杭州二模数学答案_2024年4月_01按日期_10号_2024届浙江省杭州市高三二模_2024届浙江省杭州市高三下学期教学质量检测（二模）数学

2023 学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B B A A C D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．ABC 10．ACD 11．BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．y＝√3x＋2或y＝√3x－2（写出一个即可） 13．2√2 14． 3√17 17 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 15．（13分） 解 （1）设等差数列{a }的首项为a ，公差为d． n 1 由S ＝4S ，a ＝2a ＋1，得 4 2 2n n 4𝑎 +6𝑑＝8𝑎 +4𝑑； 1 1 { 𝑎 +(2𝑛−1)𝑑＝2𝑎 +2(𝑛−1)𝑑+1， 1 1 解得a ＝1，d＝2． 1 所以 a ＝2n－1（n∈N*）． …………6分 n （2）由（1）知，(2n－1)b ＝(2n＋3)b ， n n＋1 即 𝑏𝑛+1 = 2𝑛−1 ，利用累乘法： 𝑏𝑛 2𝑛+3 所以 b ＝ 𝑏𝑛 ∙ 𝑏𝑛−1∙⋯∙ 𝑏2∙𝑏 = 2𝑛−3 ∙ 2𝑛−5 ∙⋯∙ 3 ∙ 1 ∙3 n 1 𝑏𝑛−1 𝑏𝑛−2 𝑏1 2𝑛+1 2𝑛−1 7 5 9 9 1 1 ＝ = ( − )． (2𝑛−1)(2𝑛+1) 2 2𝑛−1 2𝑛+1 n 9 1 9 所以b ＝ (1− )< ． …………13分 k 2 2𝑛+1 2 k1 第1页（共4页）16．（15分） 解 （1）因为f ′(x)＝ 𝑎 −𝑥＝ −(𝑥+1)2+𝑎+1， 𝑥+2 𝑥+2 （ⅰ）当a≤－1时，f (x)在(－2，＋∞)单调递减； （ⅱ）当－1＜a＜0时， 当x∈(－2，－√𝑎+1－1)，f ′(x)＜0． 当x∈(－√𝑎+1−1，√𝑎+1－1)，f ′(x)＞0． 当x∈(√𝑎+1－1，＋∞)，f ′(x)＜0． 所以f (x)在(－2，－√𝑎+1－1) 单调递减，在(－√𝑎+1−1，√𝑎+1－1) 单 调递增，在(√𝑎+1－1，＋∞)单调递减； （ⅲ）当a≥0时，f (x)在(－2，√𝑎+1－1)单调递增，(√𝑎+1－1，＋∞)单调 递减． …………7分 （2）（i）由（1）知－1＜a＜0． …………9分 （ii）由（1）知f (x)极大值为f (√𝑎+1－1)， 因为f (√𝑎+1－1)＝aln(√𝑎+1+1)− 1 (√𝑎+1−1)2＜0， 2 又因为𝑓(𝑒𝑎 4 −2)＝4− 1 (𝑒𝑎 4 −2) 2 ＞0． 2 所以函数f (x)有且只有一个零点． …………15分 17．（15分） z 解 （1）在△DCM中，由余弦定理可得DM＝√3， 所以DM2＋DC2＝CM2，所以∠MDC＝90°， P Q 所以DM⊥DC． 又因为DC⊥PD，所以DC⊥平面PDM． x 所以DC⊥PM． y D 显然，四边形PQBM为平行四边形，所以PM∥QB． E C A 又AB//DC，所以AB⊥BQ， M B 所以∠ABQ＝90°． ……………6分 （2）因为QB⊥MD，所以PM⊥MD，所以PM⊥平面ABCD． 取AD中点E，连接PE，设PM＝h． 设多面体ABCDPQ的体积为V， 1 15 则V＝V 三棱柱ABQ－PEM ＋V 四棱锥P－CDEM ＝S △QAB ×√3＋ S 四边形CDEM ×h＝ ． 3 2 解得PM＝h＝3√3． ………………9分 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(－√3，2，0)，B(－√3，1，0)，C(√3，－1，0)， 第2页（共4页）D(√3，0，0)，P(0，0，√3)，Q(－√3，1，3√3)，M(0，0，0)． 则平面QAB的一个法向量n＝(1，0，0)． 所以𝐶⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ ＝(0，1，0)，𝑃⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ ＝(√3，0，－3√3)， 设平面PCD的一个法向量m＝(x，y，z)，则 𝒎∙𝐶⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ =0， 𝑦 =0， { 即{ 取m＝(3，0，1)． 𝒏∙𝑃⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ =0， √𝟑𝑥−3√3𝑧=0， 所以cosθ＝ |𝑚∙𝒏| ＝3√10． |𝒎|∙|𝒏| 10 所以平面PAD与平面PMD夹角的余弦值为3√10． ………………15分 10 18．（17分） 解 （1）设P(x ，y )是椭圆上一点，则x 2＋4y 2＝4． 0 0 0 0 因为| PM |＝√(𝑚−𝑥 )2+𝑦2 =√ 3 (𝑥 − 4 𝑚)2− 1 𝑚2+1，（－2≤x ≤2）． 0 0 4 0 3 3 0 3 1 ① 若0＜m≤ ，| PM | ＝√1− 𝑚2＝1， min 2 3 解得m＝0 （舍去）． ………………………3分 3 3 ② 若m＞ ，| PM | ＝√ ∙4−4𝑚+𝑚2+1＝1， min 2 4 解得m＝1（舍去）或m＝3． 所以M点的坐标位（3，0）． ………………………6分 （2）（i）设直线l：x＝ty＋3，C(x ，y )，D(x ，y )． 1 1 2 2 𝑥 =𝑡𝑦+3 由{ 𝑥2 +𝑦2 =1 ，得(t2＋4)y2＋6ty＋5＝0． 4 6𝑡 5 所以 y ＋y ＝－ ，y y ＝ ． 1 2 𝑡2+4 1 2 𝑡2+4 6 所以 y ＋y ＝－ ty y ① 1 2 1 2 5 由△＝16t2－80＞0，得t＞√5或t＜－√5． 易知直线AC的方程为y＝ 𝑦1 (x＋2) ② 𝑥1+2 直线BD的方程为y＝ 𝑦2 (x＋2) ③ 𝑥2−2 联立②③，消去y，得 𝑥+2 = (𝑥1+2)𝑦2 = (𝑡𝑦1+5)𝑦2 = 𝑡𝑦1𝑦2+5𝑦2 ④ 𝑥−2 (𝑥2−2)𝑦1 (𝑡𝑦2+1)𝑦1 𝑡𝑦1𝑦2+𝑦1 联立①④，消去ty y ，则 𝑥+2 = − 5 6 (𝑦1+𝑦2 )+5𝑦2＝－5． 1 2 𝑥−2 − 5 6 (𝑦1+𝑦2 )+𝑦1 4 4 解得x＝ ，即点G在直线x＝ 上． ……………………13分 3 3 （ii）由图可知，CG⊥DG，即AG⊥BG．所以点G在以AB为直径的圆上． 第3页（共4页）设G( 4 ，n)，则( 4 ) 2 ＋n2＝4， 3 3 所以n＝± 2√5 ，即G( 4 ，± 2√5 ) ． 3 3 3 故直线AC的方程为y＝± √5 (x＋2)， 5 直线AC的方程与椭圆方程联立，得 9x2＋16x－4＝0． 4 1 2 解得x 等于－2．所以x ＝－ ∙− = ， A C 9 2 9 所以y ＝± 4√5 ． C 9 故k＝k ＝± 4√5 ． …………………17分 l MC 25 19．（17分） 1 3 解（1）因为Y ~ B(3，p)，所以p的值为 或 ． 4 4 （i）表格如下 k 0 1 2 3 27 27 9 1 𝑃1(Y＝k) 4 64 64 64 64 1 9 27 27 𝑃3(Y＝k) 4 64 64 64 64 …………………5分 （ii）由题知P (Y＝k)＝C𝑘𝑝𝑘(1−𝑝)3−𝑘． p 3 1 3 当y＝0或1时，参数p＝ 的概率最大；当y＝2或3时，参数p＝ 的概率最 4 4 大． 1 ，𝑦＝0，1. 所以𝑝̂＝{4 ………………11分 3 ，𝑦＝2，3. 4 1 n 1 n （2）对对数似然函数进行求导，l′(p)＝ X − (1X )， 𝑝 i 1−𝑝 i i1 i1 1 n 1 n 因此似然方程为 X − (1X )＝0， 𝑝 i 1−𝑝 i i1 i1 1 n 解上面的方程，得𝑝̂＝ X ， 𝑛 i i1 因此，用最大似然估计的参数𝑝̂与频率估计概率的𝑝̂是一致的，故用频率估计 概率是合理的． ……………… 17分 第4页（共4页）