"674-+4,5-674"’$…………………………)分
所以4,5"$槡&4,5$$………………………………………………………………………(分
’
则’$槡&&$即 $槡&!………………………………………………………………………/分
&
&&’证明*由’$槡&&$可得4,5"$槡&4,5$!………………………………………………"分
又"$&-$所以4,5&-$槡&4,5)-$4,5&-$槡&4,5&-674-+槡&674&-4,5-$…………1分
&674-$&槡&674&-+槡&&&674&-%!’$……………………………………………………!’分
槡& " "
即(槡&674&-%&674-%槡&$’$解得674-$ &负值已舍去’$即-$ $"$ $所以0$"-
& ( &
为直角三角形! ……………………………………………………………………………!&分
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{#{QQABCYSUgggIAJAAARhCAwFSCkOQkAGCCKoGgFAIoAAACBNABAA=}#}评分细则*
’ )
第&&’问另解$因为"$&-$ $ $所以’$&)674-!……………………………0分
4,5" 4,5-
&&+’&%)&
由余弦定理可得’$&)- !………………………………………………………1分
&&’
) )
因为’$槡&&$所以))%)&&)+&&)$’$即& ’)%)- +&$’$…………………………3分
& &
) ) )
所以& %!’&-& +&’$’$解得 $!&负值已舍去’! ………………………………!!分
& & &
因为&&+)&%’&$&&&%&&&$’$所以0$"-为直角三角形! …………………………!&分
!3!&!’证明*设8为$"的中点$连接-8$" ! 8$$" ! $"- ! ! # ! " !
因为-$$-"$所以$"18-!……………………………………!分
!
!
"
因为四边形$""$ 为菱形$3$""$ $所以0$"" 为等边三角
! ! ! ) ! $ % "
形$则$"18"! …………………………………………………&分
! !
又8-$8"$8$所以$"1平面8"-!…………………………………………………(分
! !
因为"-*平面8"-$所以$"1"-!…………………………………………………/分
! ! !
&&’解*因为$-1"-$$-$$"$$$所以"-1平面$"-! ………………………"分
! ! ! ! !
因为"-*平面$"-$所以"-1"-$所以四边形"--" 为菱形$即"-$""$&!…
! ! ! ! ! ! !
……………………………………………………………………………………………0分
因为平面$"-1平面$""$$且平面$"-$平面$""$$$"$$"18-$
! ! ! !
所以8-1平面$""$! …………………………………………………………………3分
! !
!
故9 $&9 $&9 $&@ @. @8-$&!………………………!&分
$!6"--!"! $!6-""! -6$!""! ) 0$!"!"
评分细则*
若用其他解法$参照评分标准按步骤给分!
/
&’!解*&!’由抛物线的定义可知:& $’’!……………………………………………………!分
&
/
因为";:"$";8"$所以# $ !…………………………………………………………&分
; (
) / / )
因为";:"$ $所以 + $ $解得/$&$……………………………………………(分
& ( & &
故-的方程为,&$(#! ……………………………………………………………………/分
’#$(,+2$
&&’设$&#$,’$"&#$,’$**#$(,+2$联立方程& 得,&%((,%(2$’$则,
$ $ " " $
(,&$(#$
+,$(($,, $%(2!……………………………………………………………………0分
" $ "
,& ,&
因为以$"为直径的圆过点8$所以8$18"$则## +,, $’$即 $- "+,, $’$
$ " $ " ( ( $ "
解得,, $%!"$%(2$所以2$(!………………………………………………………3分
$ "
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{#{QQABCYSUgggIAJAAARhCAwFSCkOQkAGCCKoGgFAIoAAACBNABAA=}#}又#+#$(&,+,’+1$((&+1$所以<&&(&+($&(’$…………………………!’分
$ " $ "
当($’时$= $’$
8<
&( ( ! 槡& 槡&
当(.’时$= $ $ $ %#% $’’4&’$ %!
8< &(&+( (&+& & ( (
(+
(
槡&
故直线8<斜率的最大值为 !…………………………………………………………!&分
(
评分细则*
.!/第&&’问按标准答案解题时$未说明($’的情况$扣!分!
.&/若用其他解法$参照评分标准按步骤给分!
& &#&%&#+&
&!!解*&!’0&#’的定义域为&’$+9’$03&#’$&#%&+ $ !…………………!分
# #
当&#(时$03&#’-’$所以0&#’在&’$+9’上单调递增!………………………………)分
&%槡&&%!"
当&/(时$关于#的方程&#&%&#+&$’$$$&&%!"/’$则#$ $#$
! ( &
&+槡&&%!"
是方程&#&%&#+&$’的两根!
(
&
又##$!$#+#$ /’$所以’,#,#!
! & ! & & ! &
&%槡&&%!" &+槡&&%!"
令03&#’/’$解得#, 或#/ $
( (
&%槡&&%!" &+槡&&%!" &%槡&&%!"
所以0&#’在&’$ ’和& $+9’上单调递增$在& $
( ( (
&+槡&&%!"
’上单调递减!…………………………………………………………………/分
(
&&’由0&#’#:&#$可得#&+&85##:&#+&#$即:85#& +85#&#:&#+&#! ………………0分
令>&#’$:#+#$易知>&#’单调递增!
由:85#& +85#&#:&#+&#$可得>&85#&’#>&&#’$则85#&#&#$即 85# # & !…………3分
# &
85# !%85#
设?&#’$ $则?3&#’$ $当#/:时$?3&#’,’$?&#’单调递减$
# #&
85: !
当’,#,:时$?3&#’/’$?&#’单调递增$所以?&#’ $ $ $
;<= : :
& ! &
所以 - $则&的取值范围为# $+9’! ……………………………………………!&分
& : :
评分细则*
.!/第&!’问共/分$求导正确得!分$写出当%(#&#(时$03&#’-’$0&#’在&’$+9’上单
调递增$得!分$写出当&,%(时$03&#’-’$0&#’在&’$+9’上单调递增$得!分$正确写
出当&/(时的0&#’的单调性$得&分!
.&/若用其他解法$参照评分标准按步骤给分!
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{#{QQABCYSUgggIAJAAARhCAwFSCkOQkAGCCKoGgFAIoAAACBNABAA=}#}’#$2+!$
&&!解*&!’由直线**&
2
&2为参数’$
,$ %!
( &
# )
消去参数2$可得*的普通方程为,$ % !……………………………………………&分
& &
#&
’#$&674#$
由曲线-* +,&$!$可得曲线-的参数方程为& &#为参数’! ……………(分
( (,$4,5#
# )
&&’*的方程为,$ % %&$即#%&,%)%&&$’!……………………………………/分
! & &
设点1的坐标为&&674#$4,5#’$
"
"&槡&674&#+ ’%)%&&"
"&674#%&4,5#%)%&&" (
则点1到直线* 的距离@$ $ ! ……
!
槡/ 槡/
……………………………………………………………………………………………0分
"
因为%)%&&,’$所以当674&#+ ’$!时$@取得最小值$……………………………3分
(
"&槡&%)%&&" )槡/
即 $ $解得&$槡&!……………………………………………………!’分
槡/ /
评分细则*
.!/第&!’问中正确写出直线*的普通方程得&分$曲线-的参数方程不唯一$正确写出均可
得&分!
.&/若用其他解法$参照评分标准按步骤给分!
’%&#%!$#,%&$
&)!解*&!’当&$%!时$0&#’$"#+&"+"#%!"$&)$%&##,!$ ……………………&分
(&#+!$#-!!
当#,%&时$0&#’##+1可化为%&#%!##+1$解得#-%)$所以%)##,%&+ ……
……………………………………………………………………………………………)分
当%&##,!时$0&#’##+1可化为)##+1$解得#-%/$所以%&##,!+………(分
当#-!时$0&#’##+1可化为&#+!##+1$解得##0$所以!###0!
综上$不等式0&#’##+1的解集为#%)$0%!……………………………………………/分
&&’当#%#%($%&%时$0&#’#0+#可化为%#%&+"#+&"#0+#$则"#+&"#3+&#$
……………………………………………………………………………………………0分
即%&#%3##++&#$则%)#%3#&##+3!………………………………………1分
因为#%#%($%&%$所以)#&#/$故实数&的取值范围为#)$/%!……………………!’分
评分细则*
.!/结果未写成集合或者区间的形式$扣!分!
.&/第&&’问共/分$直接代入#$%($得出&的取值范围扣)分!
!高三数学"参考答案!第!!!!"页#共"页$文科%
{#{QQABCYSUgggIAJAAARhCAwFSCkOQkAGCCKoGgFAIoAAACBNABAA=}#}
