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荆州中学 2021 级高三第三次适应性考试
数学试卷参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B D A C D D C A ABC ABC AC
8. 设 的中点为 ，设 ，则 ，得
，则 ，设直线 的倾斜角为 ，又 ，所以
，可得 ，所以直线 的倾斜角为 ，则 的斜率为
，所以 ，所以双曲线的渐近线方程为 ，
11. 设点 ，由已知得 ，整理得 ，所以点 的轨迹为曲线 的方程为
，故A正确；又离心率 ，故B不正确；
圆 的圆心 到曲线 的渐近线为 的距离为 ，
又圆 的半径为1，故C正确；
直线 与曲线 的方程联立 整理得 ，设 ， ，且 ，
有 ，所以 ，
要满足 ，则需 ，解得 或 或 ，当 ,此时
，而曲线E上 ，所以满足条件的直线有两条，故D不正确，
故选：AC.
14.记事件 “抽取学生是勤生”， 事件 “抽取学生是懒生”， 事件 “抽取学生流下了悔恨的
泪水”，
则依题意有 ，
同理，
故
所以
15.证明：（1） ；
，
……………………………………………………3分
（2）
……………………………6分…………………………………………...7分
……………………………………………………………..8分
（3）
………………………………9分
……………………………….14分（错位相减法操作
程序到位，结果不对可以给到12分，建议只扣2分）
……………………………………………………15分
16. (1)证明 如图，连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.
在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝…………1
分
由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.
又AE⊥EC，
所以 EG＝，且 EG⊥AC……………………………………………………………2
分
在Rt △EBG中，可得BE＝，故DF＝.
在Rt △FDG中，可得FG＝.
在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝，……………4分
从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.
因为EG 平面AEC，
所以平面AEC⊥平面AFC……………………………………………………………………7分
⊂
(2)解 如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC的方向为x轴，y轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间
直角坐标系G－xyz，…………………………………………………………………………8分
由(1)可得A(0，－，0)，E(1，0，)，F，
C(0，，0)……………………………………………………………………………………9分所以AE＝(1，，)，CF＝.
故cos〈AE，CF〉＝＝－………………………………………………………………14分
所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为………………………………………………………15分
17.解：（1）依题意知甲、乙两人所付费用相同时，可能是 元或 元或 元…………………….1分
甲滑雪2小时以上，3小时以内的概率为 ，
乙滑雪2小时以上，3小时以内的概率为 ，………………………………………..2分
所以两人付费均为 元的概率为 ，……………………………………………………..3分
两人付费均为 元的概率为 ………………………………………………………4分
两人付费均为 元的概率为 ……………………………………………..5分
所以，甲、乙两人所付费用的概率为 ………………………..6分
（2） 的所有可能取值为： ，…………………………………………………………7分
则
………………………………………………………………………….8分
…………………………………………………………………………………10分
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
0 40 80 120...........................................................................................................................................................................11分
……………………………………………13分
…
…………………………………………………………………………………………………………………….15
分
18.解：（1）设AB的中点为P，切点为Q，连接OP，PQ，取B关于y轴的对称点D，连接AD
则 ，
故
所以点A的轨迹是以B，D为焦点，长轴长为4的椭圆.其中
则曲线C的方程为
………………………………………………………………4分
（2）
……………………………………….6分
……………..8分
解得，
……………………………………………………………………………….9分…………………………………………………………………10分
（3）易得，
…………………………………………….12分
…………………………………………………13分
而
……………………..16分
所以 ，即定值为 ………………………………………..17分
19.解：（1）当 时， ，故 ，…………………1分
所以 ，又 ，…………………………………………………………………..2分
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ……………………3分
斜截式方程为 ………………………………………………………………………4分
（2）当 时， ，故 ，令 ，则 ，
显然， 在 单调递增，且 时， ………………6分
则 在 单调递增，而
所以 时，. ，则
所以 在 上递减，易知 在 上递增……………………………………………………8分
又
所以当 时， 有唯一零点 ……………………………………………….9分
（3）证明：
，
、
…………………………11分
………………14分
证明 对 恒成立（要写过程）………………………………………………..15分
证明 对 恒成立（要写过程）…………………………………………………16分
从而有
又
