文档内容
解读探究预测
加强教考衔接，实现平稳过渡
--2024 年 1 月 “九省联考”数学试题带来的备考启示
一、命制背景和试题定位
2024年1月19日至1月21日，江西、安徽、黑龙江、甘肃、吉林、贵州、广西壮族自治
区等第四批高考综合改革省份将要首考落地，为实现平稳过渡，相关省份组织进行了一场盛
大联考——高考改革适应性演练测试，称之七省联考，后加入河南、新疆（或者称之为“九
省联考”）参考考试人数为万众瞩目的410万人。
2024年适应性测试数学试卷由教育部教育考试院命制，试题遵循中国高考评价体系规定
的考查内容和要求，充分发挥高考的核心功能，深化必备知识和关键能力的考查。试卷合理
控制难度，与以往全国卷相比，减少试题数量，适度降低计算量，加强思维考查力度，试题
设计追求创新，打破固化形式，有利于充分发挥服务人才选拔的功能。本次考试的突出变化
如下：
1.数学试题不分文理。新高考改革第四批七省区将于2024年进入文理不分科的数学新高考模
式。
2.题型结构发生变化。最明显的一个变化是题目数量的减少，全卷由过去的22个题减少到19
个题。其中单项选择题数量不变，还是8个小题，多项选择题、填空题和解答题各减少1个
小题，多项选择题和填空题分别由4个小题减少到3个小题，解答题由6个小题减少到5个小
题，考生的作答时间随之变得更加充分。
3.考题的顺序安排也打破常规，有所变化。2024年测试卷的试卷结构特点是灵活、科学地确
定试题的内容、顺序和难度。
4.题目分值发生巨大变化。最后两个压轴题保持较高的难度、能力要求和思维要求，以保持
对高分段考生良好的区分，并且分值由过去的12分增加到17分，占分比例和重要性显著增
加。由于整体难度的调整，考查思路的变化，需要考生灵活运用数学工具去分析、解决问题，
综合考查考生的逻辑推理能力，对考生运用所学知识找到合理的解题策略提出了较高要求，
突出了选拔功能。二、传达信号意图解读
1.调整试卷结构的主要目的是给学生更多的思考时间，从而加强对思维能力的考查。总
题数从22个变成了19个，减少了13.6%。除单选题的个数和分数（8个，40分）不变外，
其他题型在个数和分数上均有所调整，将原来的4个多选题（20分）、4个填空题（20
分）、6个解答题（70分）分别减少为3个多选题（18分）、3个填空题（15分）、5个
解答题（77分），其中只有解答题增加了分数。由于调整试卷结构以后整卷题量减少，
更有利于考生发挥创新能力——特别是在解答题中加强对思维的考查，也有利于提升压
轴题的思维量与难度，注重考查思维过程和思维品质，服务拔尖创新人才选拔。
2.与以往试题相比，各个题目的考查内容、排列顺序进行了大幅度的调整。以往压轴的
函数试题在测试卷安排在解答题的第1题，难度大幅度降低；概率与统计试题也降低了
难度，安排在解答题的第2题；在压轴题安排了新情境试题。这些变化对于打破学生机
械应试的套路模式，对促使学生全面掌握主干知识、提升基本能力具有积极的导向作用。
3.引导考生“多想少算”，有利于考查理性思维和核心素养的水平。符合国家对高考改
革的要求。 数学高考一直强调“多想一点，少算一点”的理念，从重考查知识回忆向重考
查思维过程转变。在测试卷中，这一理念在解析几何的考核中体现得极其充分。这样的命题
方式提醒考生“多想少算”，考查了思维能力，有效地避免了以前在解析几何的考核中计算
量“居高不下”的现象，并且在考查考生数学运算素养的同时也考查了逻辑推理素养，也比
较自然地体现了各核心素养的交融性。
4.引导考生从小处着手，掌握基本概念和常规计算；从大处着眼，建构高中数学的知识
体系。2024年测试卷各个主题的题目数量和分值比例大致与课程标准规定的课时一致（函数、
几何与代数、概率与统计分别约占40%、40%、20%），符合课程标准的要求：在数学高考的
命题中，要关注试卷的整体性和内容的分布。测试卷题目的设置层次递进有序，难度结构合
理，大部分为常规题目。中低难度的题目平和清新，重点突出；高难度的题目不偏不怪，中
规中矩，体现了良好的区分性。第1、2、3、4、10、12、15题（共44分）属于简单题，主要考查基本概念和基本运算。特别是，第1题考查样本数据的中位数，第10题考查复数的共
轭运算，既是基本内容，又略显新颖。
5.客观选择题考查内容比较
6.客观填空题考查内容比较7.主观题考查内容比较三、七省联考（“九省联考”）数学试题考查问题的特点
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【考查目标】样本数据中位数
【解题思路】排序再找中位数
【命题考向趋势】样本数据涉及到的概念【备考复习建议】样本数据相关概念
1.B 【解析】将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，
则其中位数为16.
2．椭圆 的离心率为 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【考查目标】椭圆性质、离心率
【解题思路】 a、b、c关系及离心率公式
【命题考向趋势】椭圆的基本性质
【备考复习建议】灵活掌握椭圆基本性质
2.A【解析】由题意得 ，解得 ，
【知识链接】椭圆离心率专题
求离心率常用公式公式1：e
公式2:公式3:已知椭圆方程为 ,两焦点分别为 ,设焦点三角形
,则椭圆的离心率e
证明 ,
由正弦定理得
由等比定理得 ,即
e
公式4:以椭圆 两焦点 及椭圆上任一点 除长轴两端点外)为
顶点 ,则e
证明：由正弦定理有
公式5:点 是椭圆的焦点，过 的弦AB与椭圆焦点所在轴的夹角为 为直线AB的斜率，且 ,则e 当曲线焦点在 轴上时，e
注 或者 而不是 或
3．记等差数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A．120 B．140 C．160 D．180
【考查目标】等差数列通项公式及前n项和公式
【解题思路】公式应用
【命题考向趋势】等差数列通项公式及前n项和公式综合运用
【备考复习建议】对等差数列通项公式及前n项和公式的理解
3. C【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
所以
【知识链接】
1.等差数列的前 项和公式
公式一
证明: (倒序相加法) ①, ②, 由
①+②得 , 因为
, 所以 , 由此得
公式二:证明: 将 代入 可得 .
2.前 项和与函数关系
由 , 令 ,则 ;
为常数).
(1) 当 即 时, 是关于 的一个一次函数;它的图像是 在直线
上的一群孤立的点.
(2) 当 即 时, 是关于 的一个常数项为零的二次函数;它的图像是在抛物线
上的一群孤立的点.
①当 时, 有最小值;
②当 时, 有最大值.
4．设 是两个平面， 是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【考查目标】空间线面的位置关系
【解题思路】空间线面位置关系简图或利用周边环境想象思考【命题考向趋势】空间线
面的位置关系
【备考复习建议】理解空间线面位置关系
4. C【解析】对于A， 可能平行，相交或异面，故A错误，
对于B， 可能相交或平行，故B错误，对于D， 可能相交或平行，故D错误，
由线面平行性质得C正确，
5．甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有
（ ）
A．20种 B．16种 C．12种 D．8种
【考查目标】排列组合
【解题思路】先排乙丙，再排甲
【命题考向趋势】排列组合应用【备考复习建议】排列组合灵活应用
5. B【解析】因为乙和丙之间恰有 人，所以乙丙及中间 人占据首四位或尾四位，
①当乙丙及中间 人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，
排乙丙有 种方法，排甲有 种方法，剩余两个位置两人全排列有 种排法，
所以有 种方法；
②当乙丙及中间 人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，
排乙丙有 种方法，排甲有 种方法，剩余两个位置两人全排列有 种排法，
所以有 种方法；
由分类加法计数原理可知，一共有 种排法，
【知识链接】
一、分类与计数原理
1、分类加法计数原理的概念
完成一件事可以有n类方案，各类方案相互独立，在第一类方案中m 种不同方法，在第二
1
类方案中m 种不同方法⋯在第n类方案中m 种不同方法，那么完成这个件事共有N=m +m +⋯
2 n 1 2
+m 种方法.
n
2、分步乘法计数原理的概念
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m 种方法，做第二步有m 种方法⋯
1 2
做第n步有m 种方法，那么，完成这个件事共有N=m ×m ×⋯×m 种方法.
n 1 2 n3、两个计数原理的联系与区别
原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
联系 两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言
区别一 每类方法都能独立完成这件 每一步得到的只是中间结果，
事，它是独立的、一次的，且每 任何一步都不能独立完成这件事，
次得到的是最后结果，只需一种 只有各个步骤都完成了才能完成这
方法就可完成这件事. 件事.
区别二 各类方法之间是互斥的、并 各步之间是相互依存，并且既
列的、独立的. 不能重复也不能遗漏.
二、排列与排列数
1.排列与排列数：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按一定顺序排成一列，
叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有不同排列的个数，叫作从n个不同元素
中取出m个元素的排列数，用符号Am表示.
n
n!
2.排列数公式：Am=n(n−1)(n−2)(n−3)⋯(n−m+1)= （n、mϵN∗且m≤n）.n
n (n−m)!
个不同元素全部取出的一个排列，叫作n个的一个全排列.这个公式中m=n，即有
An= n!=n(n−1)(n−2)(n−3)⋯2×1.规定：0!=1.
n
三、组合与组合数
1.组合与组合数：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫作从n个不
同元素中取出m个元素的一个组合，所有不同组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元
素的组合数，用符号Cm表示.
n
Am n(n−1)(n−2)(n−3)⋯(n−m+1) n!
2.组合数公式：Cm= n = = （n、mϵN∗且
n Am m! m!(n−m)!
m
m≤n）.n个不同元素全部取出的一个排列，叫作n个的一个全排列.这个公式中m=n，规定：
C0=1.
n
3.组合数性质：（1）Cm=Cn−m（n、mϵN∗且m≤n）；
n n
Cm Cm Cm−1
（2） n+1= n + n （n、mϵN∗且m≤n）；
【变式】在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，
不同排列表示不同信息，若所有数字只有0和1则与信息0110至多有两个对应位置上的数字
相同的信息个数为（ ）
A.10 B.11 C.12 D.15
【答案】 B
【解析】 当与信息0110对应位置上的数字各不相同时，这样的信息个数只有1个；当与
信息0110对应位置上的数字只有1个相同时，这样的信息个数只有4个；当与信息0110对应
C2
位置上的数字只有2个相同时，只需从四个位置中选出两个位置使相应的数字相同，有 4种
C2
方法，剩下的两个位置上的数字对应不相同，只有1种可能，故此时共有 4个不同的信息.根
C2
据分类原理知共有：1+4+ 4=11个不同信息.故选B.
6．已知 为直线 上的动点，点 满足 ，记 的轨迹为 ，则
（ ）
A． 是一个半径为 的圆 B． 是一条与 相交的直线
C． 上的点到 的距离均为 D． 是两条平行直线
【考查目标】平面向量的坐标运算、平行线间的距离公式
【解题思路】先确定动点Q的坐标，再设点P,利用向量坐标运算建立等量关系，求出Р
的轨迹E再用平行线间的距离公式求解即可
【命题考向趋势】平面向量的坐标运算、平行线间的距离公式【备考复习建议】平面向
量的坐标运算、点到直线距离公式
6. C【解析】设 ，由 ，则 ，由 在直线 上，故 ，
的
化简得 ，即 轨迹为 为直线且与直线 平行，
上的点到 的距离 ，故A、B、D错误，C正确.
【点评】将轨迹方程、平面向量的坐标运算、直线与直线的位置关系、两条平行直线间的
距离公式等知识综合起来，考查直线与直线的位置关系、两条平行直线间的距离公式等基础
知识、基本方法的理解和掌握。该题立足基础知识，计算量小，强调知识之间的综合和应用，
很好检测了考生的知识体系和认知结构，有良好导向性，发挥了服务选才功能。
7．已知 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【考查目标】三角函数诱导公式
【解题思路】三角函数诱导公式化简，注意定义域【命题考向趋势】三角函数诱导公式
化简
【备考复习建议】三角函数诱导公式灵活运用
7. A【解析】由题 ，
得 ，
则 或 ，
因为 ，所以 ，.
【点评】以简单三角恒等变换公式和同角三角函数关系为载体，该题题干简洁，注重基础，
难度适中，考查考生对基础知识的理解、掌握及灵活应用。
【知识链接】
1.两角和与差的余弦
变形
变形
2.两角和与差的正弦
变形
变形
3.两角和与差的正切
； 变形：
； ；
.
【变式】已知 ,则 （ ）
A. B. C. D.[答案]
【解析】因为 ,所以 ,所以
,故选 .
8．设双曲线 的左、右焦点分别为 ，过坐标原点的直线与
交于 两点， ，则 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【考查目标】双曲线离心率与向量的结合
【解题思路】双曲线与向量的结合
【命题考向趋势】双曲线与平面向量有机结合
【备考复习建议】双曲线与平面向量有机结合
8.D【解析】由双曲线的对称性可知 ，
，有四边形 为平行四边形，
令 ，则 ，
由双曲线定义可知 ，故有 ，
即 ，即 ， ，
，则 ，即，故 ，则有
，
即 ，即 ，则 ，由 ，故 .
【点评】以双曲线为载体，考查双曲线、向量的基本概念和性质。该题深入考查逻辑思维
能力、运算求解能力和数形结合思想，强调对知识的综合理解和灵活应用的能力。试题符合
高中数学课程标准的基本要求，很好引导中学教学。需要从双曲线的定义出发进行分析，对
直观想象与数学运算能力有一定要求。
【知识链接】双曲线的离心率专题
求离心率常用公式公式1：e=
公式2:
公式3:已知双曲线方程为 两焦点分别为 ,设焦点三角形
,则e=
证明 ,
由正弦定理得：
由等比定理得：即 e公式4:以双曲线 的两个焦点 、 及双曲线上任意一点 除实轴
上两个端点外)为顶点的 ,则离心率e=
证明：由正弦定理，有
即 e
公式5:点 是双曲线焦点，过 弦$AB$与双曲线焦点所在轴夹角为 为直线
AB斜率， ,则e
当曲线焦点在 轴上时，e
注 或者 而不是 或
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数 ，则（ ）
A．函数 为偶函数 B．曲线 的对称轴为
C． 在区间 单调递增 D． 的最小值为-2
【考查目标】三角函数化简、三角函数图像性质
【解题思路】三角函数化简再结合图象分析【命题考向趋势】三角函数的图象性质
【备考复习建议】三角函数图象性质灵活运用
9. AC【解析】
，
即 ，
对于A， ，易知为偶函数，所以A正确；
对于B， 对称轴为 ，故B错误；
对于C， ， 单调递减，则
单调递增，故C正确；
对于D， ，则 ，所以 ，故D错误；
故选：AC
10．已知复数 均不为0，则（ ）A． B． C． D．
10. BCD
【考查目标】复数的运算、共辄复数、复数的模
【解题思路】灵活运用复数的运算、共辄复数、复数的模解决问题【命题考向趋势】较复
杂的复数的有关运算
【备考复习建议】灵活掌握复数的四则运算、复数的模、共辄复数
【解析】设 、 ；
对A：设 ，则 ，
，故A错误；
对B： ，又 ，即有 ，故B正确；
对C： ，则 ，
， ，则 ，
即有 ，故C正确；
对D：
，， 故 ，故D正确.
【点评】以复数为载体，考查复数、共轭复数和复数的模的概念及复数的代数运算，强
调对高中数学基本概念、基本运算的掌握，体现了课程标准对复数学习的要求，较好引导复
数教学，考查学生逻辑思维能力和运算求解能力。
【知识链接】
1.复数的定义
形如 的数叫复数，其中 叫复数的实部， 叫复数的虚部， 为虚数单位且规定 .
要点诠释：（1）因为实数 可写成 ，所以实数一定是复数；
（2）复数构成的集合叫复数集，记为
2.虚数单位 的周期性
计算得 , 继续计算可知 具有周期性, 且最小正周期为 4 , 故
有如下性质：
(1) ;
(2) .
3.复数核心运算
1.运算律：
2.模的性质: .
3.重要结论：
(1)
(2) ;
(3) 或 .11．已知函数 的定义域为 ，且 ，若 ，则（
）
A． B．
C．函数 是偶函数 D．函数 是减函数
【考查目标】抽象函数性质
【解题思路】特殊值带入寻找解题路径【命题考向趋势】抽象函数变化
【备考复习建议】理清抽象函数的特点属性
11. ABD 【解析】令 、 ，则有 ，
又 ，故 ，即 ，
令 、 ，则有 ，
即 ，由 ，可得 ，
又 ，故 ，故A正确；
令 ，则有 ，即 ，故函数 是奇函数，
有 ，即 ，
即函数 是减函数，
令 ，有 ，
故B正确、C错误、D正确.
【点评】解答过程应该是由题目条件得到f(0)=−1，再进一步得到f(-1/2)=0，由此导出
f(x-1/2)的表达式，最后得到f(x)的表达式。有关抽象函数的试题很多都是在奇偶性、周期性的
基础上设计，类似题目多了难以避开程式化的误区。第11题设计新颖，叙述简洁，选项设置
符合题目内在逻辑，且形式优美对称，是试题规范性的极好示例。
【知识链接】
1.周期概念理解
1.定义:设 的定义城为 ,若对 ,存在一个非零常数 ,有 ,则称函数
是一个周期函数,称 为 的一个周期.
2.若 是一个周期函数,则 ,那么 ,即 也是 的
一个周期,进而可得 也是 的一个周期.
3.最小正周期:若 为 的一个周期, 也是 的一个周期,则在某些周期
函数中,往往存在周期中最小的正数,称为最小正周期.然而并非所有的周期函数都有最小正
周期,比如常值函数 就没有最小正周期.2.常见周期性结论
序号 函数式满足关系( ) 周期
(1)
(2)
(3)
(4)
函
(5) 或
数
(6)
周
(7)
期
性
(8)
的
一
(9)
些
结
(10)
论
(11)
(12)
(13)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合 ，若 ，则 的最小值为
__________．
【考查目标】集合交集运算、不等式
【解题思路】集合交集运算、不等式【命题考向趋势】集合相关运算
【备考复习建议】灵活掌握集合相关运算
12. 【解析】由 ，故 ， 由 ，得 ，故有 ，即 ，即 ， 即 的最小值为 .
【点评】将集合、不等式、最值等知识有机结合起来，不仅考查了考生对集合的表示方
法、集合的交集运算性质、集合间的关系、绝对值不等式等基础知识的掌握情况，而且考查
了数学中重要的分类和数形结合思想。该题题面简洁，内涵丰富，强调数学知识之间的联系
与融合。
【知识链接】
1.集合技巧全攻略
交集
并集
补集
2.集合的互异性
对于一个给定的集合,它的任意两个元素是不能相同的.凡是出现含参数的集合,必须首先考
虑集合的互异性,即集合中元苏不相等,例 如集合 ,则有
3.集合相等
对于两个集合 与 ,如果 ,且 ,那么集合 与 相等,记作 .
4.集合子集个数
真子集有 个,非空真子集有 个.
5.子集与交集
若 ,则 ;若 ,则 .6.子集与并集
若 ,则 ;若 ,则 .
7.子集与空集
题目中若有条件 ,则应分 和 两种情况进行讨论.
8.并集与空集
由于 ,因此, 中的 可以为 .
9.反演律（德摩根定律)
(交的补等于补的并)
（并的补等于补的交）
10.容斥原理
用 表示集合 中的元素个数(有资料中用 或其他符号)，则通过维恩图可理解其
具备的二维运算性质 .
13．已知轴截面为正三角形的圆锥 的高与球 的直径相等，则圆锥 的体积与球
的体积的比值是__________，圆锥 的衣而积与球 的表面积的比值是__________．
【考查目标】圆锥轴截面概念、圆锥表面积、体积公式、球体表面积、体积公式
【解题思路】根据题设条件建立等量关系
【命题考向趋势】圆锥轴截面概念、表面积、体积公式，球体体积、表面积公式
【备考复习建议】球体、锥体表面积、体积公式运用13. 答案： ①. ②.
【解析】设圆锥的底面半径为 ，球的半径为 ，
因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高 ，母线 ，
由题可知： ，所以球的半径
所以圆锥的体积为 ，
球的体积 ，
所以 ；
圆锥的表面积 ，
球的表面积 ，
所以 ，
【点评】以圆锥和球为载体，考查简单几何体的体积和表面积公式等基础知识。该题背
景熟悉，计算量不大，要求考生能在已有知识的基础上进行推理、运算，融合考查了空间想
象、逻辑思维、运算求解等数学关键能力。
【知识链接】
1.多面体的表面积和体积公式
名称 侧面积 全面积 体积
棱 棱柱 直截面周长 或柱 直棱柱
棱锥 各侧面面积之和
棱
锥
正棱锥
棱台 各侧面面积之和
棱
台 正棱台
要点诠释：表中 表示面积， 分别表示上、下底面周长， 表示高， 表示斜高， 表示
侧棱长
2.旋转体的表面积和体积公式
名称 侧面积 全面积 体积
圆柱 （即 ）
圆锥
圆台
球
要点诠释
表中 分别表示母线、高，表示圆柱圆锥的底面半径， 分别表示圆台的上下底面半径，
表示球的半径.
3.公式法
(1) 柱体的体积公式：
(2) 锥体的体积公式：
(3) 台体的体积公式：(4) 球的体积：
5.正四面体与球的组合
正四面体 的棱长为 ，它的高为 ，体积为 ，外接球半径为 ，内接半
径为 .
6.表面积和体积最值问题
1.求棱长或高为定值的几何体的体积或表面积的最值.
2.求表面积一定的空间几何体的体积最大值和求体积一定的空间几何体的表面积的最小值.
3.组合体中的最值问题一般思路：
(1)根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平
面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；
(2)利用基本不等式或建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数或者导数方法
解决.
14．以 表示数集 中最大的数．设 ，已知 或 ，则
的最小值为__________．
14. 或0.2
【考查目标】不等式
【解题思路】最大值变量中的最小值辩证关【命题考向趋势】不等式的灵活运用【备考
复习建议】注重概念深层次理解。
【解析】令 其中 ， 所以 ，
若 ，则 ，故 ，令 ，
因此 ,故 ,则 ，
若 ，则 ，即 ，
，
则 ,故 ,则 ，
当 时，等号成立，
综上可知 的最小值为 ，
故答案 为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数 在点 处的切线与直线
垂直．
（1）求 ；
（2）求 的单调区间和极值．
【考查目标】函数与导数
【解题思路】导数、切线、直线斜率垂直条件、利用导数求解函数的单调性、极值
【命题考向趋势】函数与导数，求单调性、极值
【备考复习建议】利用导数求解函数的单调性、极值【知识链接】
1.导数的符号与丞数的单调性
一般地，设函数y =f(x)在某个区间内有导数，则在这个区间上，
（1）若f'（x）>0，则f（x）在这个区间上为增函数；
（2）若f'（x）<0，则f（x）在这个区间上为减函数；
（3）若恒有f'（x）=0，则f（x）在这一区间上为常函数.
反之，若f（x）在某区间上单调递增，则在该区间上有f'（x）≥0恒成立（但不恒等于
0）；若f（x）在某区间上单调递减，则在该区间上有f'（x）≤0恒成立（但不恒等于0）.
要点诠释：
（1）因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上 ，即切线斜率为
正时，函数 在这个区间上为增函数；当在某区间上 ，即切线斜率为负时，函数
在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减.
（2）若在某区间上有有限个点使 ，在其余点恒有 ，则 仍为增函数
（减函数的情形完全类似），即在某区间上， 在这个区间上为增函数：
在这个区间上为减函数，但反之不成立.
（3） 在某区间上为增函数 在该区间 在某区间上为减函数 在该区间
.在区间 内， （或 是 在区间 内单调递增（或减）的充分
不必要条件.
（4）只有在某区间内恒有 ，这个函数 在这个区间上才为常数函数.2.函数的极值
一般地，设函数 在点 及其附近有定义.
（1）若对 附近的所有点，都有 ，则称函数 在 处取极大值，
记作y = ，并把 称为函数 的一个极大值点.
极大
（2）若对 附近的所有点，都有 ，则称函数 在 处取极小值，记作y
极
= ，并把 称为函数 的一个极小值点.
小
要点诠释：
在函数的极值定义中，一定要明确函数 在 及其附近有定义，否则无从比较.
函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定
义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的
函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
极大值与极小值之间无确定的大小关系.一个函数的极大值未必大于极小值，极小值不一
定是整个定义区间上的最小值.
函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、
最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.
3.函数的最值
若函数 在闭区间 上连续，则 在 上必有最大值和最小值；在开区间
内连续的函数 不一定有最大值与最小值.
要点诠释:
函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得；
函数的极值可以有多个，但最值只有一个.4.求函数单调区间的一般步骤和方法
第一步:确定函数 的定义域；
第二步:求 ，令 ，解此方程，求出它在定义域内的一切实根；
第三步:把函数 在间断点 即 的无定义点）的横坐标和上面的各实根按由小到大
的顺序排列起来，然后用这些点把函数 的定义区间分成若干个小区间；
第四步:确定 在各个小区间的符号，根据 的符号判断函数 在每个相应小区间
的增减性.
要点诠释:
函数的单调区间不能用不等式表示，必须写成区间形式；
当一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时，这些单调区间不能用“ ”连接，
可用“，”或“和”连接.
15.（1） ，则 ，
由题意可得 ，解得 ；
（2）由 ，故 ，则
， ，
当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
故 的单调递增区间为 、 ， 的单调递减区间为 ，
故 有极大值 ，
有极小值 .
【点评】查导数及其应用，近几年数学新课标卷未曾以这方面知识作为第一个解答题的考
查内容，测试卷在这方面打破了常规。
16．（15分）盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．
（1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；
（2）记取出的3个小球上的最小数字为 ，求 的分布列及数学期望 ．
【考查目标】随机变量的分布列、数学期望
【解题思路】利用组合数求概率、再求数学期望【命题考向趋势】随机变量的分布列
【备考复习建议】灵活掌握随机变量的分布列
16. （1）记“取出的 个小球上的数字两两不同”为事件 ，
先确定 个不同数字的小球， 有 种方法，
然后每种小球各取 个，有 种取法，
所以 .
（2） 由题意可知， 的可取值为1,2，3.
当 时，分为两种情况：只有一个数字为 的小球、有两个数字为 的小球，
所以 ；
当 时，分为两种情况：只有一个数字为 的小球、有两个数字为 的小球，所以 ；
当 时，分为两种情况：只有一个数字为 的小球、有两个数字为 的小球，
所以 ，
所以 的分布列为：
所以 .
【点评】情境设置较为新颖，相比常见概率试
题有所创新
17．（15分）如图，平行六面体
中，底面 是边长为2的正
方形， 为 与 的交点，
．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值．
17.解：（1）连接 ，因为底面 是边长为2的正方形，所以 ，
为
又因 ， ，所以 ，所以 ，
点 为线段 中点，所以 ，
在 中，
，
所以 ，
则 ，
又 ， 平面 ，
平面 ，所以 平面 .
（2）由题知正方形 中 ， 平面 ，所以建系如图所示，则
， 则 ，
，
设面 的法向量为 ，面 的法向量为 ，
则 ，，
设二面角 大小为 ，
则 ，
所以二面角 的正弦值为 .
【点评】以正方形为上、下底面和以平行四边形为侧面构建平行六面体，着重考查立体
几何中的空间位置关系和角的度量等基础知识和基本方法。试题第（2）问既可以用几何法解
答，也可以通过向量坐标的方法解答，为考生提供了多种分析问题的思路和解决问题的方法，
有效区分不同层次学生的思维能力水平，考查了考生的空间想象能力、逻辑思维能力和运算
求解能力，具有较好的选拔功能。
【知识链接】用向量法求空间角
1. 求异面直线所成的角
(1) 选好基底或建立空间直角坐标系;
(cid:8)
(2) 求出两直线的方向向量v ， ；
1
(3) 代入公式 .
两异面直线所成角的范围是 , 两向量的夹角的范围是 , 当异面直线的方向向量的
夹角为锐角或直角时,就是该异面直线的夹角;当异面直线的方向向量的夹角为直角时,其补角才是异面直线
的夹角.
2. 求线面角
(1) 分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）;
(2)通过平面的法向量来求, 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角, 取其余角就是斜线和平面
所成的角.3. 求二面角
(1) 分别求出二面角的两个面所在平面的法向量, 然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但
要注意结合实际图形判断所求角的大小.
(2) 分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小
就是二面角的大小.
18．（17分）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交 于 两点，过
与 垂直的直线交 于 两点，其中 在 轴上方， 分别为 的中点．
（1）证明：直线 过定点；
（2）设 为直线 与直线 的交点，求 面积的最小值．
18.解：（1）由 ，故 ，由直线 与直线 垂直，
故两只直线斜率都存在且不为 ，
设直线 、 分别为 、 ，有 ，
、 、 、 ，
联立 与直线 ，即有 ，消去 可得
， ，故 、
，
则 ，
故 ， ，
即 ，同理可得 ，当 时， 则 ，
即
，
由 ，即 ，故
时，有 ，
此时 过定点，且该定点为 ，
当 时，即 时，由 ，
即 时，有 ，亦过定点 ，
故直线 过定点，且该定点为 ；
（2）由 、 、 、 ，
则 ，由 、 ，
，
同理可得 ，联立两直线，即，
有 ，
即 ，
有 ，
由 ，同理 ，
故
，
故 ，
过点 作 轴，交直线 于点 ，则
，
由 、 ，
故 ，
当且仅当 时，等号成立，
下证 ：由抛物线的对称性，不妨设 ，则 ，
当 时，有 ，则点 在 轴
上方，点 亦在 轴上方，有 ，由直线 过定点 ，此时
，
同理，当 时，有点 在 轴下方，点 亦在 轴下方，
有 ，故此时 ，
当且仅当 时， ，
故 恒成立，且 时，等号成立，
故 ，
【点评】以解析几何中的抛物线为背景，考查抛物线与直线的位置关系与度量关系，考
查解析几何的基本思想方法。以抛物线为基本情境，第（1）问的考查内容属于解析几何中的
通性通法，本题看似常规，但内涵深刻，特别是第（2）问，在如何灵活地应用平面几何的基
本思想和基本方法将面积问题进行合理转化上，试题进行了很好的设计，体现了创新性的考
查要求。第（2）问如果仍使用解析几何的常规方法，将导致非常复杂的计算，可行的解法需
要将所求三角形的面积转换为一个适合计算的四边形面积，然后由基本不等式得到解答。这
个解法的关键步骤虽然属于初中数学学过的平面几何知识内容，但对学科核心素养之一的直
观想象有很高的要求，能综合运用不同的几何方法解决问题也是学科核心素养水平的重要体
现。
试题考查灵活思考问题的能力，突出创新思维，很好达成通过增加思维强度来选拔拔尖
创新人才的考查目标。19．（17分）离散对数在密码学中有重要的应用．设 是素数，集合 ，
若 ，记 为 除以 的余数， 为 除以 的余数；设 ，
两两不同，若 ，则称 是以 为底 的离散对数，
记为 ．
（1）若 ，求 ；
（2）对 ，记 为 除以 的余数（当 能被
整除时， ）．证明： ，其中 ；
（3）已知 ．对 ，令 ．证明：
．
本题考查：密码学中有重要应用的离散对数，重点考查考生数学阅读、独立思考、逻辑
推理、数学表达等关键能力。
19.解：（1）若 ，又注意到 ， 所以 .
（2）当 时，此时 ，此时 ， ，
故 ，
此时 .
当 时，因 相异，故 ，
而 ，故 互质.
设记 ，
则 ，使得 ，
故 ，故 ，
设 ，则 ，
因为 除以 的余数两两相异，
且 除以 的余数两两相异，
故 ，故 ，
故 ，而 其中 ，
故 即 .
（3）当 时，由（2）可得 ，若 ，则 也成立.
因为 ，所以 .
另一方面，
.
由于 ，所以 .
【点评】引入在密码学中的离散对数，重点考查考生数学阅读、独立思考、逻辑推理、
数学表达等关键能力。在题干中给出“离散指数”“离散对数”既熟悉又陌生的概念以后，
第（1）问旨在让考生熟悉“离散指数”的概念；第（2）问请考生证明普通对数运算性质
log（bc）=logb+logc在“离散对数”情形的一个类似；第（3）问进一步证明“离散对
数”的一个性质（这时应假设p＞2）。试题任务所驱动的不是单纯的旧知识记忆和理解，
而是关注了新概念的引入、理解、探究和表达。试题情境是在密码学理论中有重要地位的盖莫尔（ElGamal）加密体制。在大数据时代，
数据安全问题越来越受到重视。盖莫尔公钥密码体制是在网络上进行保密通信和数字签名的
有效安全算法，应用十分广泛，其数学理论基础就是题目中讨论的离散对数。在盖莫尔公钥
密码体制的情境下，题目中的x是明文，p，a，b是公钥，离散对数n是密钥，（y ，y )是对
1 2
x加密得到的密文，由(y ，y )得到x是解密。对于充分大的素数p和适当的a，求解离散对数
1 2
是困难的，但其逆运算（离散指数运算）可以用平方-乘算法快速有效地进行计算，这是盖莫
尔公钥密码体制安全有效性的依据。第19题考查的数学内容是指数、对数的运算以及指数与
对数的互逆运算，其中第（2）问是证明离散对数形式上满足普通对数的运算规则，第（3）
问本质上是进行离散指数运算。然而更重要的是对逻辑推理等学科核心素养的考查。离散对
数与普通对数的本质差别在于同余运算。同余的概念是现代数学中非常重要的概念，对同余
问题的研究也是中国优秀传统数学文化的重要部分（如著名的中国剩余定理）。题目中没有
明确引入同余的概念，仅仅使用了余数概念，这是在小学数学中学过的概念。题目中附加了
条件1，a，a2,⊗，...，ap-2,⊗两两不同，在这个限制条件下不需要一般形式的费马小定理，简化
了问题叙述，降低了题目难度，通过第（1）问又进一步对ap-1,⊗=1给出启发性提示。这样的
处理符合多数考生的实际知识水平和认知能力。第（3）问中的随机常数k完全来自于实际应
用，对每一条明文x使用随机选取的k是安全性的必要保证。
四、2024年高考备考建议
（一）认真研读高考评价体系
高考评价体系是深化新时代高考内容改革的基础工程、理论支撑和实践指南。
以高考评价体系为指导，明确高考数学学科功能的基础，确定考查理性思维、数学应用、
数学探索、数学文化四类学科素养；突出考查逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力、
数学建模能力、创新能力五种关键能力；考查要求是试题具有学科特点的基础性、综合性、
应用性、创新性；通过设置课程学习情境、探索创新情境、生活实践情境为试题情境更好地
落实考查内容和考查要求。
（二）夯实基础，落实 “四基”(基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验)。
（三）根据教材弄清知识点的来龙去脉，让知识结构更清晰。
（四）通过对近年全国卷真题研究，重温高中阶段所学知识，这不只是对以前所学知识
的简单重复，而是站在更高的角度，对旧知识产生全新认识的重要过程。在高一、高二学习时学到的是零碎的、散乱的知识点，老师以知识点依次传授讲解为主线索，未学到后面的相
关知识前不能进行纵向联系，而在高三复习时老师的主线索是将知识的纵向联系与横向联系
相结合，确保落实好掌握基础知识、基本技能。
（五）（三）基于三个“常规化”备考策略。
（六）1.小题训练常规化。年级统筹安排每周一个约50分钟小题专题训练。
（七）2.章节统测常规化。每上完一章及时统测一次，其中安排一名骨干老师命题、一
名老教师审题确保统测试卷科学有效。
（八）3.集中辅导常规化。统筹安排每周一个晚自习8:00-10:00集中辅导。
总之，2024年适应性测试数学试卷是高考内容改革的风向标，发挥着育人功能和正
向积极的导向作用。试卷践行中国高考评价体系提出的命题理念，严格依据高中课程标准，
并按照课程标准提出的处理好考试时间和题量的关系，给学生充足的思考时间，适度增加试
题的思维量等命题原则的要求，助推高考内容和高中育人方式改革。试卷充分发挥了检测和
导向的作用，有效引导中学数学教学，助力拔尖创新人才选拔。
