2016第十六届中环杯五年级决赛详解_小学奥数举一反三1-6年级相关课程_奥数历年杯赛真题全套（PDF、Word可打印）_06、其他-中环杯真题（部分年限二、三、四、五年级）_决赛_五年级

第十六届“中环杯”中小学生思维能力训练活动 五年级决赛 2016年3月5日 12:30~14:00 考试时间：90分钟 满分：100分 一、填空题A：（本大题共8小题，每题6分，共48分） 【第1题】  1 1 1 1  计算：2016    ________。 21 42 27 54 【分析与解】 计算。  1 1 1 1  2016     21 42 27 54  1 1   1 1  2016      21 42 27 54  1 1  2016   14 18 1 1 2016 2016 14 18 144112 32 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵【第2题】 若E、U 、L、S、R、T分别表示1、2、3、4、5、6（不同的字母表示不同的数字），且满足： ⑴EU L6； ⑵SRU T 18； ⑶UT 15； ⑷SL8。 则六位数EULSRT ________。 【分析与解】 ⑴因为EU L6； 而1236； 所以E,U,L1,2,3； ⑵因为SRU T 18； 而654318； 所以S,R,U,T6,5,4,3； ⑶因为UT 15； 而1511535； 所以U,T3,5； ⑷因为SL8； 而81824； 所以S,L2,4。 由⑴和⑶，得U 3，则T 5； 由⑴和⑷，得L2，则S 4； 最后分别结合⑴和⑵，得E1，R6； 故六位数EULSRT 132465。 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵【第3题】 一个超过20的自然数N，在14进制与20进制中都可以表示为回文数（回文数就是指正读与倒读都一样的 数，比如12321、3443都是回文数，而12331不是回文数）。N的最小值为________（答案用10进制表示）。 【分析与解】 数论，进制与位值。 因为N 20； 所以N在14进制与20进制中都不是一位数；     我们希望N要尽可能小，故设N  aa  bb ； 14 20 即N a14ab20b； N 15a21b； 则N既是15的倍数又是21的倍数； 故N是15,21357105的倍数； 而105 77 55 ，符合题意； 10 14 20 故N的最小值为105。 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵【第4题】 1 一位父亲要将他的财产分给他的孩子：首先将1000元以及剩余财产的 给老大，其次将2000元以及剩余 10 1 1 财产的 给老二，再次将3000元以及剩余财产的 给老三，以此类推。结果发现每个孩子都分到了相同 10 10 数量的财产。这位父亲一共有________个孩子。 【分析与解】 （方法一） 设这个父亲的财产有x元； 由老大与老二分得财产相同，得 1   1   1 1000x1000 2000  x10001 2000   ； 10   10  10 解得x81000； 1 老大分得1000810001000 9000元； 10 即每个孩子都分到了9000元； 这位父亲一共有8100090009个孩子。 （方法二） 因为每个孩子都分到了相同数量的财产； 所以老大与老二分得财产相同； 1 老大分得1000元以及剩余财产（这里的剩余我们记为A）的 ； 10 1 老二分得2000元以及剩余财产（这里的剩余我们记为B）的 ； 10 1 1 那么A的 比B的 多200010001000元； 10 10 1 A比B多1000 10000元； 10 1 从A到B依次减少A的 和2000元； 10 1 故A的 为1000020008000元； 10 1 A为8000 80000元； 10 这个父亲的财产有10008000081000元； 1 老大分得1000810001000 9000元； 10 即每个孩子都分到了9000元； 这位父亲一共有8100090009个孩子。 （方法三） 设这位父亲一共有n个孩子； 1 则倒数第二个孩子分得1000n1元以及剩余的 ； 10 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵最后一个孩子分得1000n元； 1 9 这1000n元是倒数第二个孩子分得1000n1之后剩余的1  ； 10 10 每个孩子都分到了相同数量的财产； 由倒数第二个孩子与最后一个孩子分得财产相同，得 1 1000n11000n 1000n； 9 解得n9； 这位父亲一共有9个孩子。 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵【第5题】 如图，一个长方形的表格有8列，将数字1、2、…按一定顺序填入表格中（从左往右填，等一行填满后进 入下一行，还是从左往右填）。一个学生先将填有数字1的格子涂黑，接下来跳过1个格子，将填有数字3的 格子涂黑；接下来跳过2个格子，将填有数字6的格子涂黑；接下来跳过3个格子，将填有数字10的格子 涂黑。依次类推，直到所有列都含有至少一个黑格为止（不再继续涂黑了）。那么，他涂黑的最后一个格 子里的数字为________。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【分析与解】 （方法一） 第1个涂黑的格子为1； 第2个涂黑的格子为312； 第3个涂黑的格子为6123； 第4个涂黑的格子为101234； …… 依次类推，第n个涂黑的格子为12n。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵这样我们可以得到涂黑的格子依次为11mod8，1233mod8， 12366mod8，1234102mod8， 125157mod8，126215mod8， 127284mod8，128364mod8， 129455mod8，1210557mod8， 1211662mod8，1212786mod8， 1213913mod8，12141051mod8， 12151200mod8， 至此mod8余0~7的数都出现了； 即所有列都含有至少一个黑格； 他涂黑的最后一个格子里的数字为120。 （方法二） 第1个涂黑的格子为1； 第2个涂黑的格子为312； 第3个涂黑的格子为6123； 第4个涂黑的格子为101234； …… 依次类推，第n个涂黑的格子为12n。 涂黑的格子mod8的余数依次为1，3，6，2，7，5，4，… 至此，除了mod8余0，其余mod8余1~7都已经出现； 故我们只要考虑12n0mod8； 1 8|12n nn1； 2 16|nn1； 因为n与n1互质； 故16|n或16|n1； 我们希望n要尽可能的小； 则取n116； n15； 这样，他涂黑的最后一个格子里的数字为1215115152120。 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵【第6题】 一个瓶子里有1001个蓝球、1000个红球、1000个绿球，同时小明手中还有足够的这三种颜色的球。接下 来，小明每次从瓶子中取出两个球，然后再按照下面的规则将一个球或两个球放入瓶中。 ⑴如果取出一个蓝球、一个绿球，则放回去一个红球； ⑵如果取出一个红球、一个绿球，则放回去一个红球； ⑶如果取出两个红球，则放回去两个蓝球； ⑷如果取出的两个球不是上面3种情况，则放回去一个绿球。 不断重复上述操作，直到瓶中只剩下一个球为止。剩下的一个球是________球（填“红”、“蓝”、“绿”、 “不确定” 【分析与解】 操作类问题；奇偶性。 取球的情况 红、蓝、绿三种颜色的球的个数变化 拿出的两个球 放回的一个球或两个球 蓝球个数 红球个数 绿球个数 ⑴ 1个蓝球、1个绿球 1个红球 1 1 1 ⑵ 1个红球、1个绿球 1个红球 不变 不变 1 ⑶ 2个红球 2个蓝球 2 2 不变 2个蓝球 1个绿球 2 不变 1 ⑷ 2个绿球 1个绿球 不变 不变 1 1个蓝球、1个红球 1个绿球 1 1 1 从表中我们可以观察出，红球个数与蓝球个数的奇偶性同时发生变化； 而开始瓶子里有1001个蓝球、1000个红球； 即开始时，蓝球有奇数个，红球有偶数个，蓝球与红球个数的奇偶性不同； 则无论怎么操作，蓝球与红球个数的奇偶性始终不同； 这样，最后不可能出现“0个蓝球、0个红球、1个绿球”的情况。 而我们注意到，放回去的球的情况，没有“放回去1个蓝球”的情况； 即也不可能出现“1个蓝球、0个红球、0个绿球”的情况。 综上所述，剩下的一个球是红球。 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵【第7题】 从图a的正六边形网格中选出图b的形状，有________种不同的选法（注意：图b可以旋转）。 图b 图a 【分析与解】 计数。 首先，我们考虑图b不旋转的情况下； 一共与有4565424种不同的选法； 再结合图b有3种不同的方向，且每种方向选法数相同； 故从图a的正六边形网格中选出图b的形状，有24372种不同的选法。 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵【第8题】 如图，在△ABC 中， ABC 90 ， BC 8。 D 和 E 分别是 AB 和 AC 上的点，使得 CDDE ， DCBEDA。若△EDC的面积为50，则AB的长度为________。 C E A D B 【分析与解】 几何；勾股定理，弦图；相似三角形，金字塔模型。 C E A F D B 过点E作EF  AB，垂足为F 。 在△BCD与△FDE中， CBDDFE90   DCBEDF  CDDE  所以△BCD≌△FDE ； （弦图的一半） C E A F D B 所以BC FD，BDFE，BCDFDE； 因为B90； 所以BCDBDC 90； 所以FDEBDC 90； 因为FDECDEBDC 180； 所以CDE90； 这样我们可以得到△EDC是等腰直角三角形； 且由S 50，得CDDE10； △EDC 而BC FD8； 再结合勾股定理，得BDFE6。 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵在△ABC和△AFE中，  BAC FAE  ； ABC AFE90 所以△ABC∽△AFE ； （金字塔模型）； C E A F D B C E A F D B EF AF 所以  ； BC AB 6 AB14  ； 8 AB 解得AB56。 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵二、填空题B：（本大题共4小题，每题8分，共32分） 【第9题】 将如图两种由单位小正方形组成的图形（这种图形的面积均为3）放入814的大长方形网格中，要求任意 两块图形之间不存在公共点。那么814的大长方形网格中最多可以放入两种类型的图形共________个。 【分析与解】 在814的大长方形网格中，有915135个格点； 而无论是“L型”还是“一字型”的三连块，每个都有8个格点； 1358167； 故在814的大长方形网格中，可以放入两种类型的图形的个数不超过16个。 另一方面，摆放16个的例子可以构造出来（构造方式不惟一）。 构造方法一 构造方法二 综上所述，814的大长方形网格中最多可以放入两种类型的图形共16个。 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵【第10题】 Sn表示自然数n的数码和，比如S1231236。如果两个不同的正整数m、n，满足  m100   n100  ，那么我们就称m、n构成一个数对m,n。 mn  mSnn2Sm  数对m,n共有________对。 【分析与解】 数论，同余；计数。 我们知道，一个数与其数字之和mod9的余数相同； 即nSnmod9； 则nSn0mod9； 由mSnn2Sm，得 SmnSnmSm0mod9； 故m0mod9； 即m是9的倍数； 因为m100且m为正整数； 所以m9，18，27，…，99， 代入nSnm2Sm进行逐一计算； 并设nab10ab（ab为广义两位数）； 则Snab； nSn9a， 即9am2Sm ⑴当m9时，Sm9，9a992，a1，舍去； ⑵当m18时，Sm189，9a1892，a0，n1~9，有9对； ⑶当m27时，Sm279，9a2792，a1，n10~19，有10对； ⑷当m36时，Sm369，9a3692，a2，n20~29，有10对； 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵⑸当m45时，Sm459，9a4592，a3，n30~39，有10对； ⑹当m54时，Sm549，9a5492，a4，n40~49，有10对； ⑺当m63时，Sm639，9a6392，a5，n50~59，有10对； ⑻当m72时，Sm729，9a7292，a6，n60~69，有10对； ⑼当m81时，Sm819，9a8192，a7，n70~79，有10对； ⑽当m90时，Sm909，9a9092，a9，n80~89，有10对； ⑾当m99时，Sm9918，9a99182，a7，n70~79，有10对； 综上所述，数对m,n共有910101099对。  9个10 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵【第11题】 如图，正方形ABCD的边长为4，正方形CEFG的边长为12，D、C、E三点在一条直线上。联结DF， 作GI//DF与DA的延长线交于点I 。作IH DF 与DF交于点H 。则IH 的长度为________。 G F I A B H D C E 【分析与解】 几何，勾股定理，相似三角形。 （方法一） G F I J A B H D C E 过点G作GJ DF，垂足为J。 在Rt△DEF 中，E90，EF 12，DE41216； 由勾股定理，得DF 20； 因为E90； 所以EDF EFD90； 因为EFGJFGEFD90； 所以EDF JFG； 在△DEF和△FJG中， DEF FJG90  ；  EDF JFG 所以△DEF∽△FJG； FE DF 所以  ； GJ FG 12 20 所以  ； GJ 12 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵36 解得GJ  ； 5 因为GI//DF，IH DF ，GJ DF； 所以IH GJ； 36 所以IH  。 5 （方法二） K G F I A B H D C E 分别延长DI、FG，相交于点K。 在Rt△KDF中，K 90，KD12，KF 41216； 由勾股定理，得DF 20； 因为GI//DF； 所以△KDF∽△KIG； （金字塔模型） KF KD DF 所以   ； KG KI IG 16 12 20 所以   ； 4 KI IG 解得KI 3，IG5； S KGKI 24326； △KIG S KFKD21612296； △KDF S S S 96690； 梯形DFGI △KDF △KIG S IGDFIH 2； 梯形DFGI 520IH 290； 36 解得IH  。 5 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵【第12题】 将一个444的立方体切割成64个111的小立方体，然后将其中16个111的小立方体染成红色，要 求与任意一条棱平行的4个小立方体中，都正好有1个小方体被染成红色。不同的染色方法有________种 （旋转后相同的染色方法也视为不同的染色方法）。 【分析与解】 一个444的立方体，从上往下一共有4层，每层是一个441的长方体； 由题意“与任意一条棱平行的4个小立方体中，都正好有1个小方体被染成红色”，得 每层441中，都正好有4个正方体染成红色； 且从上往下看，每层染成红色的小立方体的俯视图为一个44的正方形。 对这个44正方形，我们分别用“1”、“2”、“3”、“4”各4个， 表示第1、2、3、4层对应的小方格染成红色； 并且按照题意，这个44正方形中，每行、每列“1”、“2”、“3”、“4”各1个。 故问题转化为“用“1”、“2”、“3”、“4”各4个填在一个44正方形中，要求每行、每列“1”、“2”、 “3”、“4”各1个，不同的填法有多少种？” 我们先考虑“1”，每行各1个，且不同列，有432124种填法；我们不妨设为图1的情况。 1 1 1 1 图1 我们再考虑“2”，第一行的“2”有3种填法；我们不妨设为图2的情况； 1 2 1 1 1 图2 若第二行的“2”填在第一列，则第三行的“2”填在四列，第四行的“2”填在三列；（如图3） 若第二行的“2”填在第三列，则第四行的“2”填在一列，第三行的“2”填在四列；（如图4） 若第二行的“2”填在第四列，则第三行的“2”填在一列，第四行的“2”填在三列；（如图5） 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 图3 图4 图5 我们再考虑“3”，第一行的“3”有2种填法；我们不妨设为第一行的“3”填在第三列（如图6~8）； 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 图6 图7 图8 图6余下的有2种填法；（如图9和图10） 图7余下的有1种填法；（如图11） 图8余下的有1种填法；（如图12） 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 1 4 3 2 1 4 3 4 1 2 3 3 1 4 2 3 4 1 2 4 3 1 2 3 4 1 2 2 4 1 3 4 3 2 1 3 4 2 1 2 3 4 1 4 3 2 1 图9 图10 图11 图12 故第一行的“2”填在第2列，第一行“3”填在第3列，有4种； 不同的填法有24324576种。 原题不同的染色方法有576种。 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵三、动手动脑题：（本大题共2小题，每题10分，共20分） 【第13题】 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行（乙从B地出发），乙车速度是甲车的k倍（k 1）。两 车分别到达B地和A地后，立即返回。返回时，甲车的速度保持不变，乙车的速度等于甲车的速度。返回 CD 1 途中，两车在C点相遇。如果AB的中点为D点，并且  ，求：k。（请写出解题过程） AD 2 【分析与解】 行程问题。 甲 A B D C 乙 因为AB的中点为D点； 1 所以ADBD AB； 2 CD 1 因为  ； AD 2 所以AD:DC:CB2:1:1； 乙行驶BA这段的速度为甲车的k倍，行驶AC这段的速度等于甲车的速度； 由相同的时间，速度比等于路程比，得 1:k ABBCAC:BA413:41:2； 故k 2。 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵【第14题】 如图，根据下面的要求填满此表： ⑴每个小方格内填入一个数字，这个数字必须是小于10的自然数； ⑵同一区域内的小方格填入相同的数字（虚线表示同一区域的内部）； ⑶最左边列的小方格不能填入数字0； ⑷从上往下数第1行的四个数码从左至右构成一个四位数，这个四位数可以表示为 pq，其中 p、q都是质 数； ⑸从上往下数第2行的四个数码从左至右构成一个四位数，这个四位数可以表示为两个连续质数的乘积（比 如3、5就称为连续质数）； ⑹从上往下数第3行的四个数码从左至右构成一个四位数，这个四位数是一个完全平方数； ⑺从上往下数第4行的四个数码从左至右构成一个四位数，这个四位数是37的倍数。 【分析与解】 数论综合。 A B C D E F C D E E G G E H G G 每个小方格填上字母，同一区域内的小方格填字母， 相同的字母代表相同的数字，不同的字母既可以代表不同的数字也可以代表相同的数字。 由⑹得，EEGG是完全平方数； 完全平方数的末两位可能是00、25、奇6、偶1、偶4、偶9； 若完全平方数的末两位的两个数字相同，则只能是00或44； 而EEGGE0G11是11的倍数； 则EEGG是112的倍数； E0GEEGG11是11的倍数； 由11的整除特性，得EG0EG是11的倍数； 只能EG11； 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵故G不可能是0，只能G4，E11G1147；且7744882。 A B C D 7 F C D 7 7 4 4 7 H 4 4 由⑺得，EHGG7H44是37的倍数； 9993337； 因为7H44是37的倍数； 所以7H440也是37的倍数； 由37的整数特性，7H 440510H 是37的倍数； 510371329； H 37298。 A B C D 7 F C D 7 7 4 4 7 8 4 4 由⑸得，EFCD7FCD可以表示为两个连续质数的乘积； 我们通过整十数进行估算：802 6400、902 8100； 再进一步计算可得，79836557，83897387，89978633； 故EFCD7FCD只能是83897387； F 3，C 8，D7。 A B 8 7 7 3 8 7 7 7 4 4 7 8 4 4 由⑷得，ABCD AB87 pq，其中 p、q都是质数； 首先， p的个位数字只能为3、7； 其次q不可能太大； 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵注意到311 9999，则q2、3、5、7。 当q2时，因为完全平方数的个位数字可能是0、1、4、9、6、5，不可能为2、3、7、8； 故不存在。 当q3时， p的个位数字只能为3，经尝试，33 27，133 2197，233 9999，不存在； 当q5时， p的个位数字只能为7，经尝试，75 9999，不存在； 当q7时， p的个位数字只能为3，经尝试，37 2187，137 9999；37 2187符合； 故ABCD AB872187； A2，B1。 2 1 8 7 7 3 8 7 7 7 4 4 7 8 4 4 更多杯赛信息敬请关注家长帮社区 http://jzb.com/bbs/sh/ 上海学而思 外联竞赛部 第十六届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛 城隍喵