江苏泰州2024届高三2月调研测试数学试题+答案(1)_2024年3月_013月合集_2024届新高考19题（九省联考模式）数学合集140套

泰州市 2024 届高三调研测试
数学试题
（考试时间：120分钟；总分：150分）
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．有一组样本数据9，4，5，7，8，2，则样本中位数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．已知{ a }为等差数列，若m，n，p，q是正整数，则m+n= p+q是a +a =a +a 的（ ）
n m n p q
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分不必要条件
3．每袋食盐的标准质量为500克，现采用自动流水线包装食盐，抽取一袋食盐检测，它的实际质量与标准质
量存在一定的误差，误差值为实际质量减去标准质量．随机抽取100袋食盐，检测发现误差X（单位：克）
近似服从正态分布N ( 0,σ2 ) ，P ( X ≥2 )=0.02，则X介于－2~2的食盐袋数大约为（ ）
A．4 B．48 C．50 D．96
    
4．若e ，e 是夹角为60°的两个单位向量，则向量e −e 与e 的夹角为（ ）
1 2 1 2 2
A．30° B．60° C．90° D．120°
eaxsinx
5．已知函数 f ( x )= 是定义在R上的奇函数，则实数a=（ ）
1+ex
1
A．－1 B．0 C． D．1
2
6．若复数z满足 z−1 = z+i ，则 z−1 的最小值为（ ）
1 2
A． B． C．1 D． 2
2 2
y2
7．已知点P ( x ,y )在双曲线x2 − =1 ( b>0 )上，过点P作双曲线的渐近线的垂线，垂足分别为A，B，
0 0 b2
 
21
若x >1，PA⋅PB= ，则b=（ ）
0 32
A． 3 B．2 C． 7 D．2 2
π ( )  π
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A= ， 3−1 sinC = 2tan AsinC+  ，
10  4
则（ ）
A．c<b< 2c B． 2c<b< 3c C． 3c<b<2c D．b>2c
学科网（北京）股份有限公司二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．已知函数 f ( x )=sin2x+2sin2 x，则（ ）
π 
A．函数 f ( x )的图象关于点  ,0 对称
8 
 π
B．函数 f ( x )在区间 0,  上单调递增
 4
3π
C．函数 f ( x )的图象向左平移 个单位长度所得到的图象所对应的函数为偶函数
8
D．函数 f ( x )在区间(−π,π )上恰有3个零点
10．已知正方形ABCD的边长为4，点E在线段AB上，BE =1．沿DE将△ADE折起，使点A翻折至平
面BCDE外的点P，则（ ）
A．存在点P，使得PE ⊥ DC B．存在点P，使得直线BC∥平面PDE
C．不存在点P，使得PC ⊥ DE D．不存在点P，使得四棱锥P−BCDE的体积为8
11．甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．把从甲、乙两个口袋中各任取
一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记
为事件A ，B ，C ，则（ ）
n n n
5 4 2 55
A．P ( B )= B．P ( C A ) = C．P ( BC )= D．P ( A +B )=
1 9 3 1 27 1 2 81 1 2 81
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12．已知集合A= {( x,y ) x+ y =2 } ，B= { ( x,y ) ( x−1 )2 + y2 =1 } ，则AB中元素的个数为______．
x2 y2
13．在平面直角坐标系xOy中，椭圆 + =1 ( a >b>0 )的左焦点为F，点P在椭圆上，PF的中点为
a2 b2
Q，若OQ⊥ PF ，PF = 3OP，则椭圆离心率的值为______．
14．将“用一条线段联结两个点”称为一次操作，把操作得到的线段称为“边”．若单位圆上n个颜色各不相
同的点经过k次操作后，从任意一点出发，沿着边可以到达其他任意点，就称这n个点和k条边所构成的图
形满足“条件T”，并将所有满足“条件T”的图形个数记为T ( n,k )，则T ( 5,4 )=______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数 f ( x )= x4 +ax3，x∈R．
（1）若函数在点 ( 1, f ( 1 )) 处的切线过原点，求实数a的值；
（2）若a =−4，求函数 f ( x )在区间[−1,4 ]上的最大值．
学科网（北京）股份有限公司16．（15分）某游戏设置了两套规则，规则A：抛掷一颗骰子n次，若n次结果向上的点数之和大于2时，
继续下一次抛掷，否则停止抛掷；规则B：抛掷一颗骰子一次，结果向上的点数大于2时，继续下一次抛
掷，否则停止抛掷．
（1）若执行规则A，求抛掷次数恰为1次的概率；
（2）若执行规则B，证明：抛掷次数的数学期望不大于3．
17．（15分）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，△PAD为等边三角形，
点M，N分别为AB，PC的中点．
（1）证明：直线MN∥平面PAD；
（2）当二面角P−AD−C为120°时，求直线MN与平面PCD所成的角的正弦值．
18．（17分）已知抛物线E：x2 =2y，焦点为F，过F作y轴的垂线l ，点P在x轴下方，过点P作抛物线
0
E的两条切线l ，l ，l ，l 分别交x轴于A，B两点，l ，l 分别交l 于C，D两点．
1 2 1 2 1 2 0
（1）若l ，l 与抛物线E相切于C，D两点，求点P的坐标；
1 2
（2）证明：△PAB的外接圆过定点；
（3）求△PCD面积S的最小值．
2a −1 a +1
19．（17分）已知数列{ a }满足 n+1 + n =2，n∈N*．
n
a 2a
n n+1
（1）已知a >0，
n
①若a =1，求a ；
3 1
②若关于m的不等式a <1的解集为M，集合M中的最小元素为8，求a 的取值范围；
m 1
1
（2）若a = ，是否存在正整数k ( k ≥2 )，使得a =a ，若存在，求出k的最小值，若不存在，请说明
1 11 k 1
理由．
泰州市 2024 届高三调研测试
数学参考答案
（考试时间：120分钟；总分：150分）
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有
学科网（北京）股份有限公司一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
5+7
【解析】2，4，5，7，8，9，中位数 =6，选B．
2
2．【答案】A
【解析】m+n= p+q时，a +a =a +( m−1 ) d +a +( n−1 ) d
m n 1 1
=2a +( m+n−2 ) d =2a +( p+q−2 ) d =a +( p−1 ) d +a +( q−1 ) d =a +a ，
1 1 1 1 p q
充分a +a =a +a 时，( m+n−2 ) d =( p+q−2 ) d，
m n p q
d =0时，m+n与 p+q不一定相等，不必要，选A．
3．【答案】D
【解析】X ∼ N ( 0,σ2 ) ，P ( X ≥2 )=0.02，则P ( 0< x<2 )=0.48，
P (−2< X <2 )=0.96，100×0.96=96，选D．
4．【答案】D
    
( ) 2 1 1
【解析】 e −e e =e e −e = −1=− ，
1 2 2 1 2 2 2 2
     
2 2 1
e −e = e −2e ⋅e +e = 1−2× +1=1，
1 2 1 1 2 2 2
   1
   ( e −e ) e −
1 2 2 2 1
cos e −e ,e =    = =− ，夹角120°，选D．
1 2 2 e −e e 1×1 2
1 2 2
5．【答案】C
eax
【解析】 f ( x )为奇函数，g ( x )= 为偶函数，g (−x )= g ( x )，
1+ex
e−ax eax exe−ax eax 1
∴ = ，∴ = ，x−ax=ax，a= ，选C．
1+e−x 1+ex ex +1 ex +1 2
6．【答案】B
【解析】令z = x+ yi， z−1 = z+i ，∴y =−x，
z−1 = ( x−1 )2 + y2 = x2 −2x+1+x2 = 2x2 −2x+1，
1 2
x= 时 z−1 取最小值 ，选B．
2 2
7．【答案】C
学科网（北京）股份有限公司 1
1 y− y =− ( x−x )
【解析】PA：y− y =− ( x−x )， 0 b 0 ，
0 b 0
 y =bx
 x +by
x= 0 0

 b2 +1  x +by bx +b2y 
解得 ，A 0 0 , 0 0 ；
 bx +b2y  b2 +1 b2 +1 
y = 0 0
 b2 +1
 1
1 y− y = ( x−x )
PB：y− y = ( x−x )， 0 b 0 ，
0 b 0
 y =−bx
 x −by
x= 0 0

 b2 +1  x −by −bx +b2y 
解得 ，B 0 0 , 0 0 ，
 −bx +b2y  b2 +1 b2 +1 
y = 0 0
 b2 +1
 by −b2x bx − y   −by −b2x −bx − y 
PA= 0 0 , 0 0 ，PB= 0 0 , 0 0 ，

b2 +1 b2 +1
 
b2 +1 b2 +1

  b4x2 −b2y2 y2 −b2x2 b2⋅b2 b2 21
PA⋅PB= 0 0 + 0 0 = − = ，
( b2 +1 )2 ( b2 +1 )2 ( b2 +1 )2 ( b2 +1 )2 32
b= 7 ，选C．
8．【答案】A
( ) sinA 2 2 
【解析】 3−1 sinC = 2  sinC+ cosC，
 
cosA 2 2 
( )
3−1 ⋅sinCcosA=sinAsinC+sinAcosC，
3sinCcosA=sinAsinC+sinAcosC+sinCcosA
=sinAsinC+sin ( A+C )=sinAsinC+sinB，
( ) b π  7π ( )
sinB= 3cosA−sinA sinC， =2sin −A =2sin ∈ 1, 2 ，
c 3  30
∴c<b< 2c，选A．
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．【答案】BCD
学科网（北京）股份有限公司 π
【解析】 f ( x )=sin2x+1−cos2x= 2sin2x−  +1，对称中心纵坐标为1，A错．
 4
π π π π 3π  π 3 
− <2x− < ，则− < x< ，∴ f ( x )的一个单调增区间为  − , π ，
2 4 2 8 8  8 8 
 π  π 3π  π
而 0,  ⊆  − ,  ，∴ f ( x )在 0,   ，B对．
 4  8 8   4 
 3π   3π π  π
f x+  = 2sin2x+  −  +1= 2sin2x+  +1= 2cos2x+1为偶函数，C对．
 8    8  4  2
 π 2 π 3π π
f ( x )=0，则sin2x−  =− ，2x− =− +2k π或− +2k π，
 4 2 4 4 1 4 2
π π 3
∴x=− +k π或k π，k =0，x=− ；k =1，x= π；k =0，x=0，
4 1 2 1 4 1 4 2
∴ f ( x )在(−π,π )有三个零点，D对，选BCD．
10．【答案】AC
【解析】若PE ⊥ DC ，又PE ⊥ PD，则PE ⊥面PCD，则PE ⊥ PC，
而CE = 17，PE =3，PC =2 2有解，A对．
若BC∥平面PDE，BC ⊂平面BCDE，平面BCDE平面PDE = DE，
∴BC∥DE ，矛盾，舍去．
取PC中点N，∵PD= DC，则DN ⊥ PC，若PC ⊥ DE，则PC ⊥面DEN，
则PC ⊥ NE，则EP= EC 矛盾，∴不存在P使得PC ⊥ DE，C对．
1 3×4 12
S = ( 1+4 )⋅4=10，A到DE距离d = = ，
BCD 2 5 5
1 12
( V ) = × ×10=8，存在，D错，选AC．
P−BCDE max 3 5
11．【答案】ABD
1 1 2 2 5
【解析】方法一：P ( B )= × + × = ，A对．
1 3 3 3 3 9
2 2 1 4
( )
P C A =1× × × = ，B对．
3 1 3 3 3 27
学科网（北京）股份有限公司5 2 1 10
P ( BC )= × × = ，C错．
1 2 9 3 3 81
2 2 5 5 2 2 49
P ( B )= P ( AB )+P ( BB )+P ( C B )= ×1× + × + × ×1= ，
2 1 2 1 2 1 2 9 3 9 9 9 3 81
4
P ( AB )= ，
1 2 27
1 2 49 4 55
P ( A +B )= P ( A )+P ( B )−P ( AB )= × + − = ，D对，选ABD．
1 2 1 2 1 2 3 3 81 27 81
方法二：甲：1红2白，乙：1红2白．
1 1 2 2 5
对于A，重复1次操作，甲口袋中有1红的概率P= × + × = ，A正确．
3 3 3 3 9
( )
P AC 1 2 2 1 2 2 2 1
对于B，P ( C A ) = 1 3 ，P ( A )= × = ，P ( AC )= × × × ×
3 1 P ( A ) 1 3 3 9 1 3 3 3 3 3 3
1
1 2 2 2 1
（ × ：甲：3白乙2红1白， × × ：甲2白1红；乙1红2白）
3 3 3 3 3
4
( )
∴P C A = ，B正确．
3 1 27
2 2 1 4
( )
或P C A = × × = （甲：2白1红，乙1红2白）
3 1 3 3 3 27
1 1 2 2 2 1 10
对于C，P ( BC )=  × + ×  ×  ×  = ，C错．
1 2 3 3 3 3 3 3 81
对于D，P ( A +B )= P ( A )+P ( B )−P ( AB )
1 2 1 2 1 2
1 1 2 2 5 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 55
=

× + ×

× + × × + × × + × − × × = ，D正确．选：ABD．
3 3 3 3 9 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 81
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12．【答案】2
1−2 2
【解析】B表示( 1,0 )为圆心1为半径的圆，A表示直线，d = = <1，
2 2
直线与圆相交有两个公共点，AB的元素的个数为2．
13．【答案】 3−1
【解析】取右焦点F ，∵Q为PF中点，OQ⊥ PF ，则△POF 为等腰三角形，PO=OF，∴△PFF 为
2 2
c 2
直角三角形，PF = 3c，PF =c， 3c+c=2a， = = 3−1．
2 a 3+1
学科网（北京）股份有限公司14．【答案】30
【解析】情形1：有3个点是2条边的端点，另2个点是1条边的端点，C3C2 =10．
5 2
情形2：有1个点是3条边的端点，有1个点是2条边的端点，
另3个点是1条边的端点，
C1C1C3 =20，T ( 5,4 )=30．
5 4 3
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【解析】
（1）切点( 1,1+a )， f′( x )=4x3 +3ax2，k = f′( 1 )=4+3a．
切线y−( 1+a )=( 4+3a )( x−1 )过( 0,0 )，
3
∴−1−a =( 4+3a )(−1 )，∴a =− ．
2
（2）a =−4， f ( x )= x4 −4x3，
f′( x )=4x3 −12x2 = x2( 4x−12 )=0，x=0或3，
f ( x )在[−1,3 ) ，( 3,4 ] ，
f (−1 )=1+4=5， f ( 4 )=44 −4×43 =0，∴ f ( x ) =5．
max
16．【解析】
1
（1）若执行规则A，抛掷次数恰为1次的概率 p= ．
3
（2）若执行规则B，抛掷次数X的所有可能取值为1，2，3，…
2 n−1
1 2 1 2 1 2 1
P ( X =1 )= ，P ( X =2 )= × ，P ( X =3 )=   × ，…P ( X =n )=   ⋅
3 3 3 3 3 3 3
2 n−1
1 2 1 2 1 2 1
∴E ( X )= +2× × +3×   × ++n⋅   ⋅
3 3 3 3 3 3 3
 2 n−1
1 2 2 2
= 1+2× +3×
 
++n⋅
 
，
3 3 3 3 
学科网（北京）股份有限公司2 n−1
2 2 2
记S =1+2× +3×
 
++n⋅
 
①，
n 3 3 3
2 n−1 n
2 2 2 2 2
∴ S = +2×   ++( n−1 )⋅   +n⋅   ②，
3 n 3 3 3 3
2 n−1 n
1 2 2 2 2
①－②⇒ S =1+ +   ++   −n⋅  
3 n 3 3 3 3
 n
2
11−   
 3  2 n  2 n 2 n
= −n⋅
 
=3⋅1−
 
−n⋅
 
<3，
1− 2 3  3  3
3
∴S <9．∴E ( X )<3．
n
17．【解析】
（1）证明：取PD中点E，连接AE，NE，∵N为PC中点，
1 1
∴EN∥ CD，又∵AM∥ CD，∴EN∥AM ，
2 2
∴四边形AMNE为平行四边形，∴MN∥AE，
∵MN ⊄平面PAD，AE ⊂平面PAD，∴MN∥平面PAD．
（2）取AD中点F，如图建系，设AB=2，
∴B ( 3,0,0 ) ，P  − 3 ,0, 3 ，C ( 3,2,0 ) ，A ( 0,−1,0 )，
 
 2 2
 3 1   3 3
∴M  ,− ,0，D ( 0,1,0 )，N ,1, ，
   
 2 2   4 4 
   3 3 3  3 3 3  ( )
MN = AE =− , , ，PC = ,2,− ，CD= − 3,−1,0 ，
   
 4 2 4  2 2
3 3 3
  x+2y− z =0  ( )
设平面PCD的一个法向量n=( x,y,z )，∴ 2 2 ⇒n= − 3,3,1 ，

− 3x− y =0
学科网（北京）股份有限公司  3 9 3
+ +
MN⋅n
4 2 4 2 39
设MN与平面PCD所成角为θ，∴sinθ=   = = ．
MN n 3⋅ 13 13
18．【解析】
 1  1
（1）∵l ，l 与抛物线E相切于C，D两点，∴C −1,

，D1,

，
1 2  2  2
1
y+
2 1
此时l 方程：−x=2⋅ ，即x+ y+ =0．
1 2 2
1
+ y
2 1  1
l 方程：x=2⋅ ⇒ x− y− =0，联立得P0,  ．
2 2 2  2
 x2   x2 
（2）设过P的两条切线分别与抛物线切于Qx , 1 ，Rx , 2 ，
 1 2   2 2 
x2
1 + y
x2 x2
2
∴PQ方程：x x=2⋅ ⇒ x x= 1 + y，同理PR方程：x x= 2 + y，
1 2 1 2 2 2
 x +x x x   x   x 
∴P 1 2 , 1 2  且A 1,0 ，B 2 ,0 ，
 2 2   2   2 
 x +x  2  x +x x  2
设△PAB外接圆方程为： x− 1 2

+( y−m )2 =

1 2 − 1

+m2，
 4   4 2 
 x +x  2  x x  2  x −x  2
它过P，∴

1 2

+

1 2 −m =

1 2

+m2，
 4   2   4 
x x x2x2 x x +1
∴ 1 2 + 1 2 −mx x =0，∴m= 1 2 ，
4 4 1 2 4
 x +x  2  x x +1 2  x −x  2  x x +1 2
∴ x− 1 2

+ y− 1 2

=

1 2

+

1 2

，
 4   4   4   4 
x +x x x +1 x x
整理得x2 − 1 2 x+ y2 − 1 2 y+ 1 2 =0，
2 2 4
学科网（北京）股份有限公司y2 x +x x x
∴x2 + y2 − − 1 2 x+ 1 2 ( 1−2y )=0，
2 2 4
 y
x2 + y2 − =0

2 x=0
   1
令x=0 ⇒ 1，∴△PAB的外接圆过定点 0,  ．
 y =  2
1−2y =0  2


1 1 1  1 1 1  1
（3）CD：y = ，∴C x + , ，D x + , ，
2   2 1 x  2     2 2 x  2  
1 2
1 1 1 1 x −x x −x 1
∴ CD = x −x + − = ⋅ x −x + 2 1 = 1 2 ⋅1− ，
2 1 2 x x 2 1 2 x x 2 x x
1 2 1 2 1 2
x x 1 1 x −x  1  x x 1
P到CD的距离为d = 1 2 − ，∴S = ⋅ 1 2 ⋅ 1−  1 2 −  ，
2 2
△PCD
2 2  x x  2 2
1 2
设x x =−t2，t >0， x −x =m，由( x +x )2 =( x −x )2 +4x x =m2 −4t2 ≥0，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
m≥2t，当且仅当x +x =0时等号成立．
1 2
( )2 ( )2
1 m  1 t2 +1 m t2 +1 t2 +1
∴S = ⋅ ⋅ 1+  ≥ ≥ ，
△PCD 2 2  t2  2  8t2 4t
( )2 ( ) ( )2 ( )( )
t2 +1 1 2 t2 +1 ⋅2t⋅t− t2 +1 t2 +1 3t2 −1
令 f ( t )= ， f′( t )= ⋅ = ，
4t 4 t2 4t2
 3  3 
f ( t )在0, 上 ； ,+∞上 ，
   
 3   3 
 3 4 3
∴ f ( t )≥ f  = ．
 
 3  9
19．【解析】
2a −1 a +1 1 a +1
（1）① 3 + 2 =2⇒ + 2 =2⇒a2 −3a +2=0，∴a =1或2，
a 2a a 2 2 2 2
2 3 2
2a −1 a +1 1 a +1
而 2 + 1 =2．若a =1，∴ + 1 =2⇒a =1或2．
a 2a 2 a 2 1
1 2 1
3 a +1
若a =2，∴ + 1 =2⇒a =3或4，经检验均符合．∴a =1或2或3或4．
2 a 4 1 1
1
学科网（北京）股份有限公司②由条件知4a2 −2a +a2 +a =4a a ，
n+1 n+1 n n n n+1
∴( 2a −a )2 −( 2a −a )=0，∴( 2a −a )( 2a −a −1 )=0，
n+1 n n+1 n n+1 n n+1 n
a a +1
1 +1 1 +1
a a +1 a a +1 2 a +2 2 a +3
a = 1 或a = 1 ，a = 1 或 1 或 → 1 或 → 1
2 2 2 2 3 4 4 2 4 2 4
a a +1 a +2 a +3 a +7
a = 1 或 1 ， 1 ， 1 ，…， 1 ，
4 8 8 8 8 8
…
a a +1 a +63 a a +1 a +127
a = 1 或 1 ，…， 1 ，a = 1 或 1 ，…或 1
7 26 26 26 8 27 27 27
a +63
1 ≥1
a ,a ,⋅⋅⋅,a ≥1   26
∴ 1 2 7 ⇒ ⇒1≤a <128．
a <1

a 1
8 1 <1
27
a a +1 a +2 a +2k−1−1
（2）a = 1 或 1 ， 1 ，…， 1 ，k ≥2，
k 2k−1 2k−1 2k−1 2k−1
a +m′ 1 2k−1−1
令 1 = ，0≤m′≤2k−1−1，m′∈N，∴ =m′，
2k−1 11 11
1
+93
1
当k =11时，m′=93，a = 11 = =a ，
11 210 11 1
∴存在这样的k，k =11．
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