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2024 届高三下学期开学摸底考
全解全析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1．过点 且与直线 垂直的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.
【详解】直线 的斜率为 ，故所求直线的斜率为 ，
所以，过点 且与直线 垂直的直线方程是 ，
即 .
故选：C.
2．一组数据按从小到大排列为 ，若该组数据的第60百分位数是众数的 倍，则这组数据的
平均数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】按百分位数和平均数的定义计算即可.
【详解】由题意该组数据共7个数， ,
故第60百分位数为从小到大第5个数 ，又众数为4，
故 ，
故该组数据的平均数为 ，
故选：B
3．设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等差数列片段和性质及已知，设 ，求得 ，即可得结果.
【详解】由等差数列片段和性质知： 是等差数列.
由 ，可设 ，则 ，于是 依次为 ，所以 ，所以 .
故选：B
4．如图，圆锥形容器的高为3厘米，圆锥内水面的高 为1厘米，若将圆锥容器倒置，水面高为 ，下列
选项描述正确的是（ ）
A． 的值等于1 B．
C． 的值等于2 D．
【答案】D
【分析】设圆锥形容器的底面积为S，由相似的性质可得未倒置前液面的面积为 ，根据圆锥的体积公式
求出水的体积；再次利用相似的性质表示出倒置后液面面积，由水的体积建立关于 的方程，解之即可求
解.
【详解】设圆锥形容器的底面积为S，未倒置前液面的面积为 ，
则 ，所以 ，
则水的体积为 ；
设倒置后液面面积为 ，则 ，
则水的体积为 ，解得 .
故选：D.
5．在平面直角坐标系 中，已知圆 ，若圆 上存在点 ，使得
，则正数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】设 ，根据条件得到 ，从而将问题转化成 与圆 有交点，再利
用两圆的位置关系即可求出结果.
【详解】设 ，则由 ，得到 ，
整理得到 ，又点在圆 上，所以 与圆 有交点，
又 的圆心为 ，半径为 ，圆 的圆心为 ，半径为 ，
所以 ，解得 ，
故选：D.
6．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故
事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务
必须排在前三位，且任务 、 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有
A．240种 B．188种 C．156种 D．120种
【答案】D
【详解】当E,F排在前三位时， =24,当E,F排后三位时， =72，当E,F排
3，4位时， =24，N=120种，选D.
7．已知函数 在 上存在最值，且在 上单调，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用整体法，结合三角函数图像性质对 进行最值分析，对区间 上进行单调分
析；
【详解】当 时，因为 ，则 ，
因为函数 在 上存在最值，则 ，解得 ，
当 时， ，
因为函数 在 上单调，
则 ，所以 其中 ，解得 ，
所以 ，解得 ，
又因为 ，则 ．
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
又因为 2，因此 的取值范围是 ．
故选：C．
【点睛】关键点睛：整体法分析是本题的突破点，结合三角函数图像分析是本题的核心.
8．设椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 是椭圆上一点， ，
，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设 ，由椭圆定义和勾股定理得到 ，换元后得到 ，根据
二次函数单调性求出 ，得到离心率的取值范围.
【详解】设 ， ，由椭圆的定义可得， ，
可设 ，可得 ，即有 ，①
由 ，可得 ，即为 ，②
由 ，可得 ，令 ，可得 ，即有 ，由 ，
可得 ，即 ，
则 时，取得最小值 ； 或4时，取得最大值 .
即有 ，得 .
故选：C
【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有三种方法：①求出 ，代入公式
；
②根据条件得到关于 的齐次式，结合 转化为 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除
以 或 转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围；
③由题目条件得到离心率关于变量的函数，结合变量的取值范围得到离心率的取值范围.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设z， ， 是复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】BC
【分析】由复数的相关知识逐项判断即可.
【详解】若 ，设 ，所以 ，
则 不一定为 ，故A错误；
若 ，设 ，所以 ，
则 不一定为 ，故B正确；
若 ，设 ， ，
则 ， ，故C正确；若 ，设 ， ， ，
，所以 ，
即 ， 不一定为 ，故D错误；
故选：BC.
10．已知 ，则（ ）
A． ，使得
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ， ，则 的最大值为
【答案】BD
【分析】根据方程 无解，可判定A错误；根据题意求得 ，结合两角差的正
弦公式，可判定B正确；结合两角和的正弦公式，求得 ，利用余弦的倍角公式，可判定C错
误；化简 ，结合基本不等式，可判定D正确.
【详解】对于A中，若 ，可得
因为 ，可得 ，解得 ，
又因为 时， ，所以方程无解，所以A错误；
对于B中，因为 ，可得 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
则 ，所以B正确；
对于C中，由 ，则 ，所以C错误；
对于D中，因为 ，可得 ，且 ，
则 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 的最大值为 ，所以D正确.
故选：BD.
11．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 值域为
B．函数 是增函数
C．不等式 的解集为
D．
【答案】ACD
【分析】对于A，令 ，利用换元法和对数函数的性质即可求得；对于B，令 由
复合函数的单调性进行判断即可；对于C，利用函数的奇偶性和单调性进行解不等式；对于D，由
即可求解.
【详解】对于A，令 ，又因为 在 上递增，所以 ，由
对数函数的性质可得， 的值域为R，故A正确；
对于B，因为 在 上递增， 在 上递减，由复合函数的单调性可知，
为减函数，故B错误；
对于C，因为 的定义域为 ，且 ,，所以 为奇函数，且 在 上为减函数，
不等式 等价于 即 ，
等价于 ，解得 ，故C正确；
对于D，因为 且 ，所以
，故D正确.
故选：ACD.
12．在四棱锥 中， 平面 ， ， ，四棱锥 的外接球为
球O，则（ ）
A． ⊥ B．
C． D．点O不可能在平面 内
【答案】AC
【分析】A选项，推出 四点共面，结合 得到 ⊥ ；B选项，若四边形 为正
方形，此时 ；C选项，得到球心 在 的垂直平分线上，故 到平面 距离为 到
平面 距离的一半，C正确；D选项，举出实例，D错误.
【详解】A选项，四棱锥 的外接球为 为顶点的球，
而 四点共面，故这四点必共圆，
又 ，故 为直径， ⊥ ，A正确：
B选项，由A可知， 四点共圆，
又 ， 为直径，若四边形 为正方形，此时 ， ，B错误；
C选项，因为 平面 ，所以球心 到 两点的距离相等，
即球心 在 的垂直平分线上，
故 到平面 距离为 到平面 距离的一半，
故 ，C正确；
D选项，当四边形 为正方形时，连接 ，相交于点 ，
则 ⊥平面 ，
结合球心 在 的垂直平分线上，此时 为 中点，
点O在平面 上，D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知集合 ， ，则 .
【答案】
【分析】通过解一元二次不等式，求解函数值域，结合 ， ，用列举法表示集合 ，再结合补
集的定义，即得解
【详解】由题意， ，又
又
由于 ，又
故故答案为：
14．已知向量 的夹角为 ， ，则 ， ．
【答案】 2
【分析】根据向量垂直的表示得 ，利用数量积的运算性质计算可得 ；根据
与 ，结合数量积的运算性质求解可得出 .
【详解】由向量 的夹角为 ，且 ，
得 ，
所以 ．
因为 ，
，
所以 ．
故答案为：2， .
15．已知 ，数列 为 ，规律是在 和 中间插入
项，所有插入的项构成以3为首项，2为公差的等差数列 ，则数列 的前30项和为 ．
【答案】829
【分析】因为所有插入的项构成以3为首项，2为公差的等差数列，根据题意，得到数列的前30项中含有
的前7项，含有 的前23项，结合等差、等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】因为 ，所以 为等比数列，所有插入的项构成以3为首项，2为公差的等差数列，
由于 ， ， ， ，
因此数列 的前30项中含有 的前7项，含有 的前23项，
所以所求和为 ．
故答案为：829.16．若存在正实数 满足 ，则 的最大值为 ．
【答案】 /
【分析】不等式变形，换元后得到 ，令 ，则 ，再令
，求导得到其单调性，得到 ，从而 ，解得 ，得到故 ， ，求导，得到单调
性和最值，求出答案.
【详解】存在正实数 满足 ，
不等式两边同除以 得 ，
令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故 在 处取得极大值，也是最大值，故 ，
即 ，
综上， ，解得 ，
故 ， ，
故 ，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
故当 时， 取得极大值，也是最大值，最大值为 .
故答案为：
【点睛】常见的不等式放缩有 ， ， ， ，
等，再求参数取值范围或证明不等式时，常常使用以上不等式进行适当变形进行求解.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
记 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ．(1)求 的值；
(2)边 的垂直平分线交边 于点 ，若 ，求 的面积．
【答案】(1) ;(2) .
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，借助余弦定理建立方程组，消元计算即可；
（2）分析边角关系，在 中通过正弦定理得 ，利用面积公式计算即可.
【详解】（1）因为 ，所以 即 ．
在 中，由正弦定理得 ．
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ②．
因为 ，所以 ①．
将①代入②得 ，所以 ..........................5分
（2）结合（1）问：在 中，由余弦定理得 ，
．
因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
在 中，由正弦定理得 ，解得： ，
所以 ，
的面积 .
..........................10分18．（12分）
设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 .
(1)求 ；
(2)证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据切线方程，求得切点与切线斜率，建立方程，可得答案；
（2）由（1）写出函数解析式，化简整理不等式，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，可
得答案.
【详解】（1）函数 的定义域为 .
将 代入 ，解得 ，即 ，
由切线方程 ，则切线斜率 .
故 ，解得 ..........................6分
（2）证明：由（1）知 ，
从而 等价于 .
设函数 ，则 .
所以当 时， ，当 时， .
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
从而 在 上的最小值为 .
设函数 ，
从而 在 上的最大值为 .
故 ，即 . .........................12分
19．（12分）如图，平面 平面 ，四边形 为矩形， 为正三角形， ， 为 的中点.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)已知四棱锥 的体积为 ，求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）利用平面几何知识结合已知条件可以证明 ，再利用面面垂直的性质进一步证明
，
结合线面垂直、面面垂直的判定定理即得证.
（2）不妨设 ，则点 到平面 的距离即为 的长度，结合附加条件四棱锥 的
体积为 可以求得所有棱长，最终利用平面几何知识即可求解.
【详解】（1）一方面：因为 为正三角形且 为 的中点，所以 （三线合一），
又因为平面 平面 且平面 平面 ，并注意到 平面 ，
所以由面面垂直的性质可知 平面 ，
又因为 平面 ，
所以由线面垂直的性质可知 ；
另一方面：由题意不妨设 ，则 ，
因为 为正三角形且 为 的中点，所以 ， ，
所以 ，且 ，注意到 与 均为锐角，
所以 ，不妨设 ，因为 ，
所以 ，即 .
综合以上两方面有 且 ，
注意到 ， 平面 ， 平面 ，
所有由线面垂直的判定有 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 .. .........................6分
（2）由（1）可知 平面 ，则点 到平面 的距离即为 的长度，
一方面梯形 的面积为 ， ，
所以有四棱锥 的体积为 ，
另一方面由题可知四棱锥 的体积为 ，
结合以上两方面有 ，解得 ，
因为 ，所以 ，由（1）可知 ，
所以 ，所以 ，
所以 . . .........................12分
20．（12分）
已知甲、乙两支登山队均有n名队员，现有新增的4名登山爱好者 将依次通过摸出小球的颜色来
决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，
其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各
1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如
此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则
被分至乙队．
(1)求 三人均被分至同一队的概率；
(2)记甲，乙两队的最终人数分别为 ， ，设随机变量 ，求 ．
【答案】(1) ；
(2) .【分析】（1）由题意， 三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，分别求出 被分至甲队即
摸出红球的概率、 被分至甲队即 摸出红球的概率、 被分至甲队即 摸出红球的概率，再应用条件概
率公式及互斥事件加法求 三人均被分至同一队的概率；
（2）根据题意有 可能取值为 ，分析 各对应值的实际含义，并求出对应概率，进而求期望即可.
【详解】（1） 三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，
记事件 “ 被分至甲队”， 事件 “ 被分至甲队”， 事件 “ 被分至甲队”，
当 即将摸球时，箱中有2个红球和2个黑球，则 被分至甲队即 摸出红球的概率为 ；
当 被分至甲队时，箱中有2个红球和3个黑球，则 被分至甲队即 摸出红球的概率为 ；
当 均被分至甲队时，箱中有2个红球和4个黑球，则 被分至甲队即 摸出红球的概率为
；
所以 ，则 ，
同理知：新增登山爱好者 均被分至乙队的概率也为 ，
所以 三人均被分至同一队的概率为 .. . .........................6分
（2）由题设， 可能取值为 ，
为新增的4名登山爱好者被分至同一队，则 ，
为新增的4名登山爱好者中有3名均被分至同一队，其余1名被分至另一队，
设新增的第 名登山爱好者被单独分至甲队或乙队，则
， ，
， ，
所以 ，
为新增的4名登山爱好者中各有2名被分至甲队和乙队，则
，
所以 .. . .........................12分
21．（12分）
在平面直角坐标系中，已知双曲线 的浙近线方程为 分别是双曲线 的
左､右顶点.
(1)求 的标准方程；(2)设 是直线 上的动点，直线 分别与双曲线 交于不同于 的点 ，过点 作直线
的垂线，垂足为 ，求当 最大时点 的纵坐标.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用给定的渐近线方程求出 即可得双曲线方程.
（2）设出直线 的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理、三点共线探求直线 过的定点，结合几
何意义求解即得.
【详解】（1）双曲线 的渐近线方程为 ，即 ，依题意， ，
所以 的标准方程为 ... . ........................4分
（2）由（1）知， ，设 ，
显然直线 不垂直于 轴，否则由双曲线的对称性，点 在 轴上，不符合题意；
设直线 ，
由 消去 得 ，
有 ，
则 ，于是 ，.. . ........................6分
由 三点共线得直线 的斜率满足 ，同理，由 三点共线得 ，
消去 ，得 ，即 ，整理得 ，即 ，
则 ，因此 或 ，
若 ，又 ，得 ，
结合 ，从而 ，即 ，不成立，
即 ，因此 ，满足 ，.. . .........................10分
则直线 恒过点 ，点 在以 为直径的圆 上，
当 与 重合时， 最大，此时 轴， ，
所以当 最大时，点 的纵坐标为 ... . .........................12分
【点睛】思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设直线方程为 ，再与圆锥
曲线方程联立结合已知条件探求k，m的关系，然后推理求解.
22．（12分）
已知无穷数列 满足 ，其中 表示x，y中最大的
数， 表示x，y中最小的数.
(1)当 ， 时，写出 的所有可能值；
(2)若数列 中的项存在最大值，证明：0为数列 中的项；
(3)若 ，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有 ？如果存在，写出一个
满足条件的M；如果不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据定义知 ，讨论 、 及 大小求所有 可能值；
（2）由 ，假设存在 使 ，进而有 ，可得 ，
即可证结论；（3）由题设 ，令 ，讨论 、 求证 即可判断存在
性.
【详解】（1）由 ， ，
若 ，则 ，即 ，此时 ，
当 ，则 ，即 ；
当 ，则 ，即 ；
若 ，则 ，即 ，此时 ，
当 ，则 ，即 ；
当 ，则 ，即 （舍）；
综上， 的所有可能值为 .... . .........................3分
（2）由（1）知： ，则 ，
数列 中的项存在最大值，故存在 使 ， ，
由 ，
所以 ，故存在 使 ，
所以0为数列 中的项；... . ........................7分
（3）不存在，理由如下：由 ，则 ，
设 ，
若 ，则 ， ，
对任意 ，取 （ 表示不超过 的最大整数），
当 时，
；
若 ，则 为有限集，
设 ， ，对任意 ，取 （ 表示不超过 的最大整数），
当 时，
；
综上，不存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有 .... . .........................12分
【点睛】关键点点睛：第三问，首选确定 ，并构造集合 ，讨论
、 研究存在性.
